2024-2025学年贵州省遵义市高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年贵州省遵义市高一（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={1,2,3,4,5}，B={0,1,2}，则A∩B=( )
A. {0,1,2}B. {1,2}C. {3,4,5}D. {0,1,2,3,4,5}
2.1i−1=( )
A. 12+12iB. 1+iC. −1−iD. −12−12i
3.已知tanα=3，00的解集为______．
13.已知tanβ=3，tan(α−β)=2，则sinα+csαsinα−csα= ______．
14.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若cs(A−B)=1112,cs(A+B)=16，且ab=6，则△ABC外接圆的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=sin(2x+π6)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴；
(2)已知函数g(x)=f(x)−cs2x，求函数g(x)的单调递增区间．
16.(本小题15分)
为响应国家“体重管理年”三年行动的号召，某单位开展健步走活动，现统计该单位400名员工5月4日至5月10日的步数信息.其中甲、乙两位员工这7天的步数折线图如图1所示：
(1)求从这7天中随机选取一天，该天甲比乙的步数多的概率；
(2)整理这400名员工7天的健步走数据，得到频率分布直方图如图2所示.现将该单位员工每天的步数从多到少进行排名，已知某天甲与乙的步数排名分别为第283名和第130名，试判断这是哪一天的数据，并说明理由．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若bcsC+ccsB=2acsA．
(1)求角A；
(2)若a=2，S△ABC= 3，求△ABC的周长．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=lg3(x2−ax+1)，(a∈R)．
(1)若a=0，证明：f(x)为偶函数；
(2)(i)若0≤x≤1，求函数f(x)的最小值；
(ⅱ)设g(x)=9x−2×3x，若对于任意x1∈(0,1)，存在x2∈[−1,1]，使得不等式f(x1)≥g(x2)成立，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
已知平面向量m=(4sinx,1)，n=(1,csx)，m、n的夹角为θ．
(1)若m//n，求x的值．
(2)已知f(x)=|m|⋅|n|sinθ，x∈(π12,5π12)．
(i)求f(x)的解析式；
(ii)若f(x)g(x)=1−2cs4x，证明：不等式ef(x)+f2(x)+f(x)>g(x)−1恒成立．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：∵A={1,2,3,4,5}，B={0,1,2}，
∴A∩B={1,2}．
故选：B．
进行交集的运算即可．
本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：原式=−1−i(−1+i)(−1−i)=−12−12i.
符合条件的只有选项D．
故选：D．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题主要考查复数的基本运算，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为01，
由x1+x2=−20进行讨论，结合对数函数单调性及其值域可得g(x)在(0,+∞)上必有一零点，则可得x2+2x+2−k=0有两个不同非正根，结合根的判别式与韦达定理计算即可得解．
本题考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：由角α的终边经过点M(− 3,−1)，
可知，r= (− 3)2+(−1)2=2，所以sinα=−12，csα=− 32，tanα=−1− 3= 33，故A正确，B错误；
所以cs(α−π)=−csα= 32，sin(α+π2)=csα=− 32，故C正确，D错误．
故选：AC．
首先根据三角函数的定义，求三角函数值，再结合诱导公式，即可判断选项．
本题主要考查任意角的三角函数，考查诱导公式的应用，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：正实数a，b满足a+b=1，
A：1=a+b≥2 ab，则ab≤14，当且仅当a=b=12时取等号，A错误；
B：由( a+ b)2=a+b+2 ab=1+2 ab≤2，则 a+ b≤ 2，当且仅当a=b=12时取等号，B正确；
C：由(1a+2b)(a+b)=1+2+ba+2ab≥3+2 ba×2ab=3+2 2，当且仅当ba=2ab，
即b=2− 2，a= 2−1时取等号，C正确；
D，a2a+2+b2b+1=a2a+2+(1−a)22−a
=a2a+2+a2+1−2a2−a=a−2+4a+2−a+12−a
=4a+2+12−a−2，
4a+2+12−a=14(4a+2+12−a)[(a+2)+(2−a)]=14[4+1+4(2−a)a+2+(a+2)2−a]≥14[5+2 4(2−a)a+2×(a+2)2−a]=94，
当且仅当4(2−a)a+2=(a+2)2−a时，即a=23，b=13时取等号，
所以4a+2+12−a−2≥94−2=14，
所以a2a+2+b2b+1的最小值为14，D正确．
故选：BCD．
利用基本不等式可对A项判断求解；利用( a+ b)2=a+b+2 ab再结合A项即可对B项判断求解；利用单位“1”可对C项求解判断；D项通过化简可得a2a+2+b2b+1=4a+2+12−a−2，再结合单位“1”的应用可得14(4a+2+12−a)[(a+2)+(2−a)]≥14[5+2 4(2−a)a+2×(a+2)2−a]=94，即可对D项判断求解．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：根据题意，现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，
