2024~2025学年江苏省南京市八年级下册（期末）数学检测试卷（含解析）

这是一份2024~2025学年江苏省南京市八年级下册（期末）数学检测试卷（含解析），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )

2.在一个不透明的盒子里装有3个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球．下列事件中，不可能事件是( )
A.摸出的3个球都是红球
B.摸出的3个球都是白球
C.摸出的3个球中有2个红球1个白球
D.摸出的3个球中有2个白球1个红球

3.下列运算中，正确的是（ ）
A.1−x−y=−1x−yB.3x+y2x+y=32
C.x2+y2x+y=x+yD.y−xx2−y2=−1x+y

4.如图，菱形ABCD中，O为BD的中点，M为BC的中点，AM⊥BC，OM=2，则AM的长为（ ）
A.3B.233C.23D.33
5.如图，在平面直角坐标系中，P为正方形ABCD的对称中心，A,B分别在x轴和y轴上，正方形ABCD的边长5，双曲线y=kxx>0经过C、P两点，则k的值为（ ）
A.2B.5C.5D.52

6.如图，线段AB是直线y=3x+1的一部分，点A是直线与y轴的交点，点B的纵坐标为4，曲线BC是双曲线y=kx的一部分，已知点C的横坐标为4，由点C开始不断重复“A−B−C”的过程，形成一组波浪线．若点P2025,m与点Q2028,n均在该波浪线上，分别过P、Q两点向x轴作垂线段，垂足为D和E两点，则四边形PDEQ的面积是（ ）
A.10B.152C.454D.15
二、填空题

7.若式子x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是____________．

8.分式23ab，1a2b，32ac的最简公分母是____________．

9.为了解某市八年级学生每天的睡眠时间，从该市八年级学生中抽取1000名学生进行调查，该调查中的样本是____________．
10.比较大小：4−13______________12（填>、0的图象上，其中a>b>0．过点A作AC⊥x轴于点C，若△AOB的面积为154，则ab=____________．

14.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，延长CB至点F，使BF=DE，连接AF和EF，取EF的中点H，连接AH并延长，与BC交于点G．若BG=3，CG=2，则DE的长为____________．

15.定义：若两个分式A与B满足：A−B=3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式4a2a2−b2与aa+b互为“美妙分式”，且a,b均为不等于0的实数，则分式2a2−b2ab=____________．

16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E在BC边上，且BE=2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为____________．
三、解答题

17.计算：
（1）27−12+13；
（2）320−155×2．

18.解方程：
（1）xx−1−1=3x+2x−1；
（2）x2−2x−3=0．

19.先化简1+1x2−1÷xx+1，然后从−2，−1，0，1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值．

20.如图，在▱ABCD中，E，F分别为AB,CD边上的点，DF=BE，连接EF，AC与EF交于点O．
（1）求证：EF与AC相互平分．
（2）若EF⊥AC，AD=4，CD=8，∠DAB=60∘，求AE的长．

21.为增强环保意识，某校举行了“垃圾分类知识竞赛”，每位学生答40道试题．随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将样本数据分为A、B、C、D、E五个组别，并绘制了下列不完整的统计图表．
根据以上信息完成下列问题：
（1）m=______，n=______；
（2）请补全条形统计图；
（3）已知该中学共有3000名学生，如果答题正确个数不少于24个的学生进入第二轮的比赛，请你估计本次知识竞赛该中学进入第二轮的学生有多少名？

22.已知：关于x的方程x+1x+2=m2．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程的一个根为3，求另一个根及m的值．

23.机器狗在景区充当“挑山工”的现象成为今年“五一”文旅市场的一大亮点．景区有300千克货物需要搬运．已知机器狗A每小时能搬运的货物重量是机器狗B的1.2倍，机器狗A单独搬运货物所需的时间比机器狗B少1小时．求两只机器狗每小时分别能搬运多少千克的货物．

24.如图，一次函数图像y=kx+bk≠0与反比例函数y=mxm≠0图像交于点A−1,6，B3,a+3，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）结合图像，直接写出当kx+b≥mx时，x的取值范围．

