七年级人教版数学下册复习 专题03 平面直角坐标系（5个知识点+6个核心考点+复习提升）（解析版）

这是一份七年级人教版数学下册复习 专题03 平面直角坐标系（5个知识点+6个核心考点+复习提升）（解析版），共56页。学案主要包含了易错点剖析，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3，变式3-1等内容，欢迎下载使用。
串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢
重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺
举一反三：核心考点能举一反三，能力提升
复习提升：真题感知+提升专练，全面突破
【知识点1 平面直角坐标系有关概念】
1.平面直角坐标系的概念：
平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。
①坐标轴：水平的数轴称为横轴（x轴）；竖直的数轴称为纵轴（y轴）。
②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。
③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。
2.象限：
如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时针一次得到第二象限、第三象限以及第四象限。 特别地，坐标轴不属于任何一个象限。
【典例1】在平面直角坐标系中，点（为实数）不可能在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【详解】解：当时，则，
∴可能是正数，也可能是负数，
∴点可能在第二或第三象限；
当时，则，
∴不可能是负数，
∴点不可能在第四象限；
∴在平面直角坐标系中，点不可能在的象限是第四象限．
故选：D．
【知识点2 平面直角坐标系内点的坐标及其特征】
1.点的坐标：
横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的横坐标；
纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的纵坐标；
2.象限内的点的坐标特点：
第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均大于0；可以表示为 （+，+）。
第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标大于0；可以表示为（－，+）。
第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于0，纵坐标小于0；可以表示为（－，－）。
第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于0，纵坐标小于0；可以表示为（+，－）。
3.坐标轴上的点的坐标特点：
①x轴上的所有点的纵坐标等于 0 ，可表示为（x，0）。
②y轴上的所有点的横坐标等于 0 ，可表示为（0，y）。
4.象限角平分线上的点的坐标特点：
①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 相等 。
②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 互为相反数 。
5.平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的点的坐标特点：
平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的所有点的坐标 纵坐标 相等。
6.平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的点的坐标特点：
平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的所有点的坐标 横坐标 相等。
7.点到坐标轴的距离：
点到横坐标轴的距离等于该点的 纵坐标的绝对值 。
点到纵坐标轴的距离等于该点的 横坐标的绝对值 。
【典例2】已知直线轴，点的坐标为，并且线段，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．或D．或
【详解】解：∵直线轴，点的坐标为，
∴点的纵坐标为，
∵线段，
∴，或，
∴点的坐标为或，
故选：C ．
【典例3】已知点在y轴上，点在x轴上，则点的坐标为 ．
【详解】解：∵点在轴上，点在轴上，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：．
