第19讲 函数模型的应用 2025年升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）（解析版）

这是一份第19讲 函数模型的应用 2025年升高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）（解析版），共23页。学案主要包含了A组---基础题，B组---提高题等内容，欢迎下载使用。
1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础；
2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力；
【题型一】 常见函数模型的增长差异
【题型二】 选择适合的函数模型
【题型三】 幂函数模型的应用
【题型四】 指数函数模型的应用
【题型五】 对数函数模型的应用
3 课后分层练习 进一步巩固所学内容.

1. 理解函数是描述客观世界中的变量关系和规律的重要数学语言和工具；
2. 养成画图、识图和用图的习惯，从图中观察出函数模型；
3. 了解数学模型的概念，知道数学建模的意义，能利用给定的函数模型解决实际问题，能选择适当的函数模型拟合实际问题.
【题型一】 常见函数模型的增长差异
【典题1】（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）下列四个函数中增长速率最快的是（ ）
A．y=2024xB．y=lg2024x
C．y=x2024D．y=2024x
【答案】D
【分析】直接根据一次函数，幂函数，对数函数和指数函数的增长差异判断.
【详解】y=2024x为一次函数，y=lg2024x为对数函数，y=x2024为幂函数，y=2024x为指数函数，
指数函数y=ax，当a>1时呈爆炸式增长，当x足够大时，指数函数增长速度最快.
故选：D.
变式练习
1（24-25高一上·全国·课后作业）下面对函数fx=lg12x与gx=12x在区间0,+∞上的衰减情况的说法中正确的是（ ）
A．fx的衰减速度越来越慢，gx的衰减速度越来越快
B．fx的衰减速度越来越快，gx的衰减速度越来越慢
C．fx的衰减速度越来越慢，gx的衰减速度越来越慢
D．fx的衰减速度越来越快，gx的衰减速度越来越快
【答案】C
【分析】画出fx,gx的图象，观察图象即可判断.
【详解】在平面直角坐标系中画出fx与gx的图象如图所示，
由图象可判断出衰减情况为fx衰减速度越来越慢，gx衰减速度越来越慢．
故选：C.
2（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数中，增长速度越来越慢的是（ ）
A．y=6xB．y=lg6xC．y=x2D．y=6x
【答案】B
【分析】运用指数函数，对数函数，幂函数，一次函数的增长规律可解.
【详解】指数函数y=6x先慢后爆炸性增长，对数函数y=lg6x先快速增后慢慢增，幂函数y=x2一直再增，后面没有变慢，一次函数y=6x匀速增加.
故选：B.
3（24-25高一·全国·课后作业）当a>1时，有下列结论:
①指数函数y=ax，当a越大时，其函数值的增长越快;②指数函数y=ax，当a越小时，其函数值的增长越快;③对数函数y=lgax，当a越大时，其函数值的增长越快;④对数函数y=lgax，当a越小时，其函数值的增长越快.其中正确的结论是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】由指数函数的性质可判断①②的真假，根据对数函数的性质可判断③④的真假.
【详解】结合指数函数及对数函数的图象可知，
指数函数y=ax，当a越大时，其函数值的增长越快，
对数函数y=lgax，当a越小时，其函数值的增长越快，
（也可举例：例如22=4，42=16，可判断①对②错）
①④正确．
故选：B
【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的性质，增长性的问题，属于中档题．

【题型二】 选择适合的函数模型
【典题1】（24-25高一上·安徽安庆·期末）从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油Q（单位：L）与速度v（单位：km/h)0≤v≤120的下列数据：
为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：（ ）
A．Q=1v+1+bB．Q=av3+bv2+cv
C．Q=0.5v+aD．Q=klgav+b
【答案】B
【分析】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型．
【详解】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为0,120；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点.
函数Q=1v+1+b和Q=0.5v+a在定义域内单调递减，不符合条件，故AC错误；
函数Q=klgav+b中0不在函数的定义域中，故D错误；
B选项：Q=av3+bv2+cv满足上述三点，故B正确.
故选：B.
变式练习
1（23-24高一上·广东深圳·期末）下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是（ ）
A．y=10×1.05xB．y=20+x2C．y=30+lgx+1D．y=50x
【答案】A
【分析】根据函数的增长快慢差异判断.
【详解】解：因为指数函数y=1.05x的底数大于1，其增长速度随着时间的推移会越来越快，
比幂函数y=x2，对数函数y=lgx+1，一次函数y=50x增长的速度快，
所以从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是y=10×1.05x，
故选：A
2（2023高二下·辽宁·学业考试）卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国7岁以下女童身高的中位数y与年龄x之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国7岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（ ）．
A．y=ax+ba>0,b>0B．y=ax2+ba>0,b>0
C．y=ax+ba>0,b>0D．y=aex+ba>0,b>0
【答案】C
【分析】根据函数的增长速度可得合适的函数模型.