25.按要求完成下列尺规作图：（不写做法，保留作图痕迹）
（1）如图1，已知∠BAC，点M、N分别在射线AB、AC上，作点D使得四边形AMDN为平行四边形；
（2）如图2，已知△ABC，点M、N在边BC上，分别在边AB、AC上作点D、E，使得四边形MNED为平行四边形．

26.阅读理解
欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时，在初等数学中也到处留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
ara−ba−c+brb−cb−a+crc−ac−b=0,r=0或1时,1,r=2时a+b+c,r=3时
这个公式我们可以分情况进行研究，例如，当r=0时的欧拉公式为：
1a−ba−c+1b−cb−a+1c−ac−b=0，
证明如下：
左边=1a−ba−c+1b−cb−a+1c−ac−b
=b−ca−ba−cb−c−______+______
=______
=0
（1）请将材料中r=0时欧拉公式的证明过程补充完整；
（2）写出当r=2时的欧拉公式，并证明；
（3）利用欧拉公式，202532−20243+202332=______．

27.定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”．
（1）在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是______；（填序号）
（2）如图1，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=60∘，BE⊥CD于点E，点F是菱形ABCD边上的一点，顺次连接B、E、D、F，若四边形BEDF为“等距四边形”，求线段EF的长；
（3）如图2，在等边△ABC中，AB=4，点P是△ABC内任意一点，在AB、BC、CA上是否分别存在点，使得这些点与点P的连线将△ABC恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，请直接写出这三个“等距四边形”的周长和，若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2024-2025学年江苏省南京市八年级下学期期末数学试题
一、选择题
1.
【答案】
c
【考点】
中心对称图形
轴对称图形
中心对称
【解析】
试题分析：A中的直角三角形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形；B、D中的正五边形和等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
B
【考点】
随机事件
【解析】
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】
解：A、摸出的3个球都是红球是随机事件，故A错误；
B、只有2个白球，摸出的3个球都是白球是不可能事件，故B选项正确；
C、摸出的3个球中有2个红球1个白球是随机事件，故C错误；
D、摸出的3个球中有2个白球1个红球是随机事件，故D错误；
故选：B．
3.
【答案】
D
【考点】
判断分式变形是否正确
【解析】
根据分式的基本性质逐个判断即可．
【解答】
A、1−x−y=1−x+y=−1x+y，故本选项不符合题意；
B、3x+y2x+y≠32，故本选项不符合题意；
C、x2+y2x+y=x+y，故本选项不符合题意；
D、y−xx2−y2=−x−yx+yx−y=−1x+y，故本选项符合题意；
故选：D．
4.
【答案】
C
【考点】
与三角形中位线有关的求解问题
利用菱形的性质求线段长
勾股定理的应用
【解析】
本题考查了菱形的性质，中位线定理，勾股定理，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解．
先利用中位线定理求出菱形的边DC的长，再利用菱形的性质求得AB，从而可得BM，再利用勾股定理求得AM的长．
【解答】
解：∵O为BD的中点，M为BC的中点，
∴MO是△BCD的中位线，BM=12BC，
∴DC=2OM=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=4，
∴BM=12BC=2，
∵AM⊥BC，
∴AM=AB2−BM2=42−22=23，
故选：C ．
5.
【答案】
A
【考点】
反比例函数综合题
【解析】
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用全等三角形的判定与性质表示点C的坐标是解题的关键．作CH⊥y轴于H，设OA=a，OB=b，则Aa,0，利用AAS证明△AOB≅△BHC，得BH=OA=a，OB=CH=b，从而得出Cb,a+b，Pa+b2,a+b2，根据k=xy得到a=3b，k=4b2，据此求解即可得出答案．
【解答】