【典例4】在平面直角坐标系中，将点向左平移了个单位后得到点，点到轴的距离为，到轴的距离为，请你写出符合条件的所有点的坐标 ．
【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为，
∴点的坐标为或或或，
∵将点向左平移了个单位后得到点，
∴点的坐标为或或或，
故答案为：或或或．
【知识点3 利用坐标表示位置】
1.建立平面直角坐标系表示地理位置：
第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x轴与y轴的正方形。
第二步：根据具体问题确定 单位长度 。
第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。
2.用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的位置：
以一点为参照点，用 某个方向 加上与该参照点的 距离 来确定一点的位置。
【典例5】在如图的中国象棋盘中若建立直角坐标系后，棋子“士”所在位置的坐标为，棋子“帅”所在的位的坐标为，那么棋子“炮”所在位置的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：∵棋子“士”所在位置的坐标为，棋子“帅”所在的位的坐标为，
确定直角坐标系如图，
∴棋子“炮”所在位置的坐标是．
故选：A．
【知识点4 点在坐标系中的平移】
左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标 不变 ，横坐标进行 加减 。向右平移时 加 ，向左平移时 减 。
巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。
上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标 不变 ，纵坐标进行 加减 。向上平移时 加 ，向下平移时 减 。
巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。
【典例6】平面直角坐标系中，线段经过平移得到线段，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：∵点的对应点的坐标为，
∴点B的对应点的坐标是．
故选：A．
【知识点5 图形在坐标系中的平移】
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
【易错点剖析】
平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．
【典例7】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上．
(1)请建立合适的平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为和，并写出点C的坐标为_______．
(2)在（1）的条件下，中任意一点经平移后对应点，将作同样的平移得到，请画出，并直接写出点的坐标______．
【详解】（1）解：因为点的坐标为，
所以点在轴的正半轴上，且距离原点为，
可确定原点的位置，可画出平面直角坐标系，如图所示：
则；
（2）解：经平移后对应点为，则顶点，，均向轴正方向移动，向轴负方向移动，可得到顶点，，平移后的对应点，顺次连接，，，即为，如图所示：
则的坐标为．
考点一：平面直角坐标系中点的坐标特征
例1．在平面直角坐标系中，点的坐标为．
(1)若点在第一象限内，且到轴、轴的距离之和为7，求点的坐标；
(2)若将点向右平移2个单位长度后，恰好落在轴上，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征及坐标的平移，正确理解平面直角坐标系中点的坐标特征及坐标的平移是解题的关键．
（1）根据题意得到，然后求解即可；
（2）根据题意得到，求出，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：点在第一象限内，且到轴、轴的距离之和为7，
，
解得，
，，
点的坐标为．
（2）解：将点向右平移2个单位长度后，恰好落在轴上，
，
解得，
，
，
点的坐标为．
【变式1-1】在平面直角坐标系中，已知点的坐标为．
(1)若点在第二象限，且到两个坐标轴的距离相等，请求出点的坐标；
(2)若点的坐标为，且轴，试求点的坐标．
【分析】本题主要考查了点的坐标与象限的关系，点的坐标的几何意义，解题的关键是准确掌握点的坐标的几何意义．
（1）利用点的坐标和象限的关系以及点的几何意义可得，，解方程即可求出点的坐标；