【详解】由图可知，y随着x的增长，y的增长速度越来越慢，C选项中的函数模型较为合适.
故选：C.
3（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
在以下四个函数模型中，a,b为常数，最能反映x,y间函数关系的可能是（ ）
A．y=ax+bB．y=ax+b
C．y=ax2+bD．y=lgax+b
【答案】B
【分析】由不同函数模型的增长速度可知指数函数符合题意.
【详解】根据表格提供数据可知，自变量变化量相同时，函数值增长越来越快，
即函数增长非常快，所以指数增长符合，即B选项符合.
故选：B.
4（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
根据上表数据，函数①Q=at+b，②Q=at2+bt+c，③Q=a⋅bt，④Q=algbt．能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】B
【分析】根据表中数据，得到西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不是常函数，也不是单调函数判断.
【详解】解：根据上表数据，西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不是常函数，也不是单调函数，
而Q=at+b，Q=a⋅bt，Q=algbt，在a≠0时，均为单调函数，这与所提供的数据不符，
故能够描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系是Q=at2+bt+c，
故选：B
【题型三】 幂函数模型的应用
【典题1】（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量．这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放xx≥0年后这种微生物的数量为y个单位．已知y与x的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：①y=mx2+nm>0；②y=px+qp>0；③y=ax-2+ba>0.
(1)请从中选择并求合适的两个确定y关于x的函数解析式，并说明理由；
(2)求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在26~42个单位之间生态环境最佳）
【答案】(1)解析式为①y=94x2+10≤x≤4和②y=5x+27x>4
(2)时长为173
【分析】（1）根据函数图象并结合已有模型性质，根据增减性可判断选择①②，再代入点的坐标求得参数值即可得出解析式；
（2）由生态环境最佳的标准得出不等关系解不等式，即可得出结论.
【详解】（1）易知模型③y=ax-2+ba>0在0,+∞上单调递减，因此可排除；
因为这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，根据二次函数性质可得①y=mx2+nm>0符合题意；
又随后越来越慢，由幂函数性质可得②y=px+qp>0符合题意；
因此在0≤x≤4时，y=mx2+nm>0，
当x>4时，y=px+qp>0；
结合图象可知y=mx2+nm>0经过点0,1、4,37；
即m×0+n=1m×42+n=37，解得m=94n=1，即y=94x2+10≤x≤4；
函数y=px+qp>0经过点4,37、16,47，
即p4+q=37p16+q=47，解得p=5q=27，即y=5x+27x>4；
因此符合题意的两函数解析式为①y=94x2+10≤x≤4和②y=5x+27x>4.
（2）因为微生物的数量在26∼42个单位之间生态环境最佳，
当0≤x≤4时，令94x2+1≥26，解得103≤x≤4；
当x>4时，令5x+27≤42，解得40，01).
(1)求两个函数模型的解析式；
(2)若2024年1月底测得水草覆盖面积为36m2，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，请说明理由，并估算至少到哪一年的几月底水草覆盖面积能达到1080m2？
（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48，lg7≈0.85）
【答案】(1)①y=165x2+1765，②y=27⋅(43)x
(2)选择模型②y=27⋅(43)x更合适，理由见解析，2025年2月底
【分析】（1）把x=2,x=3分别代入两个模型，求出函数解析式.
（2）取x=1计算y即可选择更适合的模型，再利用对数运算求得答案.
【详解】（1）若选择模型①y=ax2+b(a≠0)，则4a+b=489a+b=64，解得a=165，b=1765，
所以函数模型①的解析式为y=165x2+1765 ；
若选择模型②y=kcx(k>0,c>1)，则kc2=48kc3=64，解得k=27，c=43，
所以函数模型②的解析式为y=27⋅(43)x .
（2）把x=1代入函数模型①y=165x2+1765，得y=1925=38.4，
再把x=1代入函数模型②y=27⋅(43)x，得y=36，
因此选择模型②y=27⋅(43)x更合适，
由27⋅(43)x≥1080，得(43)x≥40，两边取对数得x⋅lg43≥lg40，
即x≥lg40lg43=2lg2+12lg2-lg3≈2×0.3+12×0.3-0.48≈13.33，
所以至少到2025年2月底水草覆盖面积能达到1080m2.
