复习课第02讲 解二元一次方程组、一元一次不等式组 暑假讲义2024-2025学年七年级下册数学（人教版2024）（解析版）

这是一份复习课第02讲 解二元一次方程组、一元一次不等式组 暑假讲义2024-2025学年七年级下册数学（人教版2024）（解析版），共21页。学案主要包含了A组---基础题，B组---提高题等内容，欢迎下载使用。
1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础；
2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力；
【题型一】 数字问题
【题型二】 几何问题
【题型三】 行程问题
【题型四】 销售问题
【题型五】方案问题
3 课后分层练习 进一步巩固所学内容.

1.会用二元一次方程组解决生活中的实际问题；
2.会用一元一次不等式组解决生活中的实际问题.
实际问题的求解步骤
① 审：分析号问题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系；找出能够表示实际问题全部含义的相等关系.有时可通过一些“关键句子”得到，有时要利用题中“隐含条件”.
② 设：设未知数，一般求什么就设什么；有时遇到直接设不容易得到方程，则设其他量.
③ 找：找出能够表示题中全部意义的相等关系；
④ 列：根据相等关系列方程；
⑤ 解：求解未知数；
⑥ 答：检验所求解是否符合题意，写成答案，特别要注意其单位.
【题型一】 数字问题
【典题1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字．
【答案】填写的数字分别为2，9
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y，根据：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y．
根据题意，得：x+3+y+11=4+6+7+86+3+7+y=4+x+8+11，
整理，得x+y=11x-y=-7，
解得：x=2y=9，
故题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为2，9．

变式练习
1 （24-25七年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位数字比个位数字的2倍大1．若这个两位数减去36恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，则这个两位数是（ ）
A．86B．68C．94D．73
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设十位数字是x，个位数字是y，由题意列方程组求解即可得到答案，读懂题意，准确列出二元一次方程组是解决问题的关键．
【详解】解：设十位数字是x，个位数字是y，
则x-2y=110x+y-36=10y+x，
解得x=7y=3，
∴原来的两位数是73，
故选：D．
2（22-23九年级上·重庆大足·期末）一个两位数M，若将十位数字2倍的平方与个位数字的平方的差记为数N．当N>0时，我们把N放在M的左边将所构成的新数叫做M的“叠加数”．例如：M=47，∵N=2×42-72=15>0，∴47的“叠加数”为1547；M=26，∵N=2×22-62=-200，
∴43的“叠加数”为5543；
（2）∵两位数M=10a+b（1≤a≤9,1≤b≤4，且均为整数）有“叠加数”，
∴N=(2×a)2-b2=4a2-b2=(2a-b)(2a+b)>0，
∴2a-b>0，
∵12a-M-N能被11整除，
∴12a-M-N=12a-(10a+b)-(2a+b)(2a-b)=(2a-b)(1-2a-b)能被11整除，
∴2a-b和1-2a-b至少有一个能被11整除，
∵1≤a≤9，1≤b≤4，
∴-2≤2a-b≤17，-21≤1-2a-b≤-2，
当2a-b=11时，a=6，b=1或a=7，b=3；
当1-2a-b=-11时，a=4，b=4或a=5，b=2，
当a=6，b=1时，M=61， N=(2×6)2-12=143，则M的叠加数为14361；
当a=7，b=3时，M=73,N=(2×7)2-32=187，则M的叠加数为18773；
当a=4，b=4时，M=44,N=(2×4)2-42=48，则M的叠加数为4844；
当a=5，b=2时，M=52,N=(2×5)2-22=96，则M的叠加数为9652．
综上，满足条件的两位数M的“叠加数”为14361或18773或4844或9652．
【点睛】本题考查数的整除类，涉及二元一次方程的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．
【题型二】 几何问题
【典题1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）．
(1)根据题意可列出以下表格：
则a=_________，b=_________；
(2)若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个？
(3)已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个．若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要有），则有哪几种方案可供选择？
【答案】(1)3，1
(2)可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器
(3)共有2种方案可供选择，详见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，熟练掌握1个竖式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数， 1个横式无盖容器需要长方形铁片张数和正方形铁片张数，总价与单价和数量的关系，正确列出二元次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
（1）根据“制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片”，即可得出结论；
（2）设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，根据加工两种容器共用了170张长方形铁片和80张正方形铁片，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设采购m个竖式容器，n个横式容器，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各采购方案．
【详解】（1）解：∵制作1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片、1张正方形铁片，制作1个横式无盖容器需要3张长方形铁片、2张正方形铁片，