（2）根据轴，两个点的纵坐标相等，列出求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，点到两个坐标轴的距离相等，且点在第二象限，
∴，
解得，
∴
∴点的坐标为；
（2）解：∵轴，
∴，
解得，
∴，
点的坐标为；
【变式1-2】已知点，解答下列各题：
(1)若点在轴上，求出点的坐标；
(2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标；
(3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值．
【分析】（1）根据题意得：点在轴上，得到，解出的值，由此得到答案．
（2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案．
（3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，，故，解出的值，由此得到答案．
本题考查了坐标与图形，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得：
∵点在轴上，
，
解得：，
则，
点的坐标为：；
（2）解：直线轴，
直线上所有点的纵坐标都相等，
，
解得：，
则，
即点的坐标为；
（3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，
，，
，
即，
解得：
【变式1-3】已知点是平面直角坐标系中的点．
(1)若，求点P的坐标；
(2)若点P在第一象限的角平分线上，求x的值；
(3)若点P到两坐标轴的距离之和为14，求x的值．
【分析】本题考查了点的坐标的特点，实数的混合运算，求不等式组的解集，利用到两坐标轴的距离相等列出方程是解题关键．
（1）把化简后代入求解即可；
（2）根据第一象限的角平分线上点的横纵坐标相等列方程求解即可；
（3）分别利用P点在第一、二、三、四象限以及在坐标轴上分别分析得出答案．．
【详解】（1）∵，
∴，即．
（2）解：根据题意得：，
解得：；
（3）解：当点P在第一象限时，
由题意，得，
解得：，
，符合题意；
当点P在第二象限时，
由题意，得，
解得，不合题意；
当点P在第三象限时，
由题意，得，
解得，
，符合题意；
当点P在第四象限时，
由题意，得，
解得：，不合题意；
当点P在x轴上，则，
解得：x=，此时，不合题意；
当点P在y轴上，则，
解得：，此时，不合题意；
综上可知，x的值为或．
考点二：坐标系中的平移变换
例2.已知三角形的边上任意一点经过一次平移后的对应点为．
(1)将三角形作同样的平移得到三角形，在图中画出三角形，并直接写出的坐标；
(2)三角形的面积为___________；
(3)连接，为上的动点，直接写出长的最小值．
【分析】本题主要考查了平移变换、坐标与图形、垂线段最短等知识，根据题意确定三角形的平移方式是解题关键．
（1）根据题意确定该三角形的平移方式，再确定点的位置并顺次连接即可得到三角形，然后确定的坐标即可；
（2）根据割补法求出三角形的面积即可；
（3）由点，的坐标可知轴，故当，即点的横坐标相同时，的长取最小值，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据题意可知，三角形的边上任意一点经过一次平移后的对应点为，
则该三角形的平移方式为向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度，
故平移后三角形的位置如下图所示，
此时；
（2）三角形的面积．
故答案为：11；
（3）连接，
∵，，
∴轴，
当，即点的横坐标相同时，的长取最小值，如下图，
，
此时．
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中三角形，其中．
(1)按照题目条件，在图中建立平面直角坐标系，写出点的坐标；
(2)点是三角形上任意一点，将三角形平移，得到三角形平移后的对应点为．画出平移后的三角形，并写出点的坐标．
【分析】本题考查平移作图，点的坐标，正确建立平面直角坐标系和根据平移的性质进行平移作图是解题的关键．
（1）根据，建立平面直角坐标系，再根据点C的位置写出点C坐标即可；
（2）根据平移后的对应点为得到平移方式为：向右平移5个单位长度，向上平移3个单位长度，所此作出平移后三角形，再根据点的位置写出坐标即可．
【详解】（1）解：如图所示建立平面直角坐标系，．
（2）解：∵点平移后的对应点为．
∴向右平移5个单位长度，向上平移3个单位长度，
如图所示，即为所求；，，．
【变式2-2】在平面直角坐标系中，三角形各顶点的坐标分别为，，，若将三角形平移后得到三角形，点的对应点的坐标是，点的对应点的坐标是．
(1)直接写出，的值及点的坐标；
(2)画出平移后的三角形；
(3)若点在轴上，且三角形的面积等于三角形面积，请直接写出点的坐标．
