2024—2025学年_江苏镇江九年级上学期期中考试数学试题[附解析]

这是一份2024—2025学年_江苏镇江九年级上学期期中考试数学试题[附解析]，共41页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次方程x2+2x−1=0的根的情况是（ ）
A.只有一个实数根B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根D.没有实数根

2.如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOB=130∘，则∠ACB的大小是（ ）
A.50∘B.55∘C.60∘D.65∘

3.用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，下列配方正确的是（ ）
A.x+42=9B.x−42=9C.x−82=16D.x+82=57

4.如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A.∠ACD=∠BB.∠ADC=∠ACB
C.ADAC=CDBCD.AC2=AD⋅AB

5.黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB>BC，若AC=16cm，那么AB的长为（ ）cm

A.24−85B.48−165C.85−8D.165−16

6.如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠ADB=30∘，A是BC⌢的中点，若OB=1，则BC⌢的长是（ ）
A.23πB.43πC.13πD.2π

7.如图，在直角坐标系中，△OCD的顶点为O0,0，C−4,−3，B3,0，以点O为位似中心， 在第一象限内作△OCD 的位似图形△OAB， 位似比为1:3，则点A 坐标为（ ）

A.9,9B.12,9C.9,12D.12,12

8.如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB=50cm，则CD的长是（ ）
A.30cmB.1003cmC.20cmD.254cm

9.已知线段a,b,c，求作线段x，使x=acb，则下列作图中正确的是（ ）
A.B.
C.D.

10.我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形OABCD的边AB固定，向右推动该正五边形，使得O为AD的中点，且点A,B,C,D在以点O为圆心的圆上，过点C作⊙O的切线EF，则∠BCF的度数为（ ）
A.18∘B.30∘C.36∘D.54∘
二、填空题

11.如果4a=5b，那么aa+b=__________________．

12.设a是方程2x2+x−1=0的一个根，则3−4a2−2a的值为__________________．

13.已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为4cm，则圆锥的侧面积为_________cm2.

14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE=110∘，则∠BOD的度数为_______________．

15.整式a2+b2−8a−2b+5的最小值为_________________．

16.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P在BA的延长线上，PA=14AB，点D在BC边上，PD=PC，则CDBC的值是___________．
三、解答题

17.解方程：
（1）5x2−3x=x+1
（2）3xx−2=22−x

18.已知关于x的一元二次方程x2+mx+2m−7=0．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根
（2）已知方程的一个根为x=2，求m值及方程的另一根．

19.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE=∠ACB
1求证：△ADE∼△ACB．
2若AD=2BD,AE=4,AC=9，求BD的长．

20.如图，在坐标系中，A1,6、B5,6、C7,4．

（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为________；
（2）这个圆的半径为：_______；
（3）直接判断点D5,−3与⊙M的位置关系．点D5,−3在⊙M________．（填“内”、“外”、“上”）

21.智慧养老，让老年人享受数字经济红利．近年来，智慧养老成为老龄事业与产业发展的方向之一，广东省正致力于打造智慧养老的新标杆，为老年人提供更加贴心、高效的养老服务，同时为数字经济的发展注入新活力．某养老服务机构8月份为800名老人提供服务，10月份为1352名老人提供服务，求该机构9、10月份服务老人人数的月平均增长率．

22.学完图形变换后，小宛以“正五边形的变换”为主题开展探究活动：
1如图1，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B​的对应点为点B′， 折痕为AF，求∠AFB的大小．
2如图2，用一些全等的正五边形按图示方式拼接，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24∘，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，若拼接一圈后，中间能形成一个正多边形，请直接写出这个正多边形的边数．

23.在Rt△AFD中，∠F＝90∘，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O 过点C，连接AC，将△AFC 沿AC翻折得△AEC，且点E恰好落在直径AB上．
（1）判断：直线________与半圆________的位置关系是________；并证明你的结论．
（2）若OB＝BD＝2，求CE的长．

