2024-2025学年四川省广安市高一（下）期末数学试卷（B卷）（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省广安市高一（下）期末数学试卷（B卷）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知5−2i是关于x的方程x2−mx+n=0(m,n∈R)的一个根，则m的值为( )
A. 10B. −6C. 6D. −10
2.收集到一组数据：10，20，30，70，80，90，100，110，则该组数据的第75百分位数是( )
A. 85B. 90C. 95D. 100
3.复数z=1−ii(其中i是虚数单位)的虚部是( )
A. 1B. iC. −1D. −i
4.在平行四边形ABCD中，M是边AB靠近A的三等分点，DM与AC交于点N，设AC=a,BD=b，则BN=( )
A. −14a+12bB. −23a+13bC. −34a+14bD. −16a+12b
5.已知m、n为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若m//α，n⊂α，则m//nB. 若m//α，n//α，则m//n
C. 若m⊥α，m⊥n，则n//αD. 若m//α，n⊥α，则m⊥n
6.某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，需要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为A，B，它们对应的山脚位置分别为A1，B1，在山脚附近的一块平地上找到一点C(C,A1,B1所在的平面与山体垂直)，使得△A1B1C是以A1B1为斜边的等腰直角三角形，现从C处测得到A，B两点的仰角分别是π3和π6，若C到A1的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为( )
A. 303千米
B. 213千米
C. 4 33千米
D. 53千米
7.已知i为虚数单位，复数z满足(z+2i)⋅i=−1+i，则|z|=( )
A. 2B. 2C. 1D. 22
8.在三棱锥S−ABC中，底面△ABC为斜边AC=2 2的等腰直角三角形，顶点S在底面ABC上的射影为AC的中点.若SA=2，E为线段AB上的一个动点，则SE+CE的最小值为( )
A. 6+ 2B. 2 3C. 2( 3+1)D. 2( 3−1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.2024年10月央行再次下调人民币存款利率，存款利率下调是为了刺激经济增长促进投资和消费而采取的一种货币政策.下表为某银行近年来的人民币一年定期存款利率：
关于表中的7个存款利率数据，下列结论正确的是( )
A. 极差为0.35B. 平均数小于1.65
C. 中位数为1.65D. 20%分位数为1.50
10.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=1，|a+b|= 3，则下列结论中正确的有( )
A. a与b夹角为π6B. a⋅b=12
C. |a−b|=1D. a−b与b夹角为π3
11.已知圆锥SO的底面半径为1，母线SA长为4，底面圆周上有一动点B，则( )
A. 圆锥的体积为 15π3
B. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为π2
C. 圆锥截面SAB的面积的最大值为 15
D. 若C∈SA，且CA=1，则从点A出发绕圆锥侧面一周到达点C的最短长度为4 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某学校师生共有3600人，现用分层抽样方法抽取一个容量为240的样本，已知样本中教师人数为30人，则该校学生人数为______．
13.在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，已知BE=5，CD= 13,BC=4，则△ABC的面积为______．
14.已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，∠ABP=30°，AF⊥CP于F，AE⊥BP于E，G在BC上，且满足FG//BC，则四面体P−ABC与A−EFG的外接球的体积比的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知复数z=1−2i．
(Ⅰ)求|z|；
(Ⅱ)若z1=z3+4i，求z1；
(Ⅲ)若|z2|= 5，且zz2是纯虚数，求z2．
16.(本小题12分)
已知a=(sin(α+π6),1)，b=(2csα−3,−2)，且a与b共线．
(1)求cs(π6−α)的值；
(2)若α∈(π2,5π2)，求α的值．
17.(本小题12分)