解：作CH⊥y轴于H，
设OA=a，OB=b，则Aa,0，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90∘，
∴∠OBA=∠HCB=90∘−∠HBC，
∵∠AOB=∠BHC，
∴△AOB≅△BHCAAS，
∴BH=OA=a，OB=CH=b，
∴Cb,a+b，
∵P为正方形ABCD的对称中心，
∴点P为AC的中点，
∴ Pa+b2,a+b2，
∵双曲线y=kxx>0经过C、P两点，
∴ba+b=a+b2⋅a+b2=k，
∴a=3b，k=4b2，
∵正方形ABCD的边长5，
∴a2+b2=52=5，
∴3b2+b2=10b2=5，
解得b2=12，
∴k=2，
故选：A．
6.
【答案】
B
【考点】
规律型：点的坐标
一次函数与反比例函数的其他综合应用
【解析】
本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，根据变化规律求出点P，点Q的坐标是解决问题的关键．根据一次函数可求出点A、B的坐标，进而确定反比例函数的关系式，利用平移所引起的坐标变化规律，可求出点P，点Q的坐标，再根据梯形的面积公式可求出答案．
【解答】
解：当x=0时，y=3x+1=1，
∴A0,1，
当y=4时，即4=3x+1，
∴x=1，
∴B1,4，
又∵点B1,4在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数的关系式为y=4x，
当x=4时，y=44=1，
∴点C4,1，
∴AC=4，
依题意由点C开始不断重复“A−B−C”的过程，形成一组波浪线．且结合图象：
由图象的平移可得，
B1,4，B11+4,4，B21+4×2,4，B31+4×3,4，B41+4×4,4，…Bn1+4n,4，
C4,1，C14+4×1,1，C24+4×2,1，C34+4×3,1，C44+4×4,1，…Cn4+4n,1，
又∵2025=1+4×506，P2025,m，且B1,4
即m=4，
∴P2025,4，
∵2028=4×507，Q2028,n，且C4,1
∴n=1
∴Q2028,1，
依题意，
S四边形PDEQ=12×4+1×2028−2025=152，
故选：B．
二、填空题
7.
【答案】
x≥1
【考点】
二次根式有意义的条件
【解析】
本题考查了二次根式有意义的条件，形如aa≥0的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可．
【解答】
解：∵式子x−1在实数范围内有意义，
∴x−1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
8.
【答案】
6a2bc
【考点】
最简公分母
【解析】
本题考查了分式的最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
根据最简公分母的定义解答即可．
【解答】
解：分式23ab，1a2b，32ac最简公分母是6a2bc．
故答案为：6a2bc．
9.
【答案】
被抽取的1000名学生每天的睡眠时间
【考点】
总体、个体、样本、样本容量
【解析】
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
【解答】
解：为了解某市八年级学生每天的睡眠时间，从该市八年级学生中抽取1000名学生进行调查，该调查中的样本是被抽取的1000名学生每天的睡眠时间，
故答案为：被抽取的1000名学生每天的睡眠时间．
10.
【答案】
1，即可解答．
【解答】
解：∵Aa,5a，
∴OC=a,AC=5a，
∴S△AOC=12OC⋅AC=12⋅a⋅5a=52，
过点B作BD⊥x轴于点D，BD交OA于点E，
∵Bb,5b，
∴OD=b,BD=5b，
∴S△OBD=12OD⋅BD=12⋅5b⋅b=52，
∵S△OBD=S△ODE+S△OBE=52，S△AOC=S△ODE+S四边形DCAE=52，
∴S△OBE=S四边形DCAE，
∴S△AOB=S△OBE+S△ABE=S四边形DCAE+S△ABE=S梯形BDCA，
∴S梯形BDCA=12CDAC+BD=12×a−b5a+5b=154，
整理得：ab−ba=32，
令x=ab，
则x−1x=32，
解得：x1=−12，x2=2，
∵a>b>0，
∴ab>1，即x>1，
∴ab=2，
故答案为：
14.
【答案】
54
【考点】
全等的性质和SAS综合（SAS）
线段垂直平分线的性质
勾股定理的应用
根据正方形的性质求线段长
【解析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，先证明△ADE≅△ABFSAS，得到AH是EF的垂直平分线，则GE=GF，设DE=BF=x，则EC=5−x，GE=GF=3+x，在Rt△ECG中，由勾股定理得22+5−x2=3+x2，解方程即可．
【解答】