【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，根据对应点的坐标得到平移方式是解题的关键．
（1）由点A，可得左右平移方式，由点C，可得上下平移方式，据此求解即可；
（2）根据（1）所求先描出，再顺次连接即可；
（3）计算出三角形的面积，进而得到三角形的面积，据此可得答案．
【详解】（1）解：由题意得：由三角形得到三角形的平移方式为向右平移：个单位长度；向下平移：个单位长度
∴，即；
（2）解：如图所示，三角形即为所求；
（3）解：，
，
∵三角形的面积等于三角形面积，
∴
解得：或
故点的坐标为：或．
【变式2-3】如图，三角形中任意一点经平移后的对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．
(1)画出三角形，并直接写出点D、E、F的坐标；
(2)请说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的；
(3)若点是三角形内部一点，则平移后对应点N的坐标为，求点M的坐标．
【分析】本题考查平移作图、坐标的平移变化，平移的规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，熟练掌握平移的规律是解题的关键．
（1）根据坐标平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2，进而画图、求解坐标．
（2）根据平移的性质得到坐标变化规律，再解答即可．
（3）根据坐标平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2，列方程组求解即可得解．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；，，；
（2）解：根据坐标平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2，三角形是由三角形向右平移4个单位再向上平移2个单位得到的．
（3）解：由题意得，平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2，
得，
解得，
，
．
考点三：坐标系中的新定义问题
例3.在平面直角坐标系中，对于点Ax,y，若点B的坐标为mx+y,x+my，其中m为常数，则称点B是点A的“m级关联点”．例如，点A−1,3的“4级关联点”点B的坐标为−1×4+3,−1+4×3，即B−1,11．
(1)若点C2,a的“2级关联点”点D在x轴上，求点D的坐标；
(2)在（1）的条件下，若存在点E，使得EC∥y轴，且EC=5，求点E的坐标．（提示：先由（1）求出点C的坐标）
【分析】本题考查了新定义，点的坐标，在x轴上的点的纵坐标为0，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由“2级关联点”的定义得D4+a,2+2a，再结合点D在x轴上，故2+2a=0，得a=−1，即可作答．
（2）由（1）得点C2,−1,因为EC∥y轴，且EC=5，故点E的横坐标为2，纵坐标为4或−6，即可作答．
【详解】（1）解： ∵点C2,a的“2级关联点”是点D，
∴点D4+a,2+2a，
又∵点D在x轴上，
∴2+2a=0，
解得a=−1，
∴4+a=3，
∴点D的坐标为3,0；
（2）解：由（1）得点C2,−1．
∵EC∥y轴，且EC=5，
∴点E的横坐标为2，纵坐标为：5−1=4或−1−5=−6，
∴点E的坐标为2,4或2,−6．
【变式3-1】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
(1)点A−3,5的“长距”为_____；
(2)若点B4−2a,−2是“完美点”，求a的值；
(3)若点C−2,3b−2的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为9−2b,−5，试说明：点D是“完美点”．
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”．
（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“完美点”的定义解答即可；
（3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得点A−3,5到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，
∴点A的“长距”为5．
故答案为：5；
（2）解：点B4−2a,−2是“完美点”，
∴4−2a=−2，
∴4−2a=2或4−2a=−2，
解得：a=1或a=3；