某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了“我知红楼“知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，⋯，[90,100]，并作出如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本数据的第62百分位数；
(3)若落在[50,60)中的样本数据平均数是52，方差是6；落在[60,70)中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数x−和方差σ2．
18.(本小题12分)
已知向量a=(sinx,csx)，b=( 3csx,csx)，设函数f(x)=a⋅b−12，x∈R．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)设x∈(0,π)，且tan(π6−α)=12，5f(α)=6f(x)，求x的值．
19.(本小题12分)
如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
(1)求证：B1C1//EF；
(2)求证：NP⊥B1C1；
(3)设BB1与平面EFC1B1所成角为30°，且AB=4 33，BB1=2，NP= 3.求四棱锥B−B1C1FE的体积．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意，5+2i是关于x的方程x2−mx+n=0(m,n∈R)的另一个根，
所以由韦达定理有m=5−2i+5+2i=10．
故选：A．
由实系数方程虚根成对以及韦达定理即可求解．
本题考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为8×75%=6，
所以该组数据的第75百分位数是90+1002=95．
故选：C．
根据百分位数的定义求解．
本题主要考查了百分位数的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：∵z=1−ii=(1−i)(−i)−i2=−1−i，
∴复数z=1−ii的虚部是−1．
故选C．
4.【答案】A
【解析】解：由BA+BC=BD=b，BC−BA=AC=a，
可得BA=b−a2，
由题意AMCD=ANNC=13，则AN=14AC=14a，
则BN=BA+AN=−14a+12b．
故选：A．
根据题设及向量对应线段的位置关系得BA=b−a2、AN=14a，结合BN=BA+AN即可得．
本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
5.【答案】D
【解析】解：若m//α，n⊂α，则m//n或m与n异面，故A错误；
若m//α，n//α，则m//n或m与n相交或m与n异面，故B错误；
若m⊥α，m⊥n，则n//α或n在α内，故C错误；
若m//α，则存在β使得m⊂β，β∩α=l，则l//m，
又n⊥α，又l⊂α，所以n⊥l，又l//m，所以m⊥n，故D正确．
故选：D．
由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，逐项判断正误即可．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
6.【答案】A
【解析】解：过B作BD⊥AA1，
又△A1B1C是以A1B1为斜边的等腰直角三角形，
则|CA1|=|CB1|=1，|A1B1|= 2，|BD|= 2，
因为从C处测得到A，B两点的仰角分别是π3和π6，
所以|AA1|=|CA1|tanπ3= 3，|BB1|=|CB1|tanπ6= 33，
所以|AD|=|AA1|−|BB1|=2 33，
所以|AB|= |AD|2+|BD|2= (2 33)2+( 2)2= 303．
故选：A．
由三角函数的定义，结合勾股定理求解即可．
本题考查了解三角形，属基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为(z+2i)⋅i=−1+i，
所以z+2i=−1+ii=(−1+i)ii2=i+1，
所以z=1−i，
故|z|= 2．
故选：B．
先根据已知等式求出复数z，再根据复数的模的计算公式求出|z|．
本题主要考查了复数的运算，考查了复数的模长公式，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：如图，在三棱锥S−ABC中，设点O为线段AC的中点，连接BO，SO，
由题易知：AO=BO=CO=12AC= 2,AB=BC=2,SO⊥平面ABC，
在Rt△ABC中，SO= SA2−AO2= 2，故SB= SO2+BO2=2，
所以△SAB是边长为2的等边三角形，
将△SAB展开到与△ABC共面，如图所示，
则SE+CE≥SC，当且仅当S，E，C三点共线时等号成立，即SE+CE取得最小值，
在△SBC中，SB=BC=2,∠SBC=∠SBA+∠ABC=5π6，