解：如图所示，连接GE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD=BG+CG=3+2=5，∠D=∠ABG=∠ABF=∠C=90∘，
∵BF=DE，
∴△ADE≅△ABFSAS，
∴AE=AF，
∵EF的中点为H，
∴AH⊥EF，
∴AH是EF的垂直平分线，
∴GE=GF，
设DE=BF=x，则EC=5−x，GE=GF=3+x，
∴在Rt△ECG中，由勾股定理得CG2+CE2=EG2
∴22+5−x2=3+x2，
解得：x=54，
∴DE=54，
故答案为：54。
15.
【答案】
−13或−173
【考点】
分式的值
异分母分式加减法
【解析】
本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．根据分式4a2a2−b2与aa+b互为“美妙分式”，得到4a2a2−b2−aa+b=3，求出①a=−3b，②ab=3b2−6a2，分别把①②代入分式2a2−b2ab中求出结果即可．
【解答】
解：∵4a2a2−b2与aa+b互为“美妙分式”，
∴4a2a2−b2−aa+b=3，
∵4a2a2−b2−aa+b=4a2a+ba−b−aa−ba+ba−b=3a2+aba+ba−b=3，
∴3a2+aba+ba−b=3或3a2+aba+ba−b=−3，
∴3a2+ab=3a2−b2或3a2+ab=−3a2−b2，
∵a、b均为不等于0的实数，
∴①a=−3b，②ab=3b2−6a2，
把①代入2a2−b2ab=2×−3b2−b2−3b2=17b2−3b2=−173，
把②代入2a2−b2ab=2a2−b23b2−6a2=2a2−b2−32a2−b2=−13，
综上：分式2a2−b2ab的值为−173或−13．
故答案为：−173或−13．
16.
【答案】
72
【考点】
全等的性质和SAS综合（SAS）
等边三角形的性质与判定
根据矩形的性质求线段长
【解析】
以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，可证四边形MHNB是矩形，可证MH=BN，由“SAS”可证△FEH≅△GEC，可得FH=GC，当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，即可求解．
【解答】
解：如图，以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，
又∵∠ABC=90∘，
∴四边形MHNB是矩形，
∴MH=BN，
∵BE=2，
∴EC=3，
∵△EHC是等边三角形，HN⊥EC，
∴EC=EH=3,EN=NC=32，∠HEC=60∘，
∴BN=72=MH，
∵△FGE是等边三角形，
∴FE=GE,∠FEG=60∘=∠HEC，
∴∠FEH=∠GEC，
在△FEH和△GEC中，
FE=GE∠FEH=∠GECHE=EC ，
∴△FEH≅△GECSAS，
∴FH=GC，
∴当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，
∴点F与点M重合时，FH=HM=72，
故答案为：72．
三、解答题
17.
【答案】
（1）433；
（2）310
【考点】
二次根式的加减混合运算
二次根式的混合运算
【解析】
（1）原式分别化简各二次根式，再合并即可；
（2）原式先化简括号内的，再进行二次根式的乘法即可得到答案．
【解答】
（1）解：27−12+13
=33−23+33
=433；
（2）解：320−155×2
=65−35×2
=35×2
=310．
18.
【答案】
（1）无解
（2）x1=3，x2=−1
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
（1）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案；
（2）把原方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可得到答案．
【解答】
（1）解：xx−1−1=3x+2x−1
去分母得：xx+2−x+2x−1=3，
去括号得：x2+2x−x2+2x−x−2=3，即x2+2x−x2−2x+x+2=3，
移项得：x2+2x−x2−2x+x=3−2，
合并同类项得；x=1，
检验，当x=1时，x−1=0，
∴x=1是原方程的增根，
∴原方程无解；
（2）解：∵x2−2x−3=0，
∴x+1x−3=0，
∴x+1=0或x−3=0，
解得x1=3，x2=−1．
19.
【答案】
xx−1；23
【考点】
运用平方差公式进行运算
分式有意义的条件
分式的混合运算
分式的化简求值
【解析】
本题考查的知识点是分式的化简求值、因式分解、分式有意义的条件、分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的化简求值．
先通过因式分解、分式的混合运算进行化简，由分式有意义的条件得出x=−2，再将其代入原式即可得解．