（3）解：点C−2,3b−2的长距为4，且点C在第二象限内，
∴ 3b−2=4，解得b=2，
∴9−2b=5，
∴点D的坐标为5,−5，
点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴D是“完美点”．
【变式3-2】在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，定义点M和点N的相关系数M,N如下：若点O，M，N在一条直线上，则M,N=0；若点O，M，N不在一条直线上，则M,N=S△MON．如图，已知点A的坐标为3,0，点B的坐标为0,4，点Px,y为平面直角坐标系内一动点，请回答下列问题：
(1)A,B=_____．
(2)若P,A=3，P,B=0，求点P的坐标．
(3)点P在第二象限，若P,B=2P,A，且点P的纵坐标为2，求点P的坐标．
(4)当P,B=12A,B时，直接写出点P的横坐标．
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，三角形面积，新定义，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）由点A的坐标为3,0，点B的坐标为0,4，则OA=3，OB=4，然后通过A,B=S△AOB=12OA×OB即可求解；
（2）由P,B=0，点B的坐标为0,4，所以点P、O、B在一条直线上，即点P在y轴上，设P0,a，然后通过P,A=S△POA=12a×3即可求解；
（3）设Pm,2，由P,B=2P,A，得S△POB=2S△POA，然后代入求解即可；
（4）设点P的横坐标为n，由P,B=12A,B，则S△POB=12S△AOB，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为3,0，点B的坐标为0,4，
∴OA=3，OB=4，
∴A,B=S△AOB=12OA×OB=12×3×4=6，
故答案为：6；
（2）解：∵P,B=0，点B的坐标为0,4，
∴点P、O、B在一条直线上，即点P在y轴上，
设P0,a，
∵P,A=3，
∴S△POA=12a×3=3，
∴a=±2，
∴点P的坐标为0,2或0,−2；
（3）解：∵点P的纵坐标为2，
∴设Pm,2，
∵P,B=2P,A，
∴S△POB=2S△POA，
∴12×4×m=2×12×3×2，
∴m=3，
∵点P在第二象限，
∴m=−3，
∴点P的坐标为−3,2；
（4）解：设点P的横坐标为n，
∵P,B=12A,B，
∴S△POB=12S△AOB，
∴12×4×n=12×6，
∴n=±32，
∴点P的横坐标±32．
【变式3-3】若点Px,y的坐标满足x−2y=−2，我们称点Px,y为“横和点”．
(1)已知点Qq,3为“横和点”，求q的值；
(2)在平面直角坐标系中，将三角形ABC平移得到三角形DEF，点A,B,C的对应点分别是点D,E,F，已知点Am,n，点B0,b，点Dt,b，点A为“横和点”，点E的横坐标为m．
①若点B为“横和点”，且三角形ABD的面积为8，求点E的坐标；
②若点C的坐标是a−m−3,12a+14m，点E在x轴上，判断点F是否为“横和点”，并说明理由．
【答案】(1)q的值为4
(2)①E4,−1或E−4,3；②点F是“横和点”，理由见解析
【分析】本题主要考查坐标系中点的平移变换、三角形面积计算以及方程的应用．解题的关键在于理解“横和点”的定义，并结合平移的性质进行坐标变换．
（1）直接代入“横和点”的定义方程求解．
（2）①利用平移向量确定点E的坐标，结合三角形面积公式建立方程求解．
②通过平移确定点F的坐标，验证是否满足“横和点”的条件．
【详解】（1）∵点Qq,3是“横和点”，
∴q−2×3=−2，
∴q=4．
∴q的值为4．
（2）①∵点Am,n和点B0,b是“横和点”，
∴m−2n=−2,0−2b=−2，
∴n=m+22，b=1，
∴Am,m+22,B0,1，
∴Dt,1，
∵点B和点D的纵坐标相同，
∴BD∥x轴
∴S△ABD=12t⋅1−m+22=14tm=8，
∵点E的横坐标为m
∵点Am,n，点B0,b分别对应点Dt,b和点Em,0，
∴t=2m，
∴S△ABD=142m2=8，解得：m=±4，
当m=4时，A4,3,D8,1
当m=−4时，A−4,−1,D−8,1
∴E4,−1或E−4,3．
②点F是“横和点”，
理由：∵点Am,n，点B0,b分别对应点Dt,b和点Em,0，
∴n−b=b−0，
∴n=2b=m+22，
∴b=m+24，
∵点Ca−m−3,12a+14m的对应点F，
∴Fa−m−3+m,12a+14m−m+24，
∴Fa−3,12a−12，
∵a−3−212a−12=−2，
∴点F是“横和点”．
考点四：坐标系中点的坐标规律探索