∴a=3，b=1．
故答案为：3，1；
（2）解：设可以加工出x个无盖竖式容器，y个无盖横式容器，
根据题意得：4x+3y=170x+2y=80，
解得：x=20y=30
答：可以加工出20个无盖竖式容器，30个无盖横式容器；
（3）解：设采购m个竖式容器，n个横式容器，
根据题意得：50m+60n=800，
∴m=16-65n，
又∵m，n均为正整数，
∴m=10n=5或m=4n=10，
∴共有2种方案可供选择，
方案1：采购10个竖式容器，5个横式容器；
方案2：采购4个竖式容器，10个横式容器．
变式练习
1（24-25七年级下·四川内江·期中）在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，如图所示．则每个小长方形的面积是（ ）
A．9B．8C．18D．16
【答案】D
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长为x，宽为y，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意，可得x+3y=14x+y-2y=6，
解得x=8y=2，
所以，每个小长方形的面积为8×2=16．
故选：D．
2（23-24七年级下·全国·单元测试）用如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m 张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（ ）
A．200B．201C．202D．203
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设可以做成x个竖式的无盖纸盒，y个横式的无盖纸盒，根据恰好将纸板用完，即可得出关于x，y的二元一次方程组，两方程相加后可得出m+n=5x+y，结合x，y均为整数可得出m+n为5的倍数，再对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个．
根据题意，得 4x+3y=n，x+2y=m，
两式相加，得m+n=5x+y．
∵x，y 都是正整数，
∴m+n是5的倍数．
∵200，201，202，203四个数中只有200是5的倍数，
∴m+n 的值可能是200．
故选 A．
3（23-24七年级下·河北沧州·期中）某企业用规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，按照图①所示的裁法一和裁法二，分别裁剪出甲型与乙型两种板材（单位：cm）．
(1)求出图①中a与b的值．
(2)在试生产阶段，若将40张标准板材按裁法一裁剪，5张标准板材按裁法二裁剪，裁剪后将得到的甲型与乙型板材做侧面或底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的装饰盒若干个（接缝处的长度忽略不计）．
①一共可裁剪出甲型板材_______________张，乙型板材________________张；
②设做成的竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒y个，根据题意完成表格：
③恰好一共可以做出竖式和横式两种无盖装饰盒子________________个．（在横线上直接写出答案）
【答案】(1)a=60，b=40
(2)①85，50；②甲型：4x，3y；乙型：x，2y；③27．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量 关系，列出二元一次方程组．
（1）根据裁法一和裁法二裁出甲、乙的张数及剩余，可得出关于a、b的二元一次方程组，即可求解；
（2）①由裁法一裁出2张甲和一张乙，裁法二裁出一张甲和2张乙，结合标准板材即可求解；②根据制作一个竖式无盖需要4甲和1张乙，制作一个横式无盖需要3甲和2张乙，即可求解；③根据甲、乙裁出的张数列二元一次方程组即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：2a+b+10=170a+2b+30=170，
解得：a=60b=40，
∴ a=60，b=40；
（2）①一共可裁剪出甲型板材；40×2+5=85（张），
乙型版：40+5×2=50（张），
故答案为：85，50；
②甲型：4x，3y；乙型：x，2y；
③根据题意得：4x+3y=85x+2y=50，
解得：x=4y=23，
∴ x+y=4+23=27，
故答案为27．
【题型三】 行程问题
【典题1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）小宇骑自行车从家去西安植物园，已知他家到西安植物园的路程只有一段平路和一段上坡路．他先以8千米/时的速度在平路上骑行，而后又以4千米/时的速度上坡到达西安植物园，共用了1.5时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度经过平路、回到家、共用去55分钟，求从小宇家到西安植物园的路程是多少千米？
【答案】9千米
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设平路为x千米，坡路为y千米，根据上山用了1.5时，下山用了55分钟建立方程组求解即可．
【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米，
根据题意，得x8+y4=1.5x9+y12=5560
解这个方程组，得x=6y=3
则x+y=6+3=9（千米）．
答：从小宇家到西安植物园的路程是9千米．
变式练习
1（24-25七年级上·山东临沂·期末）小明和小伟分别从A、B两地同时出发，小明骑自行车，小伟步行，沿同一道路相向匀速而行，出发24分钟后两人相遇．相遇时小明比小伟多行进4.8千米，相遇后6分钟小明到达B地．则A、B两地间的距离为（ ）
A．8千米B．12千米C．6千米D．9千米
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，设小明骑自行车的速度为x千米/分，小伟步行的速度为y千米/分，由等量关系列方程组求解即可得到答案，读懂题意，找准等量关系列方程组求解是解决问题的关键．
【详解】解：设小明骑自行车的速度为x千米/分，小伟步行的速度为y千米/分，
则24x-24y=4.824x+24y=30x，解得x=415，
∴ A、B两地间的距离为30x=30×415=8（千米），
故选：A．
2（24-25七年级上·湖南怀化·期末）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？
【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米．
