上海市2025年中考最后一卷数学试卷（解析版）

这是一份上海市2025年中考最后一卷数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列分数中，能化成有限小数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、，不能化成有限小数，不符合题意；
B、，不能化成有限小数，不符合题意；
C、，可化为有限小数，符合题意；
D、，不能化为有限小数，不符合题意；
故选：C．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，符合题意；
D．，不符合题意，
故选：C．
3. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
4. 已知和的半径分别是5和7，那么下列说法中正确的是（ ）
A. 当时，两圆没有公共点
B. 当时，两圆有一个公共点
C. 当时，两圆有公共点
D. 当时，两圆有两个公共点
【答案】D
【解析】∵和的半径分别是5和7，∴．
A、，则与内切，有一个公共点，故该选项错误；
B、，且，则与相交，有两个公共点，故选项错误；
C、，当时，与内含，没有公共点，故选项错误；
D、时，，则与相交，有两个公共点，故选项正确．
故选：D．
5. 在四边形中，，，，，．点O是边上一点，如果以O为圆心，为半径的圆与边有交点， 那么的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图1，过点D作于H，
则，，，
在中，，
当与相切时，此时与线段有一个公共点，此时半径最小，
设，则，
在中，，
∴，
由得，，
解得；
如图2，当以为半径的过点B时，半径最大，过点O作于F，
设，则，
在中，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，即的最大半径为，
所以当以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围为，
故选：C．
6. 在中，，点M是的中点，将线段绕点M逆时针旋转，点A落在边延长线上的点D处，连接，与边交于点E，，，那么的长为（ ）
A. B.
C. D. 以上都是错误的
【答案】A
【解析】如图：过作交延长线于，
根据旋转可知：，
∵点M为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，
设，则，则，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
解得：或（舍去），
．
故选：A．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7.因式分解：_____．
【答案】
【解析】原式=．
8. 计算：__________．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
9. 方程的解是______．
【答案】
【解析】方程两边同时平方，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解是，
故答案为：．
10. 最新人口普查数据显示上海的常住人数约为24870000人，将24870000用科学记数法表示是：_______．
【答案】
【解析】．
故答案是：．
， 是正整数，解题的关键是确定 和 的值．
11. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么m的值为______．
【答案】9
【解析】∵方程有两个相等的实数根，
∴
解得，
故答案为：9．
12. 已知反比例函数的图像经过点，那么k的值为______．
【答案】
【解析】∵反比例函数的图像经过点，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 布袋里有2个红球、3个黄球、4个白球，它们除颜色外其他都相同．从布袋里摸出一个球恰好为红球概率是______．
【答案】
【解析】摸出一个球恰好为红球的概率是，
故答案为：．
14. 如果一个正多边形的中心角为36°，那么这个正多边形的边数是______．
【答案】10
【解析】根据正n边形的中心角的度数为，则n=360÷36=10，故这个正多边形的边数为10，
故答案为：10．
15. 如图，点是的重心，已知，，那么向量______．（用向量、表示）
【答案】
【解析】如图：延长交于点D，
∵点是的重心，
∴，，
∴，
∴，
∴．
16. 有一斜坡的坡度，斜坡上最高点到地面的距离为米，那么这个斜坡的长度为______米．
【答案】3
【解析】设这个斜坡的水平距离为x米，
根据题意得：，解得：，
∴这个斜坡的长度（米），
答：这个斜坡的长度为3米．
17. 同时抛掷红、绿两枚六面编号分别是1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，如果将红色骰子正面朝上的编号作为方程的一次项系数的值，绿色骰子正面朝上的编号作为常数项的值，那么得到的方程有两个相等的实数根的概率是______．
【答案】
【解析】列表得：
