高考数学精品讲义练习【一轮复习】第六章　6．6　数列的综合交汇问题

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第六章　6．6　数列的综合交汇问题，共9页。试卷主要包含了注意问题是求什么.等内容，欢迎下载使用。
1．了解数列是一种特殊的函数，会解决等差、等比数列的综合问题．
2．能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题．
考点1 数列与不等式、函数的综合问题
【例1】 （2024·广东韶关二模）记R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足xn＋1＝xn－ eq \f(f(xn),f′(xn))(n∈N*)的数列{xn}称为函数f(x)的“牛顿数列”．已知数列{xn}为函数f(x)＝x2－x的牛顿数列，且数列{an}满足a1＝2，an＝ln eq \f(xn,xn－1)，xn>1.
(1)求a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列，并求an；
(3)设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式(－1)n·tSn－14≤S eq \\al(2,n)对任意的n∈N*恒成立，求t的取值范围．
【解】 (1)因为f(x)＝x2－x，则f′(x)＝2x－1，从而有xn＋1＝xn－ eq \f(f(xn),f′(xn))＝xn－ eq \f(x eq \\al(2,n)－xn,2xn－1)＝ eq \f(x eq \\al(2,n),2xn－1)，
由a1＝2，an＝ln eq \f(xn,xn－1)，得2＝ln eq \f(x1,x1－1)，则 eq \f(x1,x1－1)＝e2，解得x1＝ eq \f(e2,e2－1)，则有x2＝ eq \f(x eq \\al(2,1),2x1－1)＝ eq \f(e4,e4－1)，所以a2＝ln eq \f(x2,x2－1)＝4.
(2)证明：由xn＋1＝ eq \f(x eq \\al(2,n),2xn－1)，则 eq \f(xn＋1,xn＋1－1)＝ eq \f(\f(x eq \\al(2,n),2xn－1),\f(x eq \\al(2,n),2xn－1)－1)＝ eq \f(x eq \\al(2,n),x eq \\al(2,n)－2xn＋1)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xn,xn－1))) eq \s\up12(2)，
所以an＋1＝ln eq \f(xn＋1,xn＋1－1)＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xn,xn－1))) eq \s\up12(2)＝2ln eq \f(xn,xn－1)＝2an(xn>1)，
故 eq \f(an＋1,an)＝2（非零常数），且a1＝2≠0，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝2×2n-1＝2n.
(3)由等比数列的前n项和公式得Sn＝ eq \f(2(1－2n),1－2)＝2n+1－2，
因为不等式(－1)n·tSn－14≤S eq \\al(2,n)对任意的n∈N*恒成立，又Sn>0且Sn单调递增，所以(－1)n·t≤Sn＋ eq \f(14,Sn)对任意的n∈N*恒成立，令g(x)＝x＋ eq \f(14,x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝1－ eq \f(14,x2)＝ eq \f(x2－14,x2)，
当x∈（0， eq \r(14)）时，g′(x)0，g(x)是增函数，
又2＝S1< eq \r(14)