湖北省武汉市部分重点中学2024_2025学年高二数学上学期期末联考试题含解析

这是一份湖北省武汉市部分重点中学2024_2025学年高二数学上学期期末联考试题含解析，共34页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
题目要求的.
1. 抛物线 的焦点到准线的距离为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的定义求解即可.
【详解】抛物线 ，则 ，焦点为 ，准线为 ，
所以焦点到准线的距离为 2.
故选：C
2. 在等差数列 中，若 ，则 的值为（ ）
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差数列下标和的性质得 ，进而可求 .
【详解】由 ，得 ，即 ，所以
故选：D
3. 已知 ， 是双曲线 的左，右焦点，P 是双曲线右支上一点，且 是 和 的等
差中项，则 的值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线方程及其定义有 ，结合等差中项的性质有 ，可求
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，进而可证 ，即可求 .
【详解】由双曲线 ，得 ， ，
因为 是 和 等差中项，
所以 ，即 ①，
由双曲线的定义得 ②，
由①②得 ， ， ，
所以 ，即 ，
故
故选：B
4. 已知数列 为等比数列， ，公比 ，若 是数列 的前 n 项积，则 取最小值时 n
为（ ）
A. 8 B. 9 C. 8 或 9 D. 9 或 10
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列的通项公式可得 ，利用二次函数与
指数函数的性质即可求解.
【详解】由题意得 ，
因为 ， ，所以 ，
函数 的开口向上，对称轴为 ，因为 ，
所以 或 时， 取最小值，即 取最小值.
故选：C.
5. 在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，点 是平面内一个动点，则下列说法正确的是
（ ）
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A. 若 ，则点 的轨迹为椭圆
B. 若 ，则点 的轨迹为椭圆
C. 若 ，则点 的轨迹为直线
D. 若 ，则点 的轨迹为双曲线的一支
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆、双曲线的定义一一判断即可.
【详解】由 ，结合椭圆的定义，显然 的轨迹不是椭圆而是线段 ，故 A 错误；
设 ，由 ，所以 ，
整理得 ，所以点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，故 B 错误；
由 ，则点 的轨迹为以 为端点（向右）的射线，故 C 错误；
由 ，根据双曲线的定义，则点 的轨迹为双曲线的右支，故 D 正确.
故选：D
6. 设等差数列 ， 的前 n 项和分别为 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可设 ， ，结合 与 的关系可得.
【详解】因数列 ， 均为等差数列，
故由 ，可设 ， ，
则 ，
，
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则
故选：B
7. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，点 P 是椭圆上的一点，且点 P 在 x
轴上方， 的内切圆圆心为 I，若 则椭圆的离心率 e 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由内切圆性质可得 ，结合椭圆的定义即可求解.
【详解】连接 并延长，交 x 轴于点 Q，
则 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
由 得 ，所以 .
故选:C.
8. 已知椭圆 的上，下焦点分别为 ， ，抛物线 的焦点与椭圆的上
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焦点重合，过 的倾斜角为 的直线交椭圆于 A，B 两点，且 ，点 是抛物线
上在第一象限的点，且在该点处的切线与 x 轴的交点为 ，若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意以及椭圆的几何性质得 ， ，以及抛物线的标准方程以及其在点 处的切线
方程，进而即可求解.
【详解】解：由题可知，直线 AB 的斜率 k 为 ，
设 ，则椭圆的离心率 ，
所以 ， ，即焦点坐标为 ，
所以抛物线方程为 ，
故 在点 处的切线方程为 ，
令 ， ，
因为 ，
所以 是首项 2，公比 的等比数列，
即
故选：A.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 抛物线 的焦点为 F，过焦点的倾斜角为 的直线交抛物线于 A，B 两点，设 ，
，则下列结论正确的是（ ）
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A. B.
C. 若 ，则 D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题设直线 AB 的方程，联立抛物线方程结合韦达定理可判断 A，B；再依次应用抛物线焦点弦长
公式和焦半径公式计算即可判断 C，D..
【详解】对于 AB，由抛物线的方程可知， ，即 ， ，
直线 AB 的斜率不可能为 0，设其方程为 ，
联立 ，消去 x，得 ， ，
故 ，故 A 错误，B 正确；
对于 C，若 ，则 ，
则 ，C 正确；
对于 D，由抛物线的定义知， ，
又 ，
，即选项 D 正确.
故选:BCD
10. 设等差数列 的前 n 项和为 ，若 有最大值，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 当 最大时，
B. 使 的最大 k 值为 4045
C.