例4.如图，动点M按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点2,2，第2次运动到点4,0，第3次运动到点6,4，…，按这样的规律运动，则第2025次运动到点（ ）
A．2025,2B．4050,0C．2024,4D．4050,2
【答案】D
【分析】本题考查的是点的坐标规律，正确找出题目中点的坐标之间的变化规律是解题的关键．根据题意可得：运动点M的横坐标为：2n，纵坐标按照2、0、4、0四个为一组进行循环，2025÷4=506⋯1，因此第2025次运动到点(2×2025,2)．
【详解】解：根据题意可知，动点M的运动规律是：
第1次从原点运动到点(2,2)，
第2次运动到点(4,0)，
第3次运动到点(6,4)，
第4次运动到点(8,0)，
⋯，
由此可得：运动点M的横坐标为：2n，纵坐标按照2、0、4、0四个为一组进行循环，
∵2025÷4=506⋯1，
∴第2025次运动到点(2×2025,2)，即(4050,2)，
故选：D．
【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1(1,1)；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2(−1,3)；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3(−4,0)；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4(0,−4)，…；按此做法进行下去，则点A2025的坐标为（ ）
A．−2024,1B．2024,1C．−2025,1D．2025,1
【答案】D
【分析】本题考查坐标与图形变换−平移，掌握平移的性质是解题的关键．本题考查了点的坐标变化规律，仔细观察图形，根据题目所给点的坐标，总结出一般变化规律为每四个点为一个循环，每组第一个点坐标为(n,1)，第二个点坐标为(−1,n+1)，第三个点坐标为(−n−1,0)，第四个点坐标为(0,−n)，即可解答．
【详解】解：根据题意可得：A1(1,1)，A2(−1,3)，A3(−4,0)，A4(0,−4)，
∴A5(5,1)，A6(−1,7)，A7(−8,0)，A8(0,−8)，……，
每四个点为一个循环，每组第一个点坐标为(n,1)，第二个点坐标为(−1,n+1)，第三个点坐标为(−n−1,0)，第四个点坐标为(0,−n)，
2025÷4=，
∴A2025为第507组第1个数，则A20252025,1，
故选：D．
【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，有一个“机器跳蚤”，第一次从点A1,0跳动至点A1−1,1，第二次从点A1跳动至点A22,1，第三次从点A2跳动至点A3−2,2，第四次从点A3跳动至点A43,2，……依此规律跳动下去，则点A2025与点A2026之间的距离是 ．
【答案】2027
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化规律，根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点A2025与点A2026的坐标，进而可求出点A2025与点A2026之间的距离．
【详解】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是2,1，
第4次跳动至点的坐标是3,2，
第6次跳动至点的坐标是4,3，
第8次跳动至点的坐标是5,4，
……
第2n次跳动至点的坐标是n+1,n，
则第2026次跳动至点的坐标是1014,1013，
第2025次跳动至点A2025的坐标是−1013,1013．
∵点A2025与点A2026的纵坐标相等，
∴点A2025与点A2026之间的距离=1014−−1013=2027．
故答案为：2027．
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为1,0，2,0，2,1，1,1，1,2，2,2，…，根据这个规律，第121个点的坐标为 ．
【答案】11,0
【分析】本题考查点的坐标规律问题，根据图形推导出当n为奇数时，第n个正方形每条边上有n+1个点，连同前边所有正方形共有n+12个点，且终点为1,n；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有n+1个点，连同前边所以正方形共有n+12点，且终点为n+1,0．由规律可知，第10个正方形的终点为11,0，前10个正方形一共有10+12=121个点，据此可得答案．
【详解】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有4=22个点，且终点为1,1；