∴共可以得到36个不同形式一元二次方程，其中得到的方程有两个相等的实数根的有：共2种，
∴得到的方程有两个相等的实数根的概率为，
故答案为：．
18. 在矩形中，．将矩形绕点B按顺时针方向旋转得到矩形，点A的对应点为点E，且在边上，如果，联结，那么的长为______．
【答案】
【解析】过G作于点H，
由旋转变换的性质可知， ，
∵，∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，解得，
∴，，
∵，∴，
∵，∴，∴，
即，∴，，
，．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：．
解：原式．
20. 解方程：+=．
解：去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
解得：或，
检验：（1）把代入得：，
不是原方程的解．
（2）把代入得：，
是原方程的解．
21. 如图，斜坡的坡度为1：6，坡顶B到水平地面()的距离AB为3米，在B处、C处分别测得顶部点E的仰角为26.6°和56.3°，点A、C、D在一直线上，求(⊥)的高度（精确到1米）．（参考数据：，，，，，）
解：过点作，垂足为，如下图所示：
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
设米，
在中，，
∴，代入，
∴米，
∵斜坡的坡度为1：6，坡顶到水平地面的距离米，
∴，代入，∴，且米，
在中，，
∴，代入数据：，
∴米，
∵
∴，
解得，
∴米，
∴(米)，
∴的高度是18米．
22. 如图，直线直线直线，直线垂直于和，垂足分别为M和N，线段与线段交于点O，．已知，，，求的长度．（结果精确到个位，，，）
解：设，过点作的垂线，垂足为点G，作，
则：，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
解得，
所以．
答：的长度为．
23. 如图，在中，，点D是边上的一点，连接，过点B作，垂足为点E．
（1）求证：；
（2）如果，连接并延长，与边相交于点F．当点F是的中点时，求证：．
证明：（1），，，
，，，；
（2）如图，
方法一：，点F是的中点，
，，
由（1）可知：，
，
，
，
，
，
设，
则，
，，
，
，
，
，
，
；
方法二：
，点F是的中点，
，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
即：，
，
，
，
．
24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点，（点A在点B的右侧）与y轴交于点C，顶点为P，直线与x轴交于点D．
（1）用含c的代数式表示点P及点D的坐标；
（2）将该抛物线进行上下、左右两次平移，所得的新抛物线的顶点落在线段的延长线上，新抛物线与y轴交于点E，且．
①求该抛物线两次平移的方向和距离；
②点A在新抛物线上的对应点，如果被y轴平分，求原抛物线的表达式．
解：（1）∵，
∴顶点P的坐标为，
当时，，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，则，解得，
∴直线的解析式为，
令，解得，∴点D的坐标为；
（2）①过点作轴，垂足为点H．
顶点落在线段的延长线上，直线的解析式为，
∴设．
∴新抛物线的解析式为，
∴．
∵x轴轴，．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴该抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位．
②被y轴平分，，
设，
原抛物线向左平移个单位，向下平移5个单位得到新抛物线，
∴，
∵点A在原抛物线上，
∴，
解得，(舍)．
∴．
25. 如图，在中，直径长为，弦的长为8，点是上一点，过点作的垂线交直线于点．
（1）求的正切值．
（2）当与相似时，求长．
（3）以点为圆心，长为半径画，试根据线段的长度情况探究和的位置关系．
解；（1）如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）如图：当在的左侧时；过作，
∴，
∴，
设，则
与相似，
，
，
∵，即，
∴，即，
∴，
∵，
，
，即
解得（已检验，符合题意）
；
如图：当在的右侧时；
过作于，过过于，过作于，
则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与相似，
∴，
设，则，
在中，，
∴，∴，
在中，，
∴，，
∴，
，
，
，
综上：；
（3）如图，当圆与圆内切时，则，
过作于，过过于，
同（2）可证明，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
如图，当时，在内切的基础上，点D会更靠近点B，即此时一定有，
∴，
∴内含于；
如图，过点O作交于T，
则，
∴；
如图，当时，，则一定有，
∴与相交；
当时，如图，
∵，
∴，
∴与相交；
综上所述，当时，内含于；当时，圆与圆内切；当或时，与相交．1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6