24.解决问题

25.如图，已知∠PAQ及AP边上一点C．

（1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①作⊙O，使得圆心O在射线AQ上，且⊙O经过A、C两点，交射线AQ于点B；
②在射线CP上求作点M， 使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；
（2）在1的条件下，若AC=4，AB=5， 直接写出OM的长=_______．

26.“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多
【问题提出】
1如图①，PC是△PAB的角平分线，求证：PAPB=ACBC.
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD//PA，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”．
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，利用“等面积法”．
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．
【尝试应用】
2如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是边AB上一点，连结CD，将△ACD沿CD所在直线折叠，使点A恰好落在边BC的中点E处．若DE=5，求AC的长．
【拓展提高】
3如图③，△ABC中，AB=6 ，AC=4，AD为∠BAC的角平分线，AD的垂直平分线EF交BC延长线于点F，连接AF，当BD=3时，AF的长为________.
参考答案与试题解析
2024-2025学年江苏省镇江市九年级上学期期中考试数学试题
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
根的判别式
【解析】
根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=8>0，进而可得出一元二次方程x2+2x−1=0有两个不相等的实数根．
【解答】
解：∵a=1，b=2，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=22−4×1×−1=8>0，
∴一元二次方程x2+2x−1=0有两个不相等的实数根．
故选：C．
2.
【答案】
D
【考点】
圆周角定理
【解析】
本题主要考查圆周角定理，根据圆周角定理进行求解即可．
【解答】
解：∵∠AOB=130∘,
∴∠ACB=12∠AOB=12×130∘=65∘,
故选：D．
3.
【答案】
A
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
本题主要考查配方法解一元二次方程，按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方（二次项系数为1），整理化简即得答案．
【解答】
解：方程x2+8x+7=0即为x2+8x=−7，
在方程的两边都加上16，得x2+8x+16=−7+16，
即x+42=9．
故选：A．
4.
【答案】
C
【考点】
选择或补充条件使两个三角形相似
【解析】
根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解，
本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理．
【解答】
解：A、∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，不符合题意，
B、∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，不符合题意，
C、根据ADAC=CDBC无法得到△ACD∽△ABC，符合题意，
D、∵AC2=AD⋅AB，
∴ACAD=ABAC，
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，不符合题意，
故选：C．
5.
【答案】
C
【考点】
黄金分割
【解析】
本题考查了黄金分割的有关计算，根据黄金分割的定义得到AB=5−12AC，把AC=16cm代入计算即可得到答案．
【解答】
解：∵点B是线段AC的黄金分割点AB>BC，
∴AB=5−12AC，
∵AC=16cm，
∴AB=5−12×16=85−8cm，
故选：C．
6.
【答案】
A
【考点】
求弧长
利用弧、弦、圆心角的关系求解
【解析】
本题考查了圆周角定理，弧，圆心角，弦之间的关系，弧长公式．连接OA，先求得∠COB=120∘，再利用弧长公式解答即可．