第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有9=32个点，且终点为3,0；
第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有16=42个点，且终点为1,3；
第四个正方形每条边上有5个点，连同前三个正方形共有25=52个点，且终点为5,0；
故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有n+1个点，连同前边所有正方形共有n+12个点，且终点为1,n；
当n为偶数时，第n个正方形每条边上有n+1个点，连同前边所以正方形共有n+12点，且终点为n+1,0．
由规律可知，第10个正方形的终点为11,0，前10个正方形一共有10+12=121个点，则第121个点是第10个正方形的终点为11,0．
故答案为：11,0．
考点五：坐标与图形综合（已知面积求点的坐标）
例5.如图，在平面直角坐标系中，已知A0,a,Bb,0,C3,c三点，且a、b满足关系式a−2+b−32=0，BC=2OA．
(1)求a，b的值．
(2)求四边形AOBC的面积．
(3)是否存在点Pm,−13m使得△AOP的面积为四边形AOBC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】本题考查了坐标与图形的性质、非负数的性质、梯形的面积、三角形的面积等知识点，掌握直角坐标系中三角形面积的求法是解题的关键．
（1）根据“几个非负数相加和为零，则每一个非负数的值均为零”，求出a，b的值；
（2）由点A0,2，B3,0，点C3,c，可得四边形AOBC为直角梯形，根据直角梯形的面积公式计算即可；
（3）根据点Pm,−13m，列出S△AOP=12×OA×m=2S四边形AOBC，即可求解．
【详解】（1）解：∵a−2≥0，b−32≥0，a−2+b−32=0，
∴a−2=0，b−3=0，
∴a=2，b=3；
（2）由（1）得，A0,2，B3,0，
∴OA=2，
∵BC=2OA，
∴BC=4，
∵点B3,0、点C3,c，
∴BC⊥x轴，BC∥y轴，
∴C3,4，
∴四边形AOBC为直角梯形，且OA=2，BC=4，OB=3，
∴四边形AOBC的面积=12OA+BC×OB=12×2+4×3=9；
（3）存在，理由如下：
∵△AOP的面积=12×OA×m=12×2×m=m，S△AOP=2S四边形AOBC，
∴m=2×9，
∴m=±18，
∴点P的坐标为18,−6或−18,6．
【变式5-1】在平面直角坐标系中，A0,a，Bb,0，b=3−a+a−3−4．
(1)求A点，B点坐标；
(2)如图1，将线段AB平移，使点A平移到C，点B平移到D1,−5，E在线段CD上，
过E作EF⊥x轴于点F，延长EF至H使EF=FH，若三角形HCD的面积等于10，求H点坐标；
(3)如图2，将线段AB平移使点A平移到D4,1，点B平移到C0,−2，E−2,4，点P在直线OE上，且S△PCD=52S△OPC+6，直接写出P点坐标．
【答案】(1)A0,3，B−4,0
(2)H132,52
(3)P−23，43或103,−203
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，坐标与图形，平移的性质，数形结合是解题的关键；
（1）根据算术平方根的非负性得出3−a≥0,a−3≥0，进而得出a=3,b=−4，即可求解；
（2）根据平移可得C5,−2，设Ex,y，根据S△HCD=S△HED+S△HEC得出y=−52，过点C，D分别作x,y的平行线，交于点G，则G5,−5，连接EG，根据S△DEC=S△DEG+S△ECG得出x=133，即可求解；
（3）设Px,y，当P在y轴的右侧时，过点P,D分别作y轴的垂线，根据S△PCD=S梯形MDPC−S△MDC−S△PCN，得出x=−2y−10，根据S△EFP=S△EFC+S△ECP+S△FCP得出y=−2x，进而求得P103,−203,当P在y轴的左侧时，同理可得P的坐标．
【详解】（1）解：∵b=3−a+a−3−4
∴3−a≥0,a−3≥0
∴a=3,b=−4
∴A0,3，B−4,0
（2）∵使点A0,3平移到C，B−4,0平移到D1,−5，1−−4=5,−5−0=−5，
∴平移方式为向右平移5个单位，向下平移5个单位，
∴C5,−2，
设Ex,y，
∵EF=FH，
∴Hx,−y
∴HE=−2y
∵S△HCD=S△HED+S△HEC
∴12×5−1×−2y=12×−2y×x−1+12×−2y×5−x
∴−4y=10
解得：y=−52
如图所示，过点C，D分别作x,y的平行线，交于点G，则G5,−5，连接EG
∵S△DEC=S△DEG+S△ECG
∴12×4×3=12×4×2.5+12×3×5−x
解得：x=133
∴H133,52
（3）将线段AB平移使点A平移到D4,1，点B平移到C0,−2，E−2,4，