【分析】设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是74-x-y千米，再根据去与返回的时间建立方程组求解即可．
【详解】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时．
设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是74-x-y千米，
根据题意得：x30+y20+74-x-y40=2.5x30+y40+74-x-y20=2.8，
整理得：x+3y=782x+3y=108，
解得：x=30y=16，
∴74-x-y=74-30-16=28．
答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米．
【题型四】 销售问题
【典题1】（23-24七年级下·全国·课后作业）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了顾客的购物效率和满意度．某商场计划分别用27000元和12000元购进A，B两种型号的智能机器人，已知计划购进A型机器人比购进B型机器人多2台，且A型机器人的单价比B型机器人的单价每台高50%．
(1)A，B两种型号机器人的单价各是多少？
(2)春节将至，为应对购物高蜂，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的A型机器人的数量不少于B型机器人的数量．该商场应如何采购这批机器人？总费用是多少？
【答案】(1)A型机器人的单价为4500元；B型机器人的单价为3000元
(2)商场应购买A型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键．
（1）设B型机器人的进价为x元，则A型机器人进价为(1+50%)x元，设购进B型机器人m台，则购进A型机器人(m+2)台，根据题意列出方程组，解方程组即可．
（2）设再次购买A型机器人a台，则购买B型机器人(5-a)台，根据题意列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：设B型机器人进价为x元，购进B型机器人m台，则A型机器人进价为(1+50%)x=1.5x元，购进A型机器人(m+2)台，
根据题意，可列方程1.5x(m+2)=27000xm=12000，
解得x=3000，
即B型机器人进价为 3000 元，A型机器人进价为(1+50%)×3000=4500元．
（2）解：设再次购买A型机器人a台，则购买B型机器人(5-a)台，
根据题意，得a≥5-a4500a+3000(5-a)≤20000，
解得52≤a≤103，
由于a为整数，所以a=3，
总费用为3×4500+2×3000=19500元，
故商场应购买A型机器人 3 台，B型机器人 2 台，总费用为 19500 元．
变式练习
1（2025·广东东莞·二模）随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设．据最新资讯，目前该市有甲、乙两种型号的公共充电桩．已知安装3个甲型充电桩和2个乙型充电桩共需成本5.6万元；安装2个甲型充电桩和3个乙型充电桩共需成本5.4万元．
(1)求每个甲型充电桩和乙型充电桩的安装成本分别是多少万元；
(2)若该市计划再安装甲、乙两种型号的充电桩共50个，且总成本不超过54万元，求最多能安装多少个甲型充电桩．
【答案】(1)每个甲型充电桩的安装成本1.2万元，每个乙型充电桩安装成本1万元
(2)最多能安装20个甲型充电桩
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程组和不等式求解即可．
（1）设每个甲型充电桩的安装成本x万元，每个乙型充电桩安装成本y万元，根据“安装3个甲型充电桩和2个乙型充电桩共需成本5.6万元；安装2个甲型充电桩和3个乙型充电桩共需成本5.4万元”列出方程组求解即可；
（2）设安装甲型充电桩m个，则安装乙型充电桩50-m个，根据“总成本不超过54万元”列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每个甲型充电桩的安装成本x万元，每个乙型充电桩安装成本y万元，
3x+2y=5.62x+3y=5.4，
解得：x=1.2y=1，
答：每个甲型充电桩的安装成本1.2万元，每个乙型充电桩安装成本1万元．
（2）解：设安装甲型充电桩m个，则安装乙型充电桩50-m个，
1.2m+50-m≤54，
解得：m≤20，
答：最多能安装20个甲型充电桩．
【题型五】方案问题
【典题1】（24-25七年级下·福建福州·期中）学校组织甲、乙两支队伍共75位学生，参加文艺演出，并购买演出服（每人一套），下表是服装厂给出的演出服价格表：
甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队．若甲乙两队分别各自购买演出服，两队共需花费5600元，请回答下列问题：
(1)如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省__________元；
(2)甲、乙两队各有多少位学生？
(3)现从甲、乙两队分别抽调一部分学生去福利院演出（要求两队抽调的人数均不为0），并在演出后与小朋友们开展“心连心活动”．若甲队每位学生对接3位小朋友，乙队每位学生对接4位小朋友，恰好使得60位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，共有几种抽调方案？请列举出来．
【答案】(1)1100
(2)甲队有40人，乙队有35人
(3)一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，有理数乘法的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组求解是解题的关键．
（1）计算出甲、乙两队联合起来购买演出服的费用即可得到答案；
（2）设甲队有x人，则乙队有75-x人，先根据甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队列出不等式组求出x的取值范围，再讨论x的取值范围并根据价格表建立方程讨论求解即可；
（3）设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人，由题意得，3m+4n=60，求出此方程的正整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，甲、乙两队联合起来购买演出服的费用为60×75=4500元，
∵5600-4500=1100元，
∴如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省1100元；
（2）解：设甲队有x人，则乙队有75-x人，
∵甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队，
∴x>75-xx