2025年安徽省淮南市中考一模数学试题

这是一份2025年安徽省淮南市中考一模数学试题，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答与运用等内容，欢迎下载使用。
1. 4的算术平方根是（ ）
A. -2B. 2C. D.
2. “鸭嘴兽”被认为是世界上最奇怪的哺乳动物，因为它身上有许多怪异的特征：嘴里没有牙齿；汗液像牛奶；后脚有毒刺等，且最古老的鸭嘴兽于南美洲的6100万年前的地层被发现．将“6100万”用科学记数法表示为，其中n为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
3. 下列计算正确是 （ ）
A. B. C. D.
4. △ABC中，，是锐角，则的形状是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等边三角形
5. 已知的半径为5，是的弦，P是弦的延长线的一点，若，，则圆心O到弦的距离为（ ）
A. B. 6C. D. 4
6. 一次函数与反比例函数 交点个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 0
7. 已知：中，，为边上一点，，，于，延长线交于，则的长为（ ）

A. B. C. D.
8. 如图，在平行四边形中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点．下列条件中，不能得出四边形是平行四边形的是（ ）
A B. C. D.
9. 设，，都是小于－1的数，且，若满足，，，则必有（ ）
A. B.
C. D. 不能确定，，大小关系
10. 如图，在中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
11. 若，则的值为______．
12. 计算：________．
13. 某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．若随机抽取两名同学，则这两名同学均来自八年级的概率为__________．
14. 在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，在矩形纸片中，点为的中点，将沿直线折叠得到，点在矩形的内部，延长交于点．请完成下列探究：

(1)若，则的值为________；
(2)若点恰好为的中点，则的值为________．
三、解答与运用（共8题，总分90分）
15 解分式方程．
16. 如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点均为格点（网格线的交点）．
（1）将线段先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到线段，请画出线段（其中分别与对应）．
（2）将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，请画出线段（其中分别与对应）．
（3）描出一个格点，使得，请画出线段．
17. 某校组织七年级师生共480人参观温州博物馆，学校向租车公司租赁A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位，求A，B两种车型各有多少个座位？
18. 在如图的直角三角形中，我们知道，，，
∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1．
（1）请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系；
（2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值．
19. 【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：．
（1）第n个图案中，“▲”的个数为______；
（2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______；
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4．
20. 如图，是的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
21. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得成功，将我国航天事业推向了新的高峰．南沙区某中学为了丰富学生们航天知识，组织全校学生进行航天知识竞赛，并随机抽取50名学生的成绩，整理成如下统计表：
（1）该50名同学这次竞赛成绩的中位数是________；
（2）求该50名同学这次竞赛成绩的平均数；
（3）若竞赛成绩90分以上（含90分）为优秀，该校有1500名学生，请估计竞赛成绩为优秀的人数．
22. 如图，点F在四边形ABCD的边AB上，
（1）如图①，当四边形ABCD是正方形时，过点B作BE⊥CF，垂足为O，交AD于点E．求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8时，
①如图②，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，求的值；
②如图③，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G，当BG＝2时，DE＝ ．
23. 如图，抛物线与直线交于两点，点在轴上，过点作轴于点，且．

（1）求抛物线的解析式．
（2）将沿方向平移到．
①如图2，若经过点与轴交于点，求的值．
②如图3，直线与抛物线段交于点，与直线交于点，当顶点在线段上移动时，求与公共部分面积的最大值．
安徽省2025届中考全真模拟卷（一）
一、单选题（每小题4分，共40分）
1. 4的算术平方根是（ ）
A. -2B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】4的算术平方根是2．
故选B．
【点睛】本题考查求一个数的算术平方根．掌握算术平方根的定义是解题关键．
2. “鸭嘴兽”被认为是世界上最奇怪的哺乳动物，因为它身上有许多怪异的特征：嘴里没有牙齿；汗液像牛奶；后脚有毒刺等，且最古老的鸭嘴兽于南美洲的6100万年前的地层被发现．将“6100万”用科学记数法表示为，其中n为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法，为整数，进行表示即可．
【详解】解：6100万，
∴；
故选A．
3. 下列计算正确的是 （ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式和二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方法则、幂的乘方法则和二次根式的性质．
【详解】A. ，故此选项错误；
B. ，故此选项错误；
C. ，故此选项错误；
D. ，故此选项正确，
故选：D．
4. △ABC中，，是锐角，则的形状是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值与偶次方的非负性，特殊三角函数值，等腰三角形的判定等知识点，解决此题的关键是熟练运用这些知识点．由非负性及特殊三角函数值易得，，即可得到答案．
【详解】解：，
∴
∴
∴
∴是等腰三角形；
故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意．
故选：C．
5. 已知的半径为5，是的弦，P是弦的延长线的一点，若，，则圆心O到弦的距离为（ ）
A. B. 6C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关键是根据勾股定理解答．作于C，连接，根据垂径定理得到，然后在中，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：作于C，连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
即圆心O到弦的距离为4．
故选：D．
6. 一次函数与反比例函数 的交点个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点个数，以及一元二次方程根的判别式，联立一次函数与反比例函数解析式建立关于的方程，再结合一元二次方程根的判别式进行判断，即可解题．
【详解】解：联立一次函数与反比例函数有：
，
，
一次函数与反比例函数 的交点个数为2个，
故选：B．
7. 已知：中，，为边上一点，，，于，延长线交于，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点A作AM⊥BD于点M，过点E作EF⊥BC于点F，由等腰三角形的性质得出∠BAM＝∠DAM，BM＝DM，证出AB＝BE，证明△ABM≌△BEF（AAS），由全等三角形的性质得出EF＝BM＝1，则可得出答案．
【详解】解：过点A作AM⊥BD于点M，过点E作EF⊥BC于点F，

