2024-2025学年广东省东莞市海德双语学校港澳台华侨联考班高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省东莞市海德双语学校港澳台华侨联考班高二（下）期末数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|1≤x1，当a= ______时，代数式a+2a−1有最小值．
16.函数f(x)=lg12(2x2−3x−2)的单调递增区间为______．
17.已知函数y=3x,x≤2−2x2+m,x>2的值域是(−∞,9]，则实数m的取值范围是______．
18.已知定义域是R的函数f(x)满足：∀x∈R，f(4+x)+f(−x)=0，f(1+x)为偶函数，f(1)=1，则f(2023)= ______．
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题15分)
已知(5x−1 x)6．
(1)展开式中的中间一项；
(2)展开式中常数项的值．
20.(本小题15分)
已知数列{an}满足a1=5，an+1−2an=3n(n∈N∗).记bn=an−3n．
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)设cn=nbn，求数列{cn}的前n项和．
21.(本小题15分)
甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P(Xi=1)=1−P(Xi=0)=qi，i=1，2，⋯，n，则E(i=1nXi)=i=1nqi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y，求E(Y)．
22.(本小题15分)
已知函数f(x)=2x3−ax2+b．
(1)当a=3时，求f(x)的极值；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若a>0，求f(x)在区间[0,1]的最小值．
参考答案
1.C
2.C
3.B
4.C
5.B
6.B
7.D
8.D
9.C
10.B
11.C
12.C
13.4x+y−4=0
14.[12,2]
15. 2+1
16.(−∞,−12)
17.(8,17]
18.−1
19.解：(1)(5x−1 x)6展开式的通项为Tr+1=C6r(5x)6−r(−1 x)r=C6r⋅56−r⋅(−1)r⋅x6−32r，
展开式一共7项，中间一项为第4项，r=3，
T4=C63⋅53⋅(−1)3⋅x6−92=−2500x32．
(2)令6−32r=0，解得r=4．
T5=C64⋅52⋅(−1)4⋅x0=375．
故展开式中常数项的值375．
20.(1)证明：由已知，∵an+1−2an=3n，∴an+1=3n+2an，
∵bn=an−3n，
∴bn+1=an+1−3n+1=3n+2an−3×3n=2an−2×3n=2(an−3n)=2bn，
又∵a1=5，∴b1=a1−31=5−3=2，
∴易知数列{bn}中任意一项不为0，∴bn+1bn=2，
∴数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)解：由第(1)问，bn=2×2n−1=2n，∴cn=nbn=n⋅2n，
∴设数列{cn}的前n项和为Sn，
则Sn=1×21+2×22+3×23+⋯+n⋅2n①，
2Sn=1×22+2×23+3×24+⋯+n⋅2n+1②，
①−②得，−Sn=2+22+23+24+⋯+2n−n⋅2n+1，
∴−Sn=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1=−2+2n+1−n⋅2n+1，
∴Sn=2+(n−1)⋅2n+1．
∴数列{cn}的前n项和为2+(n−1)⋅2n+1．
21.解：(1)第二次是乙投篮的概率为0.5×(1−0.6)+0.5×0.8=0.6．
(2)第i次是乙投篮的概率为(1−pi)，p1=12，
且pi+1=pi×0.6+(1−pi)×0.2=0.2+0．4pi
则pi+1−13=25pi+15−13=25(pi−13)
故pi−13=(25)i−1(p1−13)=16×(25)i−1，
则pi=13+16×(25)i−1，i∈N∗．
(3) 当n≥1时，
E(Y)=16i=1n(25)i−1+n3=16×1−(25)n1−25+n3=518[1−(25)n]+n3，n∈N∗，
综上，E(Y)=518[1−(25)n]+n3，n∈N∗.

22.f(x)极大值=f =b，f(x)极小值=f =−1+b；
当a>0时，f(x)的单调增区间为(−∞,0)，(a3,+∞)，单调减区间(0,a3)；
当a=0时，所以f(x)在R上单调递增；
当a