河南省郑州荥阳市2025届九年级下学期第三次联考数学试卷(含解析)

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，数轴上点表示的数是2025，，则点表示的数是（ ）
A．B．2025C．D．
2．如图是1956年出土于洛阳市涧西区曹魏正始八年墓的白玉杯，它用一整块和田玉雕刻而成，杯高 11.5厘米，口径约5厘米．关于它的三视图，有下列说法：（1）主视图与左视图相同；（2）主视图是轴对称图形；（3）俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量仅有克，数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，把等腰直角三角形的直角顶点和另外一个顶点分别放在矩形纸片的两条对边上，已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．下列问题中，应采用全面调查的是（ ）
A．检测某城市的空气质量B．了解全国中学生用眼卫生情况
C．调查某池塘中现有鱼的数量D．企业招聘时，对应聘人员进行面试
6．已知为常数，且点在第二象限，则关于的一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法判断
7．定义新运算：，例如：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．如图， 四边形内接于，连接． 若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ）
A．B．3C．D．4
10．在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度 之间的对应关系如图所示，相关信息请见下表，则下列说法正确的是( )

A．当温度为时，甲物质和乙物质的溶解度都小于
B．当温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高而增大
C．当时，向水中添加乙，则乙溶液一定能达到饱和状态
D．甲、乙两种物质的溶解度始终都不一样
二、填空题
11．若代数式有意义，则的取值范围是 ．
12．若一次函数的图象不经过第三象限，则其表达式可以为 ．
13．某校为了监测学生的心理健康状况，对九年级学生进行了心理健康测试．小芳从中随机抽取50名学生，并把这些学生的测试成绩（单位：分）制成了如下的扇形统计图，据此估计该校850名九年级学生中测试成绩在分数段分的共有 名．
14．如图，在中，已知点，点A在第一象限内，，将沿折叠得到，此时点恰好落在x轴上，则点A的坐标为 ．
15．正方形的边长为，E是边上的一个动点（不与A，D两点重合），将沿折叠得，若是等腰三角形，则 ．
三、解答题
16．（1）计算：
（2）化简：
17．某商家为了推广产品，决定在甲、乙两个直播间中选取一个开展直播带货，数据分析平台提供了某一星期内甲、乙两个直播间的日带货量和日观看人数的数据：
甲、乙两个直播间日观看人数统计表
该商家市场营销部对所给数据作了如下处理：
根据以上信息，回答以下问题：
(1)上表中________；___________（填“”或“=”）．
(2)假如你是该商家市场营销部经理，你会选择哪个直播间？请说明理由．
18．如图，，且．
(1)请用直尺和圆规作出的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)．
(2)连接，若，求的长．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，轴于点B，且，点M为反比例函数图象上第四象限内一动点，过点M作轴于点C，取x轴上一点D，使得，连接交y轴于点E，点F是点E关于直线的对称点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)试判断点F是否在反比例函数的图象上，并说明四边形的形状．
20．九年级数学兴趣小组的同学利用所学知识测量路灯的高度，如图，在路灯下竖直放置长为1米的标杆，测得此时的影长为0.5米；在点处旋转标杆，观察标杆影长的变化规律，发现当标杆旋转到的位置时，标杆的影长最大，此时，测得影长为米，已知，图中所有点均在同一平面内，请根据以上数据求出路灯的高度．
21．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究：
试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表中的一组数据．
(1)探究：根据上表中的数据，请判断和 （，为常数）哪个解析式能准确的反映水量y与时间t的函数关系？求出该解析式并写出漏记的a值；
(2)应用：
①兴趣小组用量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？
②成年人每天大约需饮水，请估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一位成年人饮用天数．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线的形状相同，且与轴交于点和．直线分别与轴、轴交于点，，与于点（点在点的左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的任意一点，当时，求面积的最大值；
(3)若抛物线与线段有公共点，结合函数图象请直接写出的取值范围．
23．如图（1），菱形中，，点E为对角线上一动点，连接，将线段绕点E逆时针旋转，使点E的对应点F落在直线上．
【猜想证明】
（1）问：与有怎样的数量关系？请结合图（1）加以证明．
【探索发现】
（2）当时，如图（2），延长交的延长线于点G，求证：．
【拓展延伸】
（3）当时，如图（3），延长到点P，使得，连接，若，直接写出的周长最小时线段的长．
《河南省郑州荥阳市2024-2025学年九年级下学期第三次联考数学试题试卷 》参考答案
1．A
解：∵，点表示的数是2025，
∴点表示的数是，
故选：A．
2．D
解：（1）主视图与左视图相同：由于白玉杯是一个对称的物体，其主视图和左视图应该是相同的，因为它们都是从正面和侧面观察到的形状．因此，这个说法是正确的．
（2）主视图是轴对称图形：主视图是从正面观察到的形状，由于白玉杯是对称的，其主视图应该是一个轴对称图形．因此，这个说法也是正确的．
（3）俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形∶俯视图是从上方观察到的形状，对于一个对称的白玉杯，其俯视图应该是一个轴对称图形．同时，如果俯视图的中心点可以作为对称中心，那么它也是中心对称图形．因此，这个说法也是正确的．
综上：（1）（2）（3）正确，
故选：D
3．C
解：，
故选：C．
4．C
解：如图，
是等腰直角三角形，
，
，
，
矩形纸片的两条对边平行，
，
故选：C．
5．D
A、检测某城市的空气质量，应采用随机抽样调查，此项不符题意；
B、了解全国中学生用眼卫生情况，应采用随机抽样调查，此项不符题意；