【解答】
解：连接OA，
∵A是BC⌢的中点，
∴∠AOB=∠AOC，
∴∠COB=2∠AOB，
∵∠ADB=30∘，
∴∠AOB=2∠ADB=60∘，
∴∠COB=120∘，
∵OB=1，
∴BC⌢的长是=120×π×1180=23π，
故选：A．
7.
【答案】
B
【考点】
求位似图形的对应坐标
【解析】
本题主要考查位似与坐标，熟练掌握位似与坐标的关系是解题的关键．根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把点C的横纵坐标乘以−3，即可得到答案．
【解答】
解：∵△OCD的顶点为O0,0，C−4,−3，B3,0，以点O为位似中心， 在第一象限内作△OCD 的位似图形△OAB， 位似比为1:3，
∴点A的横坐标为−4×−3=12，纵坐标为−3×−3=9，
∴点A的坐标为12,9；
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
相似三角形的应用
【解析】
证明△COD∽△BOA，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解．
【解答】
解：根据题意得CD//AB，
∴△COD∽△BOA，
∴CDAB=23，
∵AB=50cm，
∴CD=23×50=1003cm，
故此题答案为B．
9.
【答案】
D
【考点】
相似三角形的性质与判定
【解析】
本题考查相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
先证明相似三角形，然后根据相似三角形的性质列比例式即可解答．
【解答】
解：A． 由图可知：∠ABC=∠CDE=∠ACE=90∘，
∴∠A+∠ACB=90∘,∠ECD+∠ACB=90∘，
∴∠A=∠ACB，
∴△ABC∽△CDE，
∴ABCD=BCDE，
∴ax=cb，即x=abc，与x=acb矛盾，不符合题意；
B． ∵∠A=∠A,∠AED=∠ABC，
∴△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB，
∴ab+x=xa+c，
∴x2+bx−a2−ac=0，无法得出x=acb，不符合题意；
C．由图可知：∠AFE+∠A=∠FEC=∠FED+∠DEC，∠A=∠FED=45∘，
∴∠AFE=∠DEC，
∵∠A=∠C=45∘
∴△AEF∽△CDE，
∴AECD=AFCE，
∴ac=xb，即x=abc，与x=acb矛盾，不符合题意；
D． ∵∠A=∠A,∠AED=∠ACB，
∴△ABC∽△ADE
∴ADAB=AEAC，
∴a+xa=b+cb，
∴xa=cb，即x=acb，与x=acb相符，符合题意．
故选：D．
10.
【答案】
B
【考点】
切线的性质
圆心角、弧、弦的关系
正多边形和圆
【解析】
连接OC,OB，先求出∠BOC=60∘，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC=12×180∘−60∘=60∘，根据切线的性质得到∠OCF=90∘，于是得到结论．
【解答】
解：连接OC,OB，
∵五边形OABCD是正五边形，
∴AB=BC=CD，
∴AB⌢=BC⌢=CD⌢，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AOB=∠COD=∠BOC=13×180∘=60∘，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=12×180∘−60∘=60∘，
∵点C作⊙O的切线EF，
∴∠OCF=90∘，
∴∠BCF=90∘−60∘=30∘，
故此题答案为B．
二、填空题
11.
【答案】
59
【考点】
比例的性质
【解析】
本题考查比例的性质，先根据4a=5b得到ba=45，再代入aa+b中求解即可．
【解答】
解：∵4a=5b，
∴b=45a，
∴aa+b=aa+45a=59，
故答案为：59．
12.
【答案】
1
【考点】
一元二次方程的解
已知式子的值，求代数式的值
【解析】
本题主要考查一元二次方程的根，代数式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
将a代入方程中，可得−4a2−2a=−2，再将上式代入3−4a2−2a中，即可求解．
【解答】
解：将a代入2x2+x−1=0，
可得：2a2+a−1=0，
∴上式可化为：−4a2−2a=−2，
将−4a2−2a=−2代入3−4a2−2a中，可得：
3−4a2−2a=3−2=1，
故答案为：1．
13.
【答案】
8π
【考点】
求圆锥侧面积
【解析】