∵AB＝AD，AM⊥BC，
∴∠BAM＝∠DAM，BM＝DM，
∵BH⊥AD，
∴∠HBD＋∠HDB＝90°，
又∵∠HDB＋∠MAD＝90°，
∴∠HBD＝∠MAD，
∴∠HBD＝∠BAM＝∠MAD，
∵∠C＝45°，
∴∠MAC＝∠FEC＝45°，
∵∠AEB＝∠C＋∠EBC＝45°＋∠EBC，∠BAC＝∠MAC＋∠BAM＝45°＋∠BAM，
∴∠AEB＝∠BAC，
∴AB＝BE，
在△ABM和△BEF中，，
∴△ABM≌△BEF（AAS），
∴EF＝BM＝1，
∴CE＝EF＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，证明△ABM≌△BEF是解题的关键．
8. 如图，在平行四边形中，点E，F是对角线所在直线上的两个不同的点．下列条件中，不能得出四边形是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形是解题的关键．设交于点，则，，因为，所以，则四边形是平行四边形，可判断A不符合题意；由，，不能证明与全等，则不能证明与平行，所以不能证明四边形是平行四边形，可判断B符合题意；由，得，可证明，则，所以四边形是平行四边形，可判断C不符合题意；由，，推导出，可证明，得，则四边形是平行四边形，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：设交于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故A不符合题意；
由，，不能证明与全等，
不能确定与是否相等，
不能证明与平行，
不能证明四边形是平行四边形，
故B符合题意；
，
，
在和中，
，
，
，
四边形平行四边形，
故C不符合题意；
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故D不符合题意，
故选：B．
9. 设，，都是小于－1的数，且，若满足，，，则必有（ ）
A. B.
C. D. 不能确定，，的大小关系
【答案】A
【解析】
【分析】设y1= a1(x1+1)(x1−2)，y2= a2( x2+1)( x2−2)，y3= a3(x3+1)( x3−2)，得y1= a1(x1+1)(x1−2)=，y2= a2( x2+1)( x2−2)=，y3= a3(x3+1)( x3−2)= ，分别得到顶点坐标 ，，抛物线于x轴的交点坐标是（-1，2），据此作出函数图像，结合函数图像即可得答案．
【详解】解：设y1= a1(x1+1)(x1−2)，y2= a2( x2+1)( x2−2)，y3= a3(x3+1)( x3−2)，
∵a1>a2>a3>0，
∴开口大小为：y1﹤y2＜y3，
∴函数图像大致为下图，
∵x1，x2，x3都是小于-1的数，
当y1=1，y2=2，y3=3时，分别交函数于A、B、C三点，
∴x1﹥x2﹥x3，
∴B、C、D错误，不符合题意，A正确，符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是在于根据题意作出函数图像，由函数图像直接得到答案，“数形结合”的数学思想的使问题变得直观化．
10. 如图，在中，，，，为的中点，是边上一个动点，连接，过点作，交边于点．设的长为，的面积为，，则与的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，则，，，过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，则，，设，则，，，证和全等得，再利用勾股定理得，，再证，进而求得，，根据列出函数关系式，进而根据函数的解析式及题目中的选项即可得出答案．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
为的中点，
，
又，，
过点作于，过点作于，延长到，使，连接，，如图：
在中，，，
，
，
设，则，
中，，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
由勾股定理得：，
，，
为线段的垂直平分线，
，
，
，
，
，，
，
而，
，
即，
整理得：，
，
，
当时，，当时，，顶点坐标为，
该函数图象是抛物线，与轴交于点，顶点为，且过点，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握以上知识点是解答本题的关键．
二、填空题（每小题5分，共20分）
11. 若，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了分式的求值，将分式化成含有的形式，再代入的值计算即可，将分式转化为含已知值的形式，利用整体代入法是解本题的关键．
【详解】解：．
12. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用负指数幂的运算法则以及立方根的性质化简，进而利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式=
=．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了负指数幂运算以及立方根的性质，正确化简各数是解题关键．
13. 某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．若随机抽取两名同学，则这两名同学均来自八年级的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】列出所有可能性的组合，再找到符合题意的组合，即可求出概率．
【详解】解：所以的组合有：小贤和小晴，小贤和小艺，小贤和小志，小晴和小艺，小晴和小志，小艺和小志，一共有6种，
其中符合要求的组合是：小晴和小志，只有1种，
概率是．
故答案是：．
【点睛】本题考查概率，解题的关键是掌握概率的求解方法．
14. 在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，在矩形纸片中，点为的中点，将沿直线折叠得到，点在矩形的内部，延长交于点．请完成下列探究：

