高考数学精品讲义练习【一轮复习】第四章　4．1　任意角和弧度制、三角函数的概念

这是一份高考数学精品讲义练习【一轮复习】第四章　4．1　任意角和弧度制、三角函数的概念，共11页。试卷主要包含了能进行弧度与角度的互化.，理解任意角的三角函数的定义，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．了解任意角的概念和弧度制的概念.
2．能进行弧度与角度的互化.
3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
1．角的概念
(1)正角、负角、零角：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．任意角包括正角、负角和零角．
(2)象限角：我们通常在直角坐标系内讨论角．使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限(常称为轴线角).
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
(2)角度和弧度的换算
180°＝π rad；
eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(1°＝\f(π,180) rad≈0.017 45 rad；,1 rad＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°≈57.30°.))
(3)半径为r的圆中，圆心角为α rad的角所对的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝ eq \f(1,2)lr＝ eq \f(1,2)|α|·r2．
3．三角函数的概念
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝ eq \f(y,x)(x≠0).正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
(2)三角函数的定义域和函数值在各象限的符号
教材拓展
1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝ eq \f(nπR,180)，S＝ eq \f(nπR2,360).
3．象限角
4．轴线角
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若α为锐角，则2α为钝角．( × )
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．( × )
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．( √ )
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cs α>1.( √ )
2．(人教A版必修第一册P170例1改编)已知α＝－ eq \f(40,9)π，β与α的终边相同，且β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则β＝－ eq \f(4π,9)．
解析：因为α＝－ eq \f(40,9)π＝－2×2π－ eq \f(4π,9)，β与α的终边相同，且β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以β＝－ eq \f(4π,9).
3．(人教A版必修第一册P176T10改编)已知某扇形的周长为10，圆心角为2，则该扇形的半径为 eq \f(5,2)，该扇形的面积为 eq \f(25,4)．
解析：设该扇形的半径为r，则2r＋2r＝10，解得r＝ eq \f(5,2)，所以该扇形的面积为 eq \f(1,2)×2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(25,4).
4．(人教A版必修第一册P180T3改编)若角θ的终边经过点P(－1，m)(m>0)，且sin θ＝ eq \f(\r(2),2)m，则m＝1．
解析：因为角θ的终边经过点P(－1，m)(m>0)，所以sin θ＝ eq \f(m,\r(1＋m2))＝ eq \f(\r(2),2)m，解得m＝1(m＝－1舍去)，所以m＝1.
考点1 象限角与终边相同的角
【例1】 (1)(多选)下列与 eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中，正确的是( CD )
A．45°＋2kπ(k∈Z)
B． eq \f(9π,4)＋k·360°(k∈Z)
C．－315°＋k·360°(k∈Z)
D． eq \f(π,4)＋2kπ(k∈Z)
【解析】 对于A，B，在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，故A，B错误；对于C， eq \f(9π,4)＝2π＋ eq \f(π,4)，则 eq \f(9π,4)与 eq \f(π,4)终边相同，而 eq \f(π,4)与－ eq \f(7π,4)终边相同，且－ eq \f(7π,4)化为角度制即为－315°，则－315°与 eq \f(9π,4)的终边相同，则－315°＋k·360°(k∈Z)是与 eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式，故C正确；对于D，由C得 eq \f(9π,4)与 eq \f(π,4)终边相同，则与 eq \f(9π,4)终边相同的角可以写成2kπ＋ eq \f(π,4)(k∈Z)的形式，故D正确．故选CD.
(2)(多选)下列说法中正确的是( AB )
A．300°＝ eq \f(5π,3)
B．若α为第一象限角，则 eq \f(α,2)为第一或第三象限角
C．第二象限角都是钝角
D．终边在直线y＝－x上的角的集合是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ－\f(π,4)))，k∈Z))
【解析】 对于A，300°＝300× eq \f(π,180)＝ eq \f(5π,3)，A正确；对于B，α为第一象限角，即2kπ