【题型五】对数函数模型的应用
【典题1】（24-25高一上·北京顺义·期末）某学校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分y（单位：分）与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下：
①函数是区间0,60上的增函数；
②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；
③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分；
④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分.
现有以下三个函数模型供选择：①y=mx+n(m>0)②y=m⋅lg2(x5+2)+n(m>0)③y=mx2+n(m>0)
(1)请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（不必说明理由），并求出函数的解析式；
(2)若每位学生每天得分不少于5分，求该学生每天至少需要锻炼的时间.（注：2≈1.414，结果保留整数）.
【答案】(1)②，y=2lg2(x5+2)-2
(2)该学生每天至少篅要锻炼47分钟
【分析】（1）选择模型①②③，利用函数图象过的点求出m,n，再验证即可得解.
（2）由（1）所得解析式，建立不等式并求解即得.
【详解】（1）选择模型①，由函数过点(0,0),(10,2)，得m=15,n=0，则y=15x，
当x=30时，y=6>5，不符合题意；
选择模型③，由函数过点(0,0),(10,2)，得m=150,n=0，则y=150x2，
当x=30时，y=18>5，不符合题意；
选择模型②，由函数过点(0,0),(10,2)，得mlg22+n=0mlg2(105+2)+n=2，解得m=2,n=-2，
此时函数的解析式为y=2lg2(x5+2)-2，当x=30时，y=2lg2305+2-2=4，符合题意，
所以函数的解析式为y=2lg2(x5+2)-2.
（2）由（1）知y=2lg2(x5+2)-2，由每位学生每天得分不少于5分，
得2lg2(x5+2)-2≥5，即lg2(x5+2)≥72，则x5+2≥272=82，
解得x≥402-10≈40×1.414-10=46.56，
所以若每位学生每天得分不少于5分，该学生每天至少篅要锻炼47分钟.
变式练习
1（2025高三·全国·专题练习）核酸检测主要采用荧光定量PCR方法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lgXn=nlg1+p+lgX0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该标本的扩增效率p约为（参考数据：100.2≈1.585，10-0.2≈0.631）（ ）
A．36.9%B．41.5%C．58.5%D．63.1%
【答案】C
【分析】由题意得lg100X0=10lg1+p+lgX0，化简后可求出p的值.
【详解】由题意得lg100X0=10lg1+p+lgX0，即lg100+lgX0=10lg1+p+lgX0，
整理得lg1+p=0.2，所以1+p=100.2，
所以p=100.2-1≈1.585-1=0.585，
故选：C．
2（2026高三·全国·专题练习）在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(km/s)和燃料的质量M(kg)、火箭（除燃料外）的质量m(kg)的函数关系是v=2000ln1+Mm．按照这个规律，当1000M=8m时，火箭的最大速度为v1；当1000M=4m时，火箭的最大速度为v2．则v1-v2≈（参考数据：ln252251≈0.004）（ ）
A．8.0km/sB．8.4km/sC．8.8km/sD．9.0km/s
【答案】A
【分析】结合已知，分别表达v1和v2时的Mm，代入表达式，应用同底对数的减法法则运算即可求解.
【详解】由火箭的最大速度v和燃料的质量M、火箭的质量m的函数关系是v=2000ln1+Mm，
当1000M=8m时，有Mm=81000，所以v1=2000ln1+81000=2000ln10081000；
当1000M=4m时，有Mm=41000，所以v2=2000ln1+41000=2000ln10041000；
可得v1-v2=2000ln10081004=2000ln252251≈2000×0.004=8(km/s)．
故选：A．
3（24-25高一上·上海浦东新·期末）某校为了鼓励学生利用业余时间阅读名著，预备制定一个每日阅读考核评分制度，建立一个每日得分y(单位：分)与当日阅读时间x(单位：分钟)的函数关系.要求如下：
(i)函数的部分图象接近图示；
(ii)每日阅读时间为0分钟时，当日得分为0分；
(iii)每日阅读时间为30分钟时，当日得分为3分；
(iiii)每日阅读时间设置上限，最多得分不超过6分.
现有以下三个函数模型供选择:
① y=kx+mk>0 ；
② y=k⋅1.1x+mk>0 ；
③ y=klg2x15+2+mk>0 .
(1)请你根据函数图象性质，从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由；
(2)根据你对(1)的判断以及所给信息，写出合适函数模型的解析式；
(3)若该校要求每日的得分不少于5分，问每日至少阅读名著多少分钟？(结果精确到整数).
