2024-2025学年安徽省合肥市普通高中六校联盟高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年安徽省合肥市普通高中六校联盟高一（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数2i1−i对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1，且(a−b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
3.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为2 2，则该正四棱锥的体积为( )
A. 4 23B. 4 2C. 4 63D. 4 6
4.已知x+y=4，且x>0，y>0，则1x+1y的最小值是( )
A. 1B. 2C. 2D. 2 2
5.在图示正方体中，O为BD的中点，直线A1C∩平面C1BD=M，下列说法错误的是( )
A. A，C，C1，A1四点共面
B. C1，M，O三点共线
C. M∈平面BB1D1D
D. A1C与BD异面
6.已知函数f(x)=(a−1)x,x1)恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是( )
A. ( 3,0)B. (34,2]C. [34,2)D. [34,2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设向量a=(x+2,x),b=(−1,x)，则下列说法正确的是( )
A. x=2是a⊥b的充分条件B. x=−1是a⊥b的必要条件
C. x=0是a//b的充分条件D. x=6是a//b的必要条件
10.随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件A=“第一次为奇数”，B=“第二次为奇数”，C=“两次点数之和为奇数”，则正确的是( )
A. P(A)=P(B)=P(C)B. A∩B与C互斥
C. A与C相互独立D. P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段CC1上运动(包括端点)，则下列结论正确的有( )
A. 三棱锥D−ABC1的外接球的表面积为3π
B. 直线BP和平面ABB1A1所成的角为定值
C. 三棱锥P−ABB1的体积是定值
D. (AP+B1P)2的最小值为4+2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校高一年级共有男生420人，女生380人，为了解学生身高状况，决定按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高一年级全体学生中抽出40人，组建一个合唱团，则男生应该抽取______人.
13.已知sin(α+β)=23,tanα=3tanβ，则sin(α−β)= ______．
14.如图，在平面四边形ABCD中，已知AB=1,AC= 5，BD⊥BC，BD=2BC，则AD的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x2−ax+a+3．
(1)当a=7时，解不等式f(x)>0；
(2)当x∈R时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=sinxcsx− 3cs2x+ 32．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数f(x)在区间[−π6,π4]上的值域．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，AB=BC=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，PA=2．
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)求二面角P−CD−A的正弦值．
18.(本小题17分)
某校对2021年高一上学期期中数学考试成绩(单位：分)进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照30,50,50,70，70,90,90,110，110,130,130,150分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；
(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数；
(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在50,70和70,90的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2.名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在50,70内的概率．
19.(本小题17分)
如图，设Ox，Oy是平面内相交成θ(00，所以1x+1y=14(2+yx+xy)≥14(2+2 yx⋅xy)=1，
当且仅当x=y=2时取等号，所以1x+1y的最小值为1．
故选：A．
利用代换1法，结合基本不等式即可求最小值．
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：A，根据题意可知，AA1/​/CC1且AA1=CC1，∴A，C，C1，A1共面，故A正确；
B，根据题意可知，直线A1C∩平面C1BD=M，∴M∈平面C1BD，
∵M∈直线A1C，又A1C⊂平面ACC1A1，∴M∈平面ACC1A1，
∵O为BD中点，BD⊂平面C1BD，∴O∈平面C1BD，
底面ABCD为正方形，∴O为AC中点，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈底面ACC1A1，
又C1∈平面ACC1A1，C1∈平面C1BD，
∴平面C1BD与平面ACC1A1相交，且C1，M，O在交线上，即C1，M，O三点共线，故B正确；
C，平面C1BD∩平面BB1D1D=BD，M∈平面C1BD，但M∉直线BD，
∴M∉平面BB1D1D，故C错误；
D，直线A1C∩平面ABCD=C，直线BD⊂平面ABCD，M∉BD，
∴直线A1C与BD为异面直线，故D正确．
故选：C．
根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可．
本题考查了点与线、点与面、线与面的位置关系，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意，函数f(x)是定义在R上的增函数，
则有−(a−1)≤3a−4a−1>0−4−a2≤−1，解得54≤a≤2．
故实数a的取值范围是[54,2]．
故选：A．
根据分段函数y=f(x)在R上的单调性可得出关于实数a的不等式组，进而可求得实数a的取值范围．
本题考查函数的单调性性质的应用，注意函数单调性的定义，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意，从10个数中任取2个数，设事件A=“这2个数中至多有1个阴数”，
则A−=“这2个数字全是阴数”，
10个数字中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数，
则P(A−)=C52C102=1045=29，
故P(A)=1−P(A−)=1−29=79．
故选：D．
利用分类抽取和间接法即可求解．
本题考查古典概型的计算，涉及对立事件的性质，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由f(x)=f(x+4)，得函数f(x)的周期为4，
∵当x∈[−2,0]时，f(x)=(12)x−1，
∴若x∈[0,2]，则−x∈[−2,0]，
则f(−x)=(12)−x−1=2x−1，
∵f(x)是偶函数，
∴f(−x)=(12)−x−1=2x−1=f(x)，
即f(x)=2x−1，x∈[0,2]，
由f(x)−lga(x+2)=0得f(x)=lga(x+2)，
作出函数f(x)的图象如图：当a>1时，在区间(−2,6)要使方程f(x)−lga(x+2)=0恰有3个不同的实数根，
则等价为函数f(x)与g(x)=lga(x+2)有3个不同的交点，
则满足g(2)0，解得x>5或x