福建省部分学校教学联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为1，
所以直线的倾斜角为.
故选：D.
2. 向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，，，
则向量在向量上的投影向量为．
故选：A．
3. 已知两直线，若，则与间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】已知两直线，
若，则，解得，
则直线，
则与间的距离为.
故选：D.
4. 点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设的对称点坐标为，
则对称点与已知点连线的中点为，
由题意可得，解得．
所以对称点坐标为．
5. 设，直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为直线，
当时，，此时，即可以推出，当时，，解得或，
又时，，此时，所以推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.
6. “”是“方程表示椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】若方程表示椭圆，
则有，即且，
故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：B．
7. 已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由椭圆定义得：，又因为，
所以解得：，
再由于，，结合勾股定理可得：
，解得，所以椭圆的离心率为，
故选：C.
8. 已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（ ）
A. 20B. C. 10D.
【答案】A
【解析】对于圆，
整理可得：，
可知圆心为，半径为，
令，则，解得或，即；
令，则，解得或，即；
因为与相外切，则，
可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，

则点的轨迹方程为，
可得，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为20.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆，下列结论正确的是（ ）
A. 椭圆的长轴长是
B. 椭圆的短半轴长是4
C. 经过椭圆焦点的最短弦长是
D. 椭圆的焦点坐标分别是
【答案】AC
【解析】因为椭圆方程为，所以，，则，
所以椭圆的长轴长为，短轴长为，
经过椭圆焦点的最短弦长为，焦点坐标为，，
所以A正确，B错误，C正确，D错误.
故选：AC.
10. 已知圆，直线，则（ ）
A. 直线恒过定点
B. 直线l与圆C有两个交点
C. 当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1
D. 圆C与圆恰有三条公切线
【答案】ABD
【解析】对于A，直线的方程为，
由，得，直线过定点，A正确；
对于B，，即定点圆内，则直线与圆相交且有两个交点，B正确；
对于C，当时，直线，圆心到直线的距离为，
而圆半径为2，因此只有2个点到直线的距离等于1，C错误；
对于D，圆方程化为，
其圆心为，半径为3，两圆圆心距为，
两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确.
故选：ABD.
11. 如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（ ）
A. 存在点，使得平面
B. 周长的最小值为
C. 三棱锥外接球的体积为
D. 平面与平面的夹角正弦值的最小值为
【答案】ACD
【解析】A：由题意知，，又平面，
所以平面，由平面，得；
当为的中点时，又四边形为正方形，为的中点，
所以，由平面，所以平面，故A正确；
B：将平面和平面沿铺成一个平面，如图，连接，交于，
此时三点共线，取得最小值，即的周长取得最小值，
又，
所以的周长的最小值为，故B错误；
C：易知中，，取的中点，过作平面，如图，
则三棱锥的外接球的球心必在上，且，
所以球的半径为，其体积为，故C正确；
D：易知两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
则，设，
所以，
易知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，
则，令，得，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，设平面与平面所成角为，
则，所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点，若直线与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围是____________．
【答案】
【解析】直线过定点，则，，
如图，要使直线与线段相交，
则直线l的的斜率应满足，
所以直线l的倾斜角的取值范围是.
13. 已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】若，则，
当时，则，解得，此时，方向相同，
故的夹角为锐角时，且，
故答案为：
14. 已知椭圆左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与C在第一、第三象限分别交于点A，B，若，则C的离心率的最大值是______．
【答案】
【解析】连接，设，
因为点在第一象限，所以，
由对称性可知，
因为，所以，即，
由椭圆定义可得，
由圆的性质得⊥，由勾股定理得，
所以，即，
因为，
设，，则，
由对勾函数性质，单调递增，
所以，即，
当时，解得，即，解得
当时，解得，即，解得，
综上，所以C的离心率的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求的面积．
解：（1）由，得，
又，即，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由，
得，
又由，
得，
可得：，即，
则的面积.
16. 已知圆是的外接圆，圆心为，顶点，，且______.
在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.