【答案】(1)选 y=klg2x15+2+mk>0
(2)y=3lg2x15+2-3，0≤x≤906，x>90
(3)至少需要阅读66分钟
【分析】（1）根据图象和函数性质选择模型；
（2）将0,0，(30,3)代入求解系数即可；
（3）根据对数函数的性质求解不等式即可．
【详解】（1）根据题意可得应选择增加速度为先快后慢的增长模型，
所以选对数型模型，故选y=klg2x15+2+mk>0；
（2）由题意及（1）可知0,0，(30,3)在y=klg2x15+2+m上，
所以k+m=02k+m=3，解得k=3，m=-3，
所以y=3lg2x15+2-3，
令y=6，可得3lg2x15+2-3=6，解得x=90，
所以函数的解析式为
y=3lg2x15+2-3，0≤x≤906，x>90；
（3）令y=3lg2x15+2-3≥5，可得lg2x15+2≥83，
即x15+2≥283≈6.35，解得x≥66，
所以每天得分不少于5分，至少需要阅读66分钟.

【A组---基础题】
1（24-25高一上·湖北武汉·期末）在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据血液药物含量变化，结合函数单调性变化可判断.
【详解】在2h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B．
故选：B．
2（23-24高一上·全国·课后作业）已知a，b，c，d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)=x2，f2(x)=x12，f3(x)=lg2x，f4(x)=2x，如果运动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是（ ）
A．aB．bC．cD．d
【答案】D
【分析】根据指数函数、幂函数、对数函数模型的增长速度即可判断作答.
【详解】在运动时间足够长时，指数函数f4(x)=2x增长速度大于二次函数f1(x)=x2的增长速度，
大于二次根式函数f2(x)=x12的增长速度，大于对数函数f3(x)=lg2x的增长速度，
所以运动在最前面的物体一定是d.
故选：D
3（23-24高一上·河北保定·期末）有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是（ ）
A．y=bx+cB．y=bx+c
C．y=blgax+cD．y=ax+c
【答案】B
【分析】根据表格中的数据及散点图中点的变化趋势，逐项分析判断即得.
【详解】观察散点图，图中的那些点显然不在一条直线上，模型y=bx+c不符合，A不是；
若选择y=bx+c作为y与x的函数模型，将0,3,4,7代入，得3=c7=2b+c，解得b=2c=3，
则y=2x+3，显然当x=9时，y=9；当x=16时，y=11；当x=36时，y=15，
与表格中的实际值相同，因此y=bx+c适合作为y与x的函数模型，B是；
模型y=blgax+c在x=0处无意义，模型y=blgax+c不符合，C不是；
散点图中的点有单调递增的趋势，且增势逐渐变缓，模型y=ax+c不符合，D不是.
故选：B
4（新疆乌鲁木齐市2025届高三第三次质量监测学试题）溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pH=-lgH+，其中H+表示溶液中氢离子的浓度（单位：mlL）．某强酸溶液加水稀释后pH值增加2，则稀释后溶液中氢离子的浓度与稀释前溶液中氢离子的浓度比值为（ ）
A．2B．12C．100D．1100
【答案】D
【分析】根据题意，列出方程，利用对数的运算性质和指对数的互化计算即得.
【详解】设稀释前溶液的pH值为m，氢离子的浓度为n1，
加水稀释后pH值为m+2，氢离子的浓度为n2.
则m=-lgn1,m+2=-lgn2，
两式相减，可得-lgn2+lgn1=2，
化简得lgn2n1=-2，解得n2n1=1100.
故选：D.
5（24-25高一下·广西柳州·期中）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P（单位：mgL）与时间t（单位：h）间的关系为P=P0e-kt，其中P0，k>0，初始时污染物的含量为P0，若在前5h内消除了10%的污染物，则再过滤10h后污染物含量还剩余初始时的（ ）
A．70%B．85%C．81%D．72.9%
【答案】D
【分析】根据所给函数模型，利用指数幂的运算性质计算可求解.
【详解】当t=0时，P=P0⋅e-k⋅0=P0；
当t=5时，P0⋅e-5kP0=0.9，即e-5k=0.9；
当t=15时，P0⋅e-15kP0=e-15k=e-5k3=0.93=0.729=72.9%，
故选：D.
6（24-25高一上·广东汕头·期末）某科研单位的研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究，在培养皿中放入了一定数量的细菌，经过1小时细菌的数量变为12个，再经过2小时细菌的数量变为27个，并发现该细菌的个数增长的速度越来越快．现该细菌数量y（单位：个）与经过时间x（x∈N，单位：小时）的关系有以下两个函数模型可供选择：①y=kaxk>0,a>1；②y=px+qp>0．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求开始时放入的细菌的数量，并求至少经过几个小时该细菌的数量多于开始放入时的100000倍．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）
【答案】(1)y=8×32x,x∈N
(2)开始时放入的细菌的数量为8个，至少经过29个小时该细菌的数量多于开始放入时的100000倍.