由余弦定理可得：SC2=SB2+BC2−2SB⋅BC⋅cs5π6=4+4−2×2×2×(− 32)=8+4 3=( 6+ 2)2，
所以SE+CE≥SC= 6+ 2，
即SE+CE的最小值为 6+ 2．
故选：A．
将△SAB展开到与△ABC共面，根据三角形三边关系可知SE+CE≥SC，当且仅当S，E，C三点共线时等号成立，根据题干条件，在△SBC中由余弦定理即可求解．
本题考查了几何体表面上最短距离的计算，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：由题意可知，表中的7个存款利率数据从小到大排列为：1.50，1.55，1.55，1.65，1.75，1.75，1.85，
对于A，极差为1.85−1.50=0.35，故A正确；
对于B，平均数为1.55+1.50+1.75+1.75+1.55+1.85+1.657≈1.657>1.65，故B错误；
对于C，中位数为1.65，故C正确；
对于D，因为7×20%=1.4，
所以20%分位数为1.55，故D错误．
故选：AC．
根据极差、中位数、平均数和百分位数的定义求解．
本题主要考查了极差、中位数、平均数和百分位数的定义，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：已知向量a，b满足|a|=1，|b|=1，|a+b|= 3，
则a2+2a⋅b+b2=3，
即a⋅b=12，
B正确；
对于A，由a⋅b=12得cs〈a,b〉=12，
因0≤〈a,b〉≤π，
故〈a,b〉=π3，
A错误；
对于C，由|a−b|2=a2−2a⋅b+b2=1，
即|a−b|=1，
C正确；
对于D，由(a−b)⋅b=a⋅b−b2=12−1=−12，
则cs〈a−b,b〉=(a−b)⋅b|a−b||b|=−12，
又0≤≤π，
则〈a−b,b〉=2π3，
D错误．
故选：BC．
利用|a+b|= 3，通过平方可求a⋅b，又|a|=1，|b|=1，根据向量夹角公式可求a与b夹角，由模长公式可求|a−b|，继而可算a−b与b夹角．
本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：对于A，圆锥高ℎ= 42−12= 15，体积V=13π×12× 15= 15π3，故A正确；
对于B，侧面展开图弧长l=2π×1=2π，故圆心角α=lSA=2π4=π2，故B正确；
对于C，截面SAB面积S=12×4×4×sin∠ASB，
当直径两端点为A，B，因为底面半径为1，故直径为2，小于母线长，故此时∠ASB为锐角，
底面直径两端点A，B对应∠ASB最大，又cs∠ASB=42+42−222×4×4=78，
所以sin∠ASB= 158，故面积最大值为 15，故C正确；
对于D选项，如图，
侧面展开图扇形圆心角α=π2，
CA=1，SC=SA−CA=3，
展开后扇形中，A′与A (对应底面同一点)的圆心角为π2，最短路径为线段A′C，
由余弦定理：A′C= SA2+SC2−2⋅SA⋅SC⋅csπ2= 42+32=5，故D错误．
故选：ABC．
对于A：求出圆锥的体积即可判断；对于B：直接求出圆锥的侧面展开图的圆心角即可判断；对于C：∠ASB最大时，截面面积最大，计算可判断；对于D：利用圆锥的侧面展开图可求最短距离可判断．
本题主要考查圆锥的表面积和体积、最短距离问题，属于中档题．
12.【答案】3150
【解析】解：由题意可知，抽样比为2403600=115，
所以该校教师人数为30115=450，
所以该校学生人数为3600−450=3150．
故答案为：3150．
根据题意求出抽样比，进而求出该校教师人数，再求出该校学生人数即可．
本题主要考查了分层抽样的定义，属于基础题．
13.【答案】12
【解析】解：连接DE，延长BC至F，使得CF=DE，连接EF，
则由已知可得DE/​/BC且DE=12BC，
所以DE/​/CF且DE=CF=2，BC=4+2=6，
则四边形CDEF为平行四边形，所以EF=CD= 13，
在△BEF中，cs∠CBE=BE2+BF2−EF22BE⋅BF=52+62−( 13)22×5×6=45，则sin∠CBE=35，
所以△ABC的面积S△ABC=2S△CBE=2×12×4×5×35=12．
故答案为：12．
作出几何图形，利用余弦定理、三角形面积公式计算得解．
本题考查了解三角形问题，涉及到余弦定理的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
14.【答案】(8 39,64 39)
【解析】解：设PB=4，因为PA⊥平面ABC，BC⊥AC，∠ABP=30°，
所以PA=2，AB=2 3，AE= 3，且易得BC⊥PC，
所以四面体P−ABC的外接球的直径为PB，
所以四面体P−ABC的外接球的半径r1=2，
对四面体A−EFG，易得AF⊥平面EFG，
则PB⊥AF，又PB⊥AE，所以PB⊥EF，
所以四面体A−EFG的外接球直径为AG，
所以四面体A−EFG的外接球的半径为：
r2= (12FG)2+(12AF)2=12 FG2+AF2=12AG，
所以r1r2=4AG，
设∠APC=θ(0