①顶点；②；③.
（1）求圆的标准方程；
（2）若点为直线：上一动点，过点作圆的切线，切点为，求PQ的最小值.
解：若选①：方法一：设圆的标准方程为，圆心为，半径为，
因为圆过点，，所以圆心在直线上，即；
因为圆过点，，所以圆心在直线上，即，
所以圆的圆心为，半径，
所以圆的标准方程为；
若选②：因为，所以是直角三角形，
所以的外接圆圆心为斜边的中点，
设圆的标准方程为，圆心为，半径为，
由题知，圆心为，半径，
所以圆的标准方程为；
若选③：因为，所以圆心为边的中点，为圆的直径，
设圆的标准方程为，圆心为，半径为，
由题知，圆心为，半径，
所以圆的标准方程为；
（2）依题意：，
圆心到直线：的距离为，
又因为，所以，即，
所以PQ的最小值为3.
17. 如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，，分别为棱和的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，且平面平面，求二面角的余弦值大小.
（1）证明：如图，取的中点，连接，，
在中，因是的中点，故，且.
在三棱柱中，且，
又为棱的中点，故得，且，
故得， 则有，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）解：由题意，三棱柱中所有棱长都相等，则与都是等边三角形，
如图，取上的四等分点，满足,
取的中点,连接,
则,易知,且，故可得，
则有，故有则四点共面.
因平面平面，平面平面，
且平面平面可得平面，又.
故可建立以为原点，，，所在直线分别为，，轴的空间直角坐标系.
不妨取，则，由可解得
则有，，，则,
设平面法向量为，则，
取，可得，，
故为平面的一个法向量，
因平面，故为底面的一个法向量，
则，
设二面角的平面角为，由图知二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为.
18. 如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，．

（1）证明：平面平面；
（2）若点T是的中点，点M是的中点，求点P到平面的距离．
（3）点是线段CD上的动点，上是否存在一点M，使平面，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．
（1）证明：由平面，平面，平面，
得，， 与底面所成角为 ．
所以三角形 为等腰直角三角形， ．
又由四边形是直角梯形，，可知，
所以为等腰直角三角形，而，故．
在直角梯形中，过C作，垂足为E，则四边形为正方形，
可知 ．
所以 ，在等腰直角三角形 中，．
则有，所以．
又因为，，平面 ，平面．
所以平面．因为平面 ，所以平面平面．
（2）解：以A为坐标原点，分别以所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A0,0,0，P0,0,1，B1,0,0，，C1,1,0．
因为T是 的中点，点M是 的中点，所以，．
设平面 的法向量为，，，
则，得，
取，则，得平面的一个法向量为，
而,所以点P到平面的距离为．
（3）解：设，注意到A0,0,0，所以，所以，
设，注意到P0,0,1，
所以，
因为A0,0,0，B1,0,0，所以，
若平面，
则当且仅当，
即当且仅当，此时，
综上所述，当且仅当重合，此时存在，使平面.
19. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴，过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线与轴交于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆C上异于的一点，且三角形的面积为，求直线的方程；
（3）过点的直线交椭圆于，两点（在的左侧），若为线段的中点，直线交直线于点，为线段的中点，求线段的最大值．
解：（1）由题意知点在上，且轴，设椭圆焦距为，
则，将代入中，得，
则，结合，
从而，，椭圆C方程为；
（2）由题意知过点且与椭圆有且只有一个公共点的直线的斜率不为，
故设，与椭圆联立，
得，由椭圆与直线只有一个交点，
令，即①，
又过，则②，
联立①②可得，则，即得点为．
设原点O0,0，由，，
故，
从而到的距离为到距离的倍，即在关于对称的直线上，
又在椭圆上，从而，关于对称，
故直线方程为，
（3）设，，，则，
则①，
又由，
可得②，
结合①②可得，，
又，F1,0，，，
则直线的方程为，
轴，直线与交于，
则，故，
故轴，从而，当位于椭圆左顶点时取等号,
故线段的最大值为.