则Ω={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，
(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个基本事件，
依次分析选项：
对于A，易得P(甲)=16，
事件丙={(2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(4,4)}，所以P(丙)=536，
甲丙={(3,5)}，则P(甲丙)=136，
所以P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，甲与丙不相互独立，故A错误；
对于B，事件丁={(1,4)，(4,1)，(2,5)，(5,2)，(3,6)，(6,3)}，P(丁)=16，
甲丁={(3,6)}，P(甲丁)=136，所以P(甲丁)=P(甲)P(丁)，甲与丙相互独立，故B正确；
对于C，P(乙)=16，P(乙丙)=136，所以P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，乙与丙不相互独立，故C错误；
对于D，事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确．
故选：BD．
利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项．
本题考查相互独立事件、互斥事件的判断，涉及古典概型公式，属于基础题．
12.【答案】(−∞,1)∪(32,+∞)
【解析】解：2x−3x−1>0，即(2x−3)(x−1)>0，
解得：x32．
故答案为：(−∞,1)∪(32,+∞)．
根据已知条件，结合分式不等式的解法，即可求解．
本题主要考查不等式的求解，属于基础题．
13.【答案】0
【解析】解：因为tanβ=3，tan(α−β)=2，
所以tanα=tan[β+(α−β)]=tanβ+tan(α−β)1−tanβtan(α−β)=3+21−3×2=−1，
则sinα+csαsinα−csα=tanα+1tanα−1=0．
故答案为：0．
根据两角和的正切公式求tanα，再利用正切表示所求式子，即可求解．
本题主要考查了和差角公式的应用，属于基础题．
14.【答案】4π
【解析】解：由题意得cs(A−B)−cs(A+B)=1112−16=34，
即(csAcsB+sinAsinB)−(csAcsB−sinAsinB)=34，化简得sinAsinB=38，
根据正弦定理，可得absinAsinB=4R2，
即638=4R2，解得R2=4，所以△ABC外接圆的面积S=πR2=4π．
故答案为：4π．
根据两角和与差的余弦公式求得sinAsinB，然后运用正弦定理求出△ABC的外接圆半径，进而可得外接圆的面积．
本题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理、圆的面积公式等知识，属于基础题．
15.【答案】最小正周期为π，对称轴为x=kπ2+π6,k∈Z；
[−π6+kπ,π3+kπ],k∈Z．
【解析】(1)由题意得f(x)的最小正周期T=2π|ω|=2π2=π，
令2x+π6=kπ+π2,k∈Z，解得x=kπ2+π6,k∈Z，所以f(x)的对称轴为x=kπ2+π6,k∈Z．
(2)g(x)=sin(2x+π6)−cs2x= 32sin2x+12cs2x−cs2x= 32sin2x−12cs2x=sin(2x−π6)，
设2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，
可得g(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ],k∈Z．
(1)根据三角函数的周期公式、正弦函数图象的对称轴方程进行求解，可得答案；
(2)运用三角恒等变换公式化简g(x)，然后根据正弦函数的单调性求出g(x)的单调递增区间．
本题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．
16.【答案】27；
这一天是5月6日的数据．
【解析】(1)由折线图可知，只有第5日和第9日，甲比乙的步数多，
所以所求概率为0.06×；
(2)因为步数在[0,5000)的有400×0.02×5=40人，
同理在[5000,10000)的有400×0.03×5=60人，
在[10000,15000)的有400×0.04×5=80人，
在[15000,20000)的有400×0.06×5=120人，
在[20000,25000)的有400×0.04×5=80人，
在[25000,30000]的有400×0.01×5=20人，
又这一天甲的步数的排名是283名，乙的步数排名是130名，
所以甲的步数在区间[10000,15000)，乙的步数在区间[15000,20000)，
根据折线图可知，5月6日的数据符合，所以这一天是5月6日．
(1)根据折线图观察，甲比乙的步数多的天数，再根据古典概型概率公式，即可求解；
(2)首先根据频率分布直方图计算每一组的人数，再根据名次判断甲和乙所在的组，根据折线图确定日期．
本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题．
17.【答案】A=π3；
6．
【解析】(1)因为bcsC+ccsB=2acsA．
由正弦定理可知，sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsA，
即sin(B+C)=2sinAcsA=sinA，
所以csA=12，则A=π3；
(2)S△ABC=12bcsinA= 3，得bc=4，
由余弦定理可知，a2=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc，
即4=(b+c)2−12，所以b+c=4，则a+b+c=6，
所以△ABC的周长为6．
(1)由正弦定理边化角，再结合三角恒等变换，即可求解；
(2)根据(1)的结果，结合三角形面积公式求bc，再根据余弦定理求b+c，即可求周长．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．
18.【答案】证明见解答．
(ⅰ)0