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷
【解答】
底面圆的半径为2，则底面周长=4π，侧面面积=12×4π×4=8πcm2．
故答案是：8π.
14.
【答案】
140∘
【考点】
圆周角定理
对顶角的定义
【解析】
根据邻补角的定义求出∠BCD，再根据圆周角定理计算即可．
【解答】
解：∵∠BCE=110∘，
∴∠BCD=180∘−110∘=70∘，
由圆周角定理得：∠BOD=2∠BCD=140∘，
故答案为：140∘．
15.
【答案】
−12
【考点】
配方法的应用
【解析】
根据完全平方公式对多项式进行变形，根据平方的非负性解答．
【解答】
a2+b2−8a−2b+5，
=a2−8a+42−42+b2−2b+12−12+5，
=a−42+b−12−12，
∵a−42≥0，b−12≥0，
∴当a=4，b=1时，整式a2+b2−8a−2b+5有最小值，
最小值为−12．
故答案为：−12．
16.
【答案】
34
【考点】
等腰三角形的判定与性质
比例的性质
由平行判断成比例的线段
【解析】
过点P作PE∥AC交DC延长线于点E，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证PB=PE，再证△PCE≅△PDB，可得BD=CE，再利用平行线分线段成比例得PAAB=CEBC，结合线段的等量关系及比例的性质即可得到结论．
【解答】
如图：过点P作PE∥AC交DC延长线于点E，
∵AB=AC∴∠B=∠ACB
∵AC∥PE∴∠ACB=∠E∴∠B=∠E∴PB=PE∵PC=PD∴∠PDC=∠PCD∴∠BPD=∠EPC
∴在△PCE和△PDB中
PC=PD∠EPC=∠BPDPE=PB
∴△PCE≅△PDB
∴BD=CE
∵AC∥PE∴PAAB=CEBC
∵PA=14AB
∴CEBC=14
∴BDBC=14
∴CDBC=34
故答案为：34．
三、解答题
17.
【答案】
（1）x1=1，x2=−15
（2）x1=2，x2=−23
【考点】
解一元二次方程-公式法
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
（1）先将一元二次根式变为一般形式，然后用公式法解方程即可；
（2）先移项，再用因式分解法解方程即可．
【解答】
解：（1）原方程化为5x2−4x−1=0，a=5，b=−4，c=−1，
所以Δ=b2−4ac=−42−4×5×−1=36>0，
所以方程有两个不相等的实数根x=−−4±362×5=4±610，
即x1=1，x2=−15
（2）原方程可化为3xx−2+2x−2=0，
所以3x+2x−2=0，
所以x1=2，x2=−23．
18.
【答案】
（1）见解析
（2）m=34，x=−114
【考点】
一元二次方程的解
根与系数的关系
根的判别式
【解析】
（1）根据题意只需要证明Δ=m2−42m−7>0即可；
（2）一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把x=2代入原方程求出m的值，进而根据根与系数的关系求出另一个根即可．
【解答】
解：（1）证明：由题意得，Δ=m2−42m−7
=m2−8m+28
=m2−8m+16+12
=m−42+12，
∵m−42≥0，
∴m−42+12>0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：把x=2代入x2+mx+2m−7=0得：22+2m+2m−7=0，
解得m=34，
∴原方程为x2+34x−112=0，
设另一个根为x1，
∴2+x1=−34，
∴x1=−114，即另一个根为x=−114．
19.
【答案】
1证明：∵ ∠ADE=∠ACB,∠A=∠A，
∴ △ADE∼△ACB.
2解：由1可知，△ADE∼△ACB，
∴ ADAC=AEAB．
设BD=x，则AD=2x,AB=3x．
∵ AE=4,AC=9，
∴ 2x9=43x，
解得x=6（负值舍去），
∴ BD的长是6．
【考点】
相似三角形的判定
相似三角形的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
1证明：∵ ∠ADE=∠ACB,∠A=∠A，
∴ △ADE∼△ACB.
2解：由1可知，△ADE∼△ACB，
∴ ADAC=AEAB．
设BD=x，则AD=2x,AB=3x．
∵ AE=4,AC=9，
∴ 2x9=43x，
解得x=6（负值舍去），
∴ BD的长是6．
20.
【答案】
3,2
25
外
【考点】
勾股定理的应用
利用垂径定理求值
判断点与圆的位置关系
求三角形外心坐标
【解析】
（1）根据题意，AB的垂直平分线所在直线为x=3，可知圆心M在直线为x=3上，设M3,m，根据MA=MC，可求出圆心M的坐标；