C、调查某池塘中现有鱼的数量，应采用随机抽样调查，此项不符题意；
D、企业招聘，对应聘人员进行面试，应采用全面调查，此项符合题意；
故选：D．
6．B
在第二象限
一元二次方程有两个不相等的实数根
故选：B．
7．C
解：∵，
∴，即，
∵该方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故选：C．
8．D
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵与所对的弧都是，
∴．
故选：D．
9．B
解：解法一：延长和，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
∵，
∴．
解法二：作交于点H
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
故选：B．
10．C
解：A．由图象可知：当温度为时，乙物质的溶解度是，故选项A错误，不符合题意；
B．由图象可知：当温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高，先减小后增大，故选项B错误，不符合题意；
C．因为当时，乙物质的溶解度小于，故向水中添加乙，则乙溶液一定能达到饱和状态，故选项C正确，符合题意；
D．当时，甲、乙两种物质的溶解度始终一样，故选项D错误，不符合题意．
故选：C．
11．
解：代数式有意义，
故，
解得，
故答案为：．
12．（答案不唯一）
解：∵一次函数图象不经过第三象限，
∴，且．
任取一个满足上述条件的一次函数即可，
故答案为：（答案不唯一）．
13．238
解：根据题意：（名），
故答案为：238．
14．/
解：如下图，过点作轴于点，连接交于点，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，，，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，轴，
∴，
∵，
∴，解得，
又∵，
∴点的坐标为．
故答案为：．
15．或
解：是等腰三角形，分三种情况：
①当时，如图，过作于点，交于点，
四边形是正方形，
，
，
，
是正方形的对称轴，
如图，连接，
则，
将沿折叠得，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
②当时，如图，过作，交于点，交于点，
，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
四边形为矩形，
，，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
即，
解得，
，
，
；
③当时，
由题意，，，
此时四边形是正方形，点与点重合，不符合题意，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
16．（1）；（2）
解：（1）原式
；
（2）原式
．
17．(1)，
(2)甲直播间，理由见解析
（1）解：由甲、乙两个直播间日观看人数统计表可知，乙直播间周一和周四观看人数为万人，
∴，
由甲、乙两个直播间日带货量折线统计图可知，甲直播间直播间日带货量波动更小，更稳定，
∴，
故答案为：，；
（2）解：我会选择甲直播间，
理由：两个直播间日观看人数平均数相同，甲的众数大于乙的众数；两个直播间直播间日带货量平均数相同，甲的方差小于乙的方差，则甲直播间日带货量更加稳定．
18．(1)见解析
(2)
（1）解：如解图所示，即为所求．(作法不唯一)
（2）∵，
∴
∴为的直径．
∵，
∴点B也在上，
又∵，
∴，
∴
过点C作于点E，如解图所示，则为等腰直角三角形．
∴
又∵，
∴
∴．
19．(1)
(2)点F在反比例函数的图象上，四边形是菱形，理由见解析
（1）解：点A为反比例函数图象上一点，轴于点B，且，
，
，
比例函数图象在第二、四象限，
，即，
反比例函数的表达式为：；
（2）解：，，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
点F是点E关于直线的对称点，
，
将代入，得，左边等于右边，
点F在反比例函数的图象上，
在中，
，
点为的中点，
，
点F是点E关于直线的对称点，
，
四边形是菱形．
20．路灯的高度为3米．
解：由题意，可知，
，
．
，
，即．
设，则，
在中，，
，
．
，
即，解得．
（米），即路灯的高度为3米．
21．(1)
(2)①的量筒没有装满；②81天
（1）∵，
∴表中的数据不符合．
观察表格， 可发现时间t每增加5分钟， 水量y增加15mL， 故可得 能正确反映水量y与时间t的函数关系．
把和代入得，
解得 ，
∴水量y与时间t的函数关系．
把代入得
（2）①把代入得
∵
∴的量筒没有装满
②∵由函数解析式可知每分钟的滴水量为，
∴30天滴水量， (天)
答：这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一位成年人饮用81天．
22．(1)
(2)面积的最大值为
(3)的取值范围为或
（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，
∴，
∵抛物线与轴交于点和，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，直线的解析式为：，
联立方程组，
解得或，
∴，，
过点作轴的平行线交于点，交轴于点，
设点坐标为，
∴点，
∴，，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值．
∴面积的最大值为；
（3）解：令，则，
∴点坐标为，
令，则，
解得，
∴点坐标为，
若抛物线与线段有公共点，
当时，如图所示，
则，
解得；
当时，如图所示：
则，
解得；
综上所述，的取值范围为或．
23．（1），见解析；（2）见解析；（3）的周长最小时线段的长为12
解：（1）．
证明：如图（1），连接，设交于点M．
四边形为菱形，
，，．
又，
，
，．
∵旋转，
，
，
，
．
又，
，
，
，
．
（2）证明：四边形是菱形，由（1）可知：，
四边形是正方形，
，．
如图（2），连接，同法（1）可得：，
．
又，，
，
．
作交于点H，则，，，
∵，
，
∵，，，
∴，
．
（3）如图（4），在上截取，连接．
，
，
．
又，
，
当的周长最小时，的周长也最小．
同（1）可知：，
的周长为，
当点N，E，C共线时，的周长最小，如图（5）．
，
，
，
．
过点A作于点Q，则，，
，
，
．
信息窗
1．溶质质量溶剂质量溶液质量．
2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液．
星期
人数（万人）
直播间
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
甲
455
乙
名称
数据
直播间
直播间日观看人数（万人）
直播间日带货量（件）
平均数
众数
平均数
方差
甲
97
乙
97
时间
5
10
15
20
25
…
水量
17
32
47
a
77
…