人教B版 (2019)必修 第三册向量数量积的坐标运算教学设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册向量数量积的坐标运算教学设计，共6页。教案主要包含了复习导入，问题探究，总结公式，例题分析，课堂检测，课堂小结，课后作业等内容，欢迎下载使用。
一、复习导入
1.a与b的数量积的定义？
2.向量的运算有几种？应怎样计算？
二、问题探究
教师出示问题
（1）平面向量的数量积能否用坐标表示？
（2）已知向量，，怎样用的坐标表示呢？
（3）你能否根据所学知识推导出向量的长度、两点间的距离和两向量的夹角公式？
（4）怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？
活动：教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示，而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系，那么我们就自然而然地想到，既然向量具有数量积的运算关系，这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上演示推导过程，教师给予必要的提示和补充推导过程如下：
，
.
又，，.
三、总结公式
教师给出结论性的总结，归纳如下：
1.平面向量数量积的坐标表示：
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，
即若，则.
2.两向量夹角的坐标表示：
当..，都不是零向量时，是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示，可得.
3.向量模的坐标表示：
若，则，或.在平面直角坐标系中，如果，，则，从而,因此.
4.两向量垂直的充要条件的坐标表示:
设，则.
四、例题分析
例1 已知，求，
例2 已知点，，，求的余弦值.
活动：对于例1，教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量与的数量积和模，的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即，然后求两向量的夹角大小，需注意两向量夹角的范围是.例2中先由点求出向量，再与例1同方法求出两向量夹角的余弦值.学生在解这方面的题目时，需要把向量的坐标表示清楚，以免出现不必要的错误.
例1 解：由题意可知
，
，.
又因为，所以.
例2 解：因为
，
，
所以
，，，
因此.
点评： 例2考查利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解，目的是对基础知识进行巩固与提高.
例3 已知点，，，求证：..
例4 如图所示，已知点，将向量绕原点O逆时针旋转得到，求点B的坐标.
例5 如图所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点，，，连接求证：.
活动：教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来判断平面图形的垂直问题，先作出图形进行直观判定，再去证明.在证明中如果涉及坐标问题，可以先设出坐标，再由坐标求向量，最后由向量垂直的充要条件列出等式，求出或证明向量垂直.教师可以让学生思考其他求解方法或证明方法.
例3 证明：因为，，
所以，因此,..
例4 解：由已知可得，
又因为，设，则，从而有
，解得,,..或又因为由图可知x