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D. 在数列 中，当 时， 取最大值
【答案】ACD
【解析】
【分析】由 ，则 或 ，结合 有最大值，则 ，利用等差数列前 n
项和的最值即可判断 A，利用等差数列的性质与前 n 项和公式即可判断 B，利用二次函数的性质可判断 C，
利用数列与不等式可判断 D.
【详解】由 得 ，
则 或 ，即 或 ，
因为 有最大值，所以 ，故当 最大时， ，A 正确；
因为 ， ，B 错误；
根据等差数列前 n 项和的函数性质， 先增大后减小，
因为 的图象过原点， 且 ，
又因为 ，
，
所以 ，所以 C 正确；
当 时， ，
又因为 ，
当 时， ，当 时， ，
因为 且 ，
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所以 ，D 正确.
故选：ACD.
11. 已 知 双 曲 线 的 右 顶 点 为 ， 过 点 A 作
的一条切线与双曲线交于点 B，若 AB 中点为 P，且 ，过点
A 作 的另一条切线与双曲线交于点 D，设直线 AB，AD 的斜率分别为 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线方程为 B. 双曲线的离心率
C. D. 过定点
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意设点代入方程化简得出 即求出离心率判断 B，得出轨迹方程可判断 A，结合点到
直线距离及韦达定理即可判断 C，应用斜率公式计算求解得出定点判断 D.
【详解】设 ， ，将 ， 代入双曲线方程得：
①， ②，
①-②得： ，即 ，
由题可知， ， ，所以 ，
又因为 是 AB 中点，所以 ， ，即 ，所以 ，则
，故 B 正确;
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由题得 ， ，所以双曲线方程为 ，故 A 正确；
圆 M 的圆心为 ，半径为 r，设切线方程为 ，
则 ，即 ，则 ， 是上述方程的两根，根据韦达定理可得
，故 C 错误;
由 ，则 ， ，
设 AD 的中点为 Q，由①可得： ，即： ， ，因为 ，
，
所以 ③， ④，因为 ，
将③④分别代入，则： ，即 ⑤，
，即 ⑥，
⑤-⑥得： ，所以直线 BD 过定点 ，故 D 正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若等比数列 的各项均为正数，且 ，则 __________.
【答案】6
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【解析】
【分析】根据等比数列下标和性质和对数运算求解可得.
【详解】解：因为等比数列 的各项均为正数，且 ，则 ，
因为 ，
由等比数列的性质知： ，
所以
故答案为：6
13. 已知数列 满足 ，且 ，则数列 通项公式为 __________.
【答案】
【解析】
【分析】由递推公式可得 ，从而得到 是等比数列，利用等比数列通项公式得到
从而得到 的通项公式.
【详解】解：因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以 ，即
故答案 ：
14. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，点 P 是椭圆上在第二
象限的点，且 P 的纵坐标为 ，若椭圆的离心率 e 的范围是 ，则 的范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件依次求得 P 点坐标、 与 ，进而得 ，由
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，令 ，则 ，即可求得 t 的取
值范围.
【详解】将 P 的纵坐标 代入椭圆 的方程，则 ，
所以 ， ，
即
，
所以 ，
因为 ，
令 ，则
所以 ，
即 ，所以 ，故
故答案为：
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【点睛】关键点睛：关键在于利用向量数量积判断 为直径，利用勾股定理和双曲线定义表示出离心
率，然后根据离心率范围求解.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 各项均为正数，设数列 的前 n 项和为 ，其中
（1）求数列 的通项公式;
（2）令 ，求数列 的前 n 项和
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用前 n 项和与通项公式的关系证明 是等差数列，再利用等差数列的通项公式求解即可.
（2）写出新数列的通项公式，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式求和即可.
【小问 1 详解】
，当 时， ，得 或 舍 ，
当 时， ， ，
即 ， 数列 的各项均为正数，即 ，
，即数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，
【小问 2 详解】
， ①，
②，
①-②得：
，
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16. 已知双曲线 的左顶点为 ，离心率 e 为 ，过点 的直线 l
交双曲线左支于 A，B 两点.
（1）求双曲线 C 的标准方程;
（2）若 O 是坐标原点，且 ，求直线 l 的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据顶点和离心率列方程求解可得；
（2）设出直线方程，联立双曲线方程消去 y，韦达定理结合 列方程求解可得.