【分析】（1）根据函数的增长速度比较即可得模型，代入数值即可待定出参数；
（2）由题意列出指数不等式，根据对数函数单调性以及对数的运算性质即可求解.
【详解】（1）由指数函数和幂函数函数图象可知：
y=kaxk>0,a>1的增长速度越来越快，y=px+qp>0的增长速度越来越慢，
依题意选函数y=kaxk>0,a>1更适合，
则有ka=12ka3=27，解得a=32k=8，即y=8×32x,x∈N.
（2）令x=0，则y=8，即开始时放入的细菌的数量为8个，
令y=8×32x>8×100000，
∴x>lg32100000=lg100000lg3-lg2≈50.4771-0.3010≈28.39，
∵x∈N，∴至少经过29个小时该细菌的数量多于开始放入时的100000倍.
7（24-25高一上·四川绵阳·期末）某工厂生产A,B两种产品，A产品的利润ux（单位：万元）与投入金额x（单位：万元）的关系式为ux=mx+lg2x+1x≥0;B产品的利润vx（单位：万元）与投入金额x（单位：万元）的关系式为vx=2x-lg264-x+n(0≤x7500，可得32n>103，
所以，n>lg32103=lg103lg32=1-lg3lg3-lg2≈1-≈2.972，
所以，DeepSeek的算力预计在2028年首次突破7500PetaFLOPS，
故选：C.
2（24-25高一上·北京·期中）在信息通信技术领域中，香农公式C=Wlg21+SN是广泛公认的理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN称为信噪比．以下有关于香农公式的3个命题，其中正确的是（ ）
①若将W>0视为常数，则C随信噪比SN增大而逐渐增大，且增长速度越来越慢；
②令W>0保持不变，信噪比SN从10增大到1330，可以使C增大为原来的3倍；
③由于技术提升，信道带宽W变为原来的1.2倍，信噪比SN从原来的1000提升到16000，则提升后的最大信息传递速率C比提升前增大了约56%．（取lg2≈0.30）
A．①②B．①②③C．①③D．①
【答案】A
【分析】利用对数函数的单调性与增长速度可判断①；利用对数的运算性质可判断②③.
【详解】对于①，因为对数函数y=lg2x为增函数，且W>0，
由对数函数的单调性可知，则C随信噪比SN增大而逐渐增大，且增长速度越来越慢，①对；
对于②，由Wlg21+1330Wlg21+10=Wlg2113Wlg211=3，
即令W>0保持不变，信噪比SN从10增大到1330，可以使C增大为原来的3倍，②对；
对于③，由1.2Wlg21+16000Wlg21+1000=1.2lg16001lg1001≈1.2lg16000lg1000=1.24lg2+33
≈0.4×4×0.3+3=1.68，
由于技术提升，信道带宽W变为原来的1.2倍，信噪比SN从原来的1000提升到16000，
则提升后的最大信息传递速率C比提升前增大了约68%，③错.
故选：A.
3（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）数学建模在实际生产生活中有广泛的运用.某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（r>0），劳累程度T（0b2-0.14>b1-0.14>0，b2-0.14r2>b1-0.14r2>b1-0.14r1，
则E1-E2=10-10T1⋅b1-0.14r1-(10-10T2⋅b2-0.14r2)=10T1(b2-0.14r2-b1-0.14r1)>0，
所以E1>E2，即甲比乙工作效率高，故②正确；
对于③，r1=r2，E1>E2，b1b1-0.14r1b2-0.14r2=(b1b2)-0.14r1>1，
所以T2>T1，即甲比乙劳累程度弱，故③错误；
对于④，b1=b2，E1>E2，r10，
T2b2-0.14r2>T1b1-0.14r1，所以T2T1>b1-0.14r1b2-0.14r2=b1-0.14(r1-r2)>1，
所以T2>T1，即甲比乙劳累程度弱，故④正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于对题意的理解以及相关性质的运用.
v
0
40
60
80
120
Q
0.000
6.667
8.125
10.000
20.000
x
3
5
7
9
11
13
y
21.01
21.11
21.99
30.03
101.96
749.36
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
时间/min
0
1
2
3
4
5
6
水温/℃
85.00
79.00
73.60
68.74
64.37
60.43
56.89
x
0
4
9
16
36
y
3
7
9
11
15