【解答】
解：1+1x2−1÷xx+1，
=x2−1+1x2−1×x+1x，
=x2x+1x−1×x+1x，
=xx−1，
由分式有意义的条件得x≠−1，0，1，
∴x=−2，
将x=−2代入原式，得=−2−2−1=23．
20.
【答案】
（1）见解析
（2）285
【考点】
根据菱形的性质与判定求线段长
勾股定理的应用
平行线的判定与性质
【解析】
（1）连接AF、CE．通过证明四边形AFCE是平行四边形推知EF与AC互相平分．
（2）连接AF,CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H．证明四边形AECF是菱形，求出BH=2，CH=23．设BE=x，则EH=BE+BH=x+2，AE=AB−BE=8−x，CE=AE=8−x，在Rt△CEH中根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】
解：（1）证明：如图，连接AF,CE．
在▱ABCD中，CD=AB，
又DF=BE，
∴CF=AE．
∵CF∥AE，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∴EF与AC相互平分．
（2）解：如图，连接AF,CE，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H．
由1可得四边形AECF是平行四边形．
又EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
∵∠DAB=60∘，
∴∠CBH=∠DAB=60∘，
∴∠BCH=30∘，
∴BH=12BC=12×4=2，
∴CH=BC2−BH2=23．
设BE=x，则EH=BE+BH=x+2．
∵AB=CD=8，
∴AE=AB−BE=8−x．
∵四边形AECF是菱形，
∴CE=AE=8−x．
在Rt△CEH中，EH2+CH2=CE2，即x+22+232=8−x2，
解得x=125，
∴AE=8−x=8−125=285．
21.
【答案】
30；20
（2）见解析
（3）1500
【考点】
由样本所占百分比估计总体的数量
求条形统计图的相关数据
画条形统计图
由扇形统计图求总量
【解析】
（1）利用B组的人数及百分比求出总人数，由总人数分别乘以对应的百分比即可求出m、n的值；
（2）利用1的结果补图即可；
（3）用3000乘以D与E组的和与总体的比即可得到答案．
【解答】
（1）解：总人数：15÷15%=100；m=100×30%=30 ；n=100×20%=20 ；
故答案为：30；20
（2）如图所示，由1中计算可得；
（3）∵答题正确个数不少于24个的学生进入第二轮的比赛，
∴本次知识竞赛该中学进入第二轮的是D、E两组，
∴3000×20%+30%=1500（人）
答：本次知识竞赛该中学进入第二轮的学生有1500名.
22.
【答案】
（1）见解析
（2）另外一根为−6；m=±25
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
根的判别式
【解析】
（1）根据根的判别式Δ=b2−4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（2）设方程的另外一个根为3，带入可求出m的值；再利用m的值可知原方程，解之即可得到答案．
【解答】
解：（1）证明：方程化简为：x2+3x+2−m2=0，
根据判别式：Δ=32−42−m2=4m2+1>0
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵这个方程的一个根为3，
∴3+13+2=m2；解得：m2=20，则m=±25
把m2=20带入方程得：x2+3x−18=0；
∴x+6x−3=0；解得：x1=−6或x2=3；
∴方程得另外一根为：−6.
23.
【答案】
A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运50千克．
【考点】
此题暂无考点
【解析】
本题主要考查了分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键．
设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运1.2x千克，再根据题意列出分式方程求解并检验即可解答．
【解答】
解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运1.2x千克，
根据题意得：300x−3001.2x=1，解得：x=50，
经检验：x=50为分式方程的解，
则1.2x=60．
答：A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运50千克．
24.
【答案】
（1）y=−6x；y=−2x+4
（2）x≤−1或0