小问 1 详解】
由题得 ，解得 ，
双曲线 C 的标准方程为
【小问 2 详解】
由题可知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ，
联立双曲线的方程 ，得 ，
设 ， ，则 ， ，
直线 l 交双曲线左支于 A，B 两点，
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，解得 ，
，
，即 ，
解得 或 ，
， 时，
17. 设数列 的前 n 项和为 ，且
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，设 为数列 的前 n 项和，是否存在常数 t，使 对 恒成立?若存在，
求出 t 的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，最小值为
【解析】
【分析】（1）利用数列的 与 的关系式消去 ，判断 为等比数列，即得其通项；
（2）代入计算并化简 ，利用裂项相消法求得 ，由数列解析式的单调性求得其范围即可.
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【小问 1 详解】
由 ①，
当 时， ，即 ，
当 时， ②，
①-②得： ，即 ，所以 ，
数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，故 ，
【小问 2 详解】
由 ，可得 ， ，
，
故
由于 单调递增，可得 ，即 ，
则存在常数 t，使 对 恒成立，即 ，故 t 的最小值为
18. 已知平面内一个动点 Q 到点 的距离比它到直线 的距离少
（1）求点 Q 的轨迹方程;
（2）已知 是点 Q 的轨迹上不同的四点，点 P 在 x 轴下方，直线 AC，BD 交于点 P，且
， 设 的中点分别为点
①证明： 三点共线;
②若点 P 为半椭圆 上的动点，求四边形 面积的最大值.
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【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）设点 ，由题意得 ，化简可得；
（2）①由已知可得 ，则 ，利用斜率公式可得 ，则 轴，由 C，D 分别
为 PA，PB 的中点，可得 轴，则 M，N，P 三点共线；
②点 ， ， ，由已知与①可得
，则由 时， 取得最大值 ，即可求得四边形 面积的
最大值.
【小问 1 详解】
设点 ，由题得 ，
将上式两边同时平方，得 ，
化简得： ，
当 时， ，
当 时， ，此时轨迹不存在，
综上：点 Q 的轨迹方程为
【小问 2 详解】
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①由 ， ，
可知 C，D 分别为 的中点，即得 ，
则直线 AB 和直线 CD 的斜率相等，即 ，
设 ， ， ， ，
则点 M 的横坐标 ，点 N 的横坐标 ，
由 ，得 ，
即 ，则 ，
所以 ，
所以 轴.
设 ，由点 是 的中点，可得 ， ，
因点 在抛物线 上，故 ，
整理得 ，
同理得 ，
， 是方程 的两个根，
，
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且 ， ，
有 ，得 轴，故 三点共线.
②因为点 为半椭圆 上的动点，
则 ，且 ，
又 ，
则 ，
因为 ，
因 ，且相似比为 ，
故
，其中 ，
当 时， 取得最大值 ，
此时四边形 面积取得最大值为
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【点睛】关键点点睛：（2）①得到 后，利用斜率公式得 ，则 轴，再证得
轴，即得 M，N，P 三点共线；
②结合图象，将四边形 的面积用 表示为： ，再利用二次函
数的性质求最大值.
19. 已知 ， ，定义：数列 共有 m 项，对任意 i， ， 或
中至少有一个仍是 中的项，则称数列 为“乘或除封闭数列”.
（1）若 且 ，判断数列 是否为“乘或除封闭数列”;
（2）已知递增数列 ，3， ，27， “乘或除封闭数列”，求 ， ，
（3）已知各项均为正且单调递增数列 为“乘或除封闭数列”，若 ，证明：数列 是等比数列.
【答案】（1）不是 （2） ， ， ；
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用题目定义验证即可；
（2）利用 或 中至少有一个仍是 中的项，推理可得答案；
（3）结合新定义得出 ，进而可得数列 是等比数列.
【小问 1 详解】
由题意知，数列 为 2，4，8，16，32，因为 和 均不是 中的项，
所以数列 不是“乘或除封闭数列”；
【小问 2 详解】
由数列递增可知 ，则 不是 中的项，所以 是 中的项，所以 ，
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因为 ，所以 ， ， 都是 中的项，所以 ，得 ，
由 ，得 ，所以 ， ， ；
【小问 3 详解】
因为数列 单调递增，且 ，则 不是 中的项，所以 是 中的项，所以 ，
因为 不是 中的项，所以 是 中的项，
所以 ，因为 ， ， ， ， ， 共有 m 项，
所以 ①，
类似的， ， ， ，
则 不是 中的项，所以 是 中的项，
，
所以 ②，
由①和②得 ，所以 是首项为 1 的等比数列.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是理解新定义，利用 或 中至少有一个仍是 中的项，进行
推理.
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