高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册空间中的距离教案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册空间中的距离教案设计，共9页。
教学研讨
空间中的距离内容很丰富，涉及的距离很多，解决空间中的距离问题时，向量法是一种很有效的处理方法，但向量法也不是万能的，它是有使用前提的，比如当空间直角坐标系很难建立时，就需要用其他的方法求解，比如等面积法、等体积法等.因此，可以说建立空间直角坐标系是用向量法解决空间中的距离问题的关键.建议在教学过程中，教师根据实际情况多补充一些常见几何体的建系方法，多使用几何画板等工具，帮助学生提升直观想象核心素养.教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
情境引入
“距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等.数学中的距离”概念是从生活中的具体问题中抽象出来的，要求具有准确的定义，以避免歧义.到目前为止，你学过哪些平面内的“距离”？这些“距离”的定义有什么共同点？由此你能得到空间中任意两个图形之间的距离具有的性质吗？
教师出示问题，学生思考、回答：
（1）两点间的距离；
（2）点到直线的距离；
（3）两条平行线间的距离教师引导学生分析已学过的三种距离，学生得出关系：可将后两者转化为点与点的距离.
创设情境，复习已学过的距离知识，为学习新知识做好准备.
探究新知
1.空间中两点之间的距离.
空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长.
例1 如图所示，已知是平行六面体，， =90°， =60°，求的长.
解由已知可得 不共面，而且,
从而, ,
.
又因为 ,
所以 = .
因此，即所求长为.
2.点到直线的距离.
给定空间中一条直线及外一点，因为与能确定一个平面，所以过可以作直线的一条垂线段，这条垂线段的长称为点到直线的距离.如果点A是直线上的点，则约定到直线的距离为0.点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度.
例如，如图所示，点是直线外点，若是直线的垂线段，则的长度就是点到直线的距离，这一距离也等于.
例2 已知正方体 的棱长为1，求点到直线的距离.
解 以为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则
,,
因此.
设满足且,则,
即,
所以 又因为,
,即,解得因此
,
从而可知点到直线的距离为
3.点到平面的距离
给定空间中一个平面及外一点，过可以作平面的一条垂线段，这条垂线段的长称为点到平面的距离.如果点是平面内一点，则约定到平面的距离为0.点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度.
一般地，若是平面外一点，是平面内一点，是平面的一个法向量，则点到平面的距离
.
例3 如图所示，四棱锥中，底面是一个边长为1的正方形，面，=1.求点到面的距离.
解 依题意，，是两两互相垂直的.以为原点，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.
设平面的一个法向量为，则
令，则得，，此时.
因为
,
所以点到平面的距离为.
4.相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离.
当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离；当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离.一般地，与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段显然，两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长.
例4 已知正方体 中，分别为，，的中点，判断直线与平面的关系如果平行，求出与平面之间的距离；如果不平行，说明理由.
解 以为原点，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，正方体的棱长为2个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则
,
,
所以,
,.
设平面的一个法向量为，则
令，则得
.
因为，
所以，又因为点显然不在平面内，所以与平面平行.
又因为
所以
,
因此点到平面的距离为.这也是与平面之间的距离.
教师引导学生思考如何计算两点之间的距离学生思考、回答：两点间的距离公式.
教师继续提问，你还有其他的计算方法吗？
学生思考、回答：可以转化为求向量的模来计算.
教师出示例1，学生思考，独立完成教师巡视，对有困难的学生进行指导，然后展示学生的解答情况.
针对学生的两种情况，引导学生分析、对比两种解法（向量数量积法坐标法）的一般步骤与联系.
学生阅读空间中点到直线的距离的概念，教师引导学生思考它与空间中两点之间距离的关系.
师生共同总结：点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度.
类比例1的坐标法解题思路，学生尝试完成例2，并展示答案.
教师对学生的解答进行点评，并提出新的问题：能不借助空间向量解答例2吗？
学生思考回答：连接，利用三角形面积的不同表示方法列方程可解答例2.
教师肯定学生的思路，并出示该方法解答的参考答案.
教师继续出示“点到平面的距离”的概念，提出问题：结合前面的学习经验，该如何求点到平面的距离呢？
学生思考、完成教材第55页“尝试与发现”栏目.
师生共同总结点到平面的距离计算公式.
请1~2名学生板演例3，其他学生在练习本上完成.
学生对板演过程进行补充，教师对学生的表现进行评价，并提出新的问题：平面内所取的点只能是点吗？还能不能取其他的点？除了用向量法来解决之外，本题还有没有其他的方法？
学生思考、得出答案，并比较向量法与等体积法各自的优缺点.
类比平行线间的距离可以转化为点到直线的距离来计算，引导学生思考如何解决空间中求解“相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离”问题.
学生通过分析、思考，得出解决方法.
教师通过几何画板等多媒体技术，直观展示学生的答案.
如图所示，如果直线与平面平行，是平面的一个法向量，分别是上和内的点，则直线与平面之间的距离为
如图所示，如果平面与平面平行，是平面的一个法向量（当然也是平面的一个法向量），和分别是平面与平面内的点，则平面与平面之间的距离为
教师请1~2名学生板演例4，其他学生在练习本上完成.
学生完成例4，并对板演过程进行补充、修改，教师对学生的表现进行点评.
让学生通过思考，得出利用向量求空间中两点之间距离的方法并完成例1的解答过程，提升学生的数学建模与数学运算核心素养.
通过完成例2，体会向量的应用，提升数学运算与数学建模核心素养.
让学生动手，培养他们的数学建模和数学运算核心素养.
渗透转化思想，提升学生的逻辑推理与数学建模核心素养.
通过建立合适的空间直角坐标系解决问题，培养学生的逻辑推理与数学运算核心素养.
归纳小结
1.知识点：两点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离.
2.思想方法：转化.
教师引导学生分组回答，小组评价.
锻炼学生的归纳总结能力.
布置作业
教材第58页练习A第1，4，5题.
学生课后独立完成，教师批阅.
巩固所学知识.
1.2.5空间中的距离
1.空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长
例1
2.点到直线的距离.
给定空间中一条直线及外一点，因为与能确定一个平面，所以过可以作直线的一条垂线段，这条垂线段的长称为点到直线的距离.如果点A是直线上的点，则约定到直线的距离为0.点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度.
例2
3.点到平面的距离
给定空间中一个平面及外一点，过可以作平面的一条垂线段，这条垂线段的长称为点到平面的距离.如果点是平面内一点，则约定到平面的距离为0.点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度.
一般地，若是平面外一点，是平面内一点，是平面的一个法向量，则点到平面的距离.
例3
4．相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
例4