设Px,y
当P在y轴的右侧时，过点P,D分别作y轴的垂线，
∴S△PCD=S梯形MDPC−S△MDC−S△PCN
=124+x1−y−12×4×1+2−12×−2−yx
=3x2−2y−4
∵S△POC=12OC⋅xP=12×2×x=x，S△PCD=52S△OPC+6
∴3x2−2y−4=5x2+6即x=−2y−10
如图， 过点E,P分别作x,y的垂线交于点F，连接FC,EC,PC，
∵S△EFP=S△EFC+S△ECP+S△FCP
∴12×4−yx+2=124−y×2+12×−2−y×x+2+12×2×x+2，
∴x=−y2 即y=−2x
将y=−2x代入x=−2y−10得
解得：x=103
∴y=−203
∴103,−203
当P在y轴的左侧时，如图
∵S△EFP=S△EFC+S△ECP−S△FCP
∴12×4−yx+2=124−y×2+122×2−12×−x×2−12×y+2×x+2，
∴x=−y2 即y=−2x，
如图，过点P,D分别作x的垂线与过点C平行于x的直线交于点GH，则Px,y,Gx,−2,D4,1,H4,y
∴S△PCD=S梯形GHDP−S△PCG−S△DCH
=12y+2+1+24−x−12×y+2×−x−121+2×4
=−3x2+2y+4
∵S△PCD=52S△OPC+6，S△POC=−x
∴−3x2+2y+4=52⋅−x+6即x=2−2y
代入y=−2x，得x=2+4x
解得：x=−23
∴y=43
∴P−23，43
综上所述，P−23，43或103,−203．
【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，Aa,−1、B1,b，其中a，b满足a−5+b+3=0．
(1)求A、B的点坐标；
(2)如图1，点Et,2t+2为第二象限内一点，若△ABE的面积为9，求t的值；
(3)如图2，过点A，B分别向x轴作垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点Pm,n，使得△PAD与△PBC的面积相等，且△PCD与△PAB的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A5,−1，B1,−3
(2)t=−23
(3)存在，P点坐标为2,−54或−1,−2
【分析】（1）根据非负数的性质解答即可；
（2）如图1，过A作y轴的平行线CF，过B作x轴的平行线CD，过E作x轴和y轴的平行线EF和DE，可得四边形CDEF是矩形，进而根据△ABE的面积=矩形CDEF的面积−△BDE的面积−△AEF的面积−△ABC的面积列出方程解答即可求解；
（3）由A5,−1，B1,−3得AD=1，BC=3，CD=4，进而根据△PAD与△PBC的面积相等，可得12×3×m−1=12×1×m−5，即得m=−1或m=2，再分情况解答即可；
本题考查了非负数的性质，坐标图图形，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：∵a−5+b+3=0，
∴a−5=0，b+3=0，
∴a=5，b=−3，
∴A5,−1，B1,−3；
（2）解：如图1，过A作y轴的平行线CF，过B作x轴的平行线CD，过E作x轴和y轴的平行线EF和DE，
则四边形CDEF是矩形，
∵A5,−1，B1,−3，Et,2t+2，
∴△ABE的面积=矩形CDEF的面积−△BDE的面积−△AEF的面积−△ABC的面积
=DE·EF−12BD·DE−12EF·AF−12AC·BC
=5−t×2t+2+3−122t+2+3×1−t−125−t×2t+2+1−12−1+35−1
=9，
解得t=−23；
（3）解：存在，理由如下：
如图，
∵A5,−1，B1,−3，
∴AD=1，BC=3，CD=4，
∵△PAD与△PBC的面积相等，
∴12×3×m−1=12×1×m−5，
∴m=−1或m=2，
当m=2时，S△PAD=S△BCP=12×3×2−1=32，
∵S四边形ABCD=12×1+3×4=8，△PCD与△PAB的面积相等，
∴S△PCD=S△PAB=52，
∴12×4×−n=52，
∴n=−54，
∴P2,−54；
当m=−1时，如图3，
则S△PAD=S△BCP=12×3×−1−1=3，
∵S四边形ABCD=12×1+3×4=8，△PCD与△PAB的面积相等，
∴2×12×4×−n=8，
∴n=−2，
∴P−1,−2；
综上所述，点P的坐标为2,−54或−1,−2．
【变式5-3】在平面直角坐标系中A−a,b、Ba,a，a、b满足2a−4+3a+b−12=0．
(1)如图1，求点A、B的坐标；
(2)如图2，y轴上有一点E，△ABE的面积是6，求点E的坐标；
(3)如图3，将线段AB沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点Px,y0