（2）由1求出MA=25，即可求圆的半径长；
（3）根据MD=29>25，即可判断D点的位置．
【解答】
（1）解：∵ A1,6、B5,6，
∴ AB的垂直平分线所在直线为x=3，
∴圆心M在直线为x=3，
设M3,m，
∴MA=MC，
∴4+m−62=16+m−42，
解得m=2，
∴M3,2，
故答案为：3,2；
（2）解：∵M3,2，A1,6，
∴MA=1−32+6−22=25，
∴圆的半径长为25，
故答案为：25；
（3）解：∵M3,2，D5,−3，
∴MD=5−32+−3−22=29，
∵29>25，
∴点D5,−3在⊙M外，
故答案为：外．
21.
【答案】
30％
【考点】
一元二次方程的应用——增长率问题
【解析】
本题考查了一元二次方程的应用，设该机构9、10月份服务老人人数的月平均增长率为x．根据题意列出方程，解方程，即可求解．
【解答】
解：设该机构9、10月份服务老人人数的月平均增长率为x．
根据题意，得8001+x2=1352，
解得x1=30％,x2=−2.3 (不合题意，舍去)．
答：该机构9、10月份服务老人人数的月平均增长率为30％．
22.
【答案】
45．
6．
【考点】
三角形内角和定理
多边形的内角
【解析】
1根据题意求得正五边形的每一个内角为155−2×180∘=108∘，根据折叠的性质求得∠BAM,∠FAB,在△AFB中，根据三角形内角和定理即可求解．
2由完全拼成一个圆环需要的正多边形为n个，则围成的多边形为正n边形，利用正五边形的内角与夹角计算出正n边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可．
【解答】
1解：∵正五边形的每一个内角为155−2×180∘=108∘，
将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，
则∠BAM=12∠BAE=12×108∘=54∘，
∵将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，
∴∠FAB=12∠BAM=12×54∘=27∘，
∵∠B=108∘，
∴∠AFB=180∘−∠B−∠FAB=180∘−108∘−27∘=45∘；
2解：∵正五边形的每个内角为180∘×5−2÷5=108∘，
∴组成的正多边形的每个内角为360∘−2×108∘−24∘=120∘，
∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，
∴形成的正多边形为正n边形，则n−2×180∘n=120∘，
解得：n=6．
23.
【答案】
FC,O,相切
在Rt△OCD中，cs∠COD=OCOD=12
∴ ∠COD＝60∘，
在Rt△OCD中，CE＝OC⋅sin∠COD=3．
【考点】
直线与圆的位置关系
切线的判定与性质
翻折变换（折叠问题）
解直角三角形
【解析】
（1）根据切线的判定定理证明∠F＝∠OCD＝90∘，即可得出FC与⊙O相切；
（2）利用∠COD＝60∘，得出CE＝OC⋅sin∠COD进而求出．
【解答】
直线FC与⊙O的位置关系是相切；
证明：连接OC
∵ OA＝OC，∴ ∠1＝∠2，
由翻折得，∠1＝∠3，∠F＝∠AEC＝90∘
∴ ∠3＝∠2，
∴ OC // AF，
∴ ∠F＝∠OCD＝90∘，
∴ FC与⊙O相切；
在Rt△OCD中，cs∠COD=OCOD=12
∴ ∠COD＝60∘，
在Rt△OCD中，CE＝OC⋅sin∠COD=3．
24.
【答案】
初步应用：储物盒的容积为6528cm3 储物收纳：这个玩具不能完全放入该储物盒
【考点】
一元二次方程的应用——几何图形面积问题
【解析】
本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程．
初步应用：设裁去小正方形边长为xcm，根据底面积，列出方程求解即可；
储物收纳：设裁去小长方形长为mcm，宽为ncm，推出n=2m−50，根据底面积得出40−2n100−2m=800，将n的代数式代入，求出m的值，再得出制作储物盒长为40cm，高为10cm，宽为20cm，即可解答．
【解答】
初步应用：
解：设裁去的正方形的边长为xcm，
40−2x50−2x=816，
解得：x1=37（舍去），x2=8，
∴这个储物盒的容积为816×8=6528cm3．
储物收纳：
解：设减去的长方形的长为mcm，宽为ncm，
则2m−n=100−2m，
解得n=2m−50，
∵40−2n100−2m=800，
∴[40−22m−50]100−2m=800，
解得：m1=55（舍去），m2=30，
即高为n=2×30−50=10cm，
∴储物盒的底面的两边长为100−30×2=40cm，40−10×2=20cm，
∵40cm>35cm，20cm>15cm，10cm