(1)若，则的值为________；
(2)若点恰好为的中点，则的值为________．
【答案】 ①. ##0.5 ②.
【解析】
【分析】（1）根据折叠可得，由已知可得，进而可得，证，，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．
（2）连接，证，可设，；进而可用表示出、的长，根据折叠的性质知，即可得到的表达式，由可知，那么，由此可求出的表达式，进而可在中，根据勾股定理求出、的比例关系，即可得到的值．
【详解】解：（1）连接

根据翻折变换的性质得，
，，，
，
∴，
∵折叠，
∴
又，
∴
∴，
∴
∴，
在中，
∴
∴
∴
即，
故答案为：．
（2）连接

根据翻折变换的性质得，
，，，
，
，
设，，则有，
，
，，
，
在中，，即
，
.
故答案为：．
【点睛】本题考查的是矩形的折叠，翻转变换的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识．
三、解答与运用（共8题，总分90分）
15. 解分式方程．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，将分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，最后检验即可，掌握分式方程的解法是解题的关键．
【详解】解：，
∴ ．
∴．
解得：，
经检验是原方程解，
∴原分式方程的解为：．
16. 如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点均为格点（网格线的交点）．
（1）将线段先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到线段，请画出线段（其中分别与对应）．
（2）将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，请画出线段（其中分别与对应）．
（3）描出一个格点，使得，请画出线段．
【答案】（1） （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，旋转，垂直平分线的性质，根据题意结合网格特点画出图形是解此题的关键．
（1）根据所给平移方向作图即可；
（2）根据所给旋转方式作图即可；
（3）连接，作的垂直平分线，在垂直平分线上任选一点，线段即为所求．
【小问1详解】
解：如图，线段即为所求，
【小问2详解】
解：如图，线段即为所求，
【小问3详解】
解：如图，连接，作的垂直平分线，在垂直平分线上任选一点，线段即为所求，
17. 某校组织七年级师生共480人参观温州博物馆，学校向租车公司租赁A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位，求A，B两种车型各有多少个座位？
【答案】A种车型有45个座位，B种车型有60个座位
【解析】
【分析】设A种车型有x个座位，B种车型有y个座位，然后根据租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则15人没有座位列出方程组求解即可．
【详解】解：设A种车型有x个座位，B种车型有y个座位，
由题意得，，
解得，
∴A种车型有45个座位，B种车型有60个座位，
答：A种车型有45个座位，B种车型有60个座位．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键．
18. 在如图的直角三角形中，我们知道，，，
∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1．
（1）请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系；
（2）请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）利用，，，即可得出；
（2）利用（1）中结论，将的分子，分母同时除以，得，进而代入求值即可．
本题考查了三角函数的定义，三角函数之间的关系，正确理解定义是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵，且，
∴．
19. 【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：．
（1）第n个图案中，“▲”的个数为______；
（2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______；
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4．
【答案】（1）；（2）；（3）n的值为2或7
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据图形个数的变化规律，得出第n个图案中，“▲”的个数为，即可作答．
（2）结合题干条件，直接得出第n个图案中，“★”的个数可表示为；
（3）根据条件以及（1），（2）的结论进行列式计算，即可作答．
【详解】解：（1）观察图形，得出
第1个图案中，“▲”的个数为；
第2个图案中，“▲”的个数为；
第3个图案中，“▲”的个数为；
第4个图案中，“▲”的个数为；
以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为；
（2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，
第2个图案中，“★”的个数可表示为，
第3个图案中，“★”的个数可表示为，
…，
第n个图案中，“★”的个数可表示为；
（3）∵“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4
∴
∴
解得
∴n的值为2或7
20. 如图，是的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键．
（1）由垂径定理得，，由圆周角定理，得；
（2）可证得；中，勾股定理求得，于是．
【小问1详解】
证明：∵，是的半径，
∴，，
∴．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴．
21. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得成功，将我国航天事业推向了新的高峰．南沙区某中学为了丰富学生们航天知识，组织全校学生进行航天知识竞赛，并随机抽取50名学生的成绩，整理成如下统计表：
（1）该50名同学这次竞赛成绩的中位数是________；
（2）求该50名同学这次竞赛成绩的平均数；
（3）若竞赛成绩90分以上（含90分）为优秀，该校有1500名学生，请估计竞赛成绩为优秀的人数．
【答案】（1）90 （2）87.4
（3）估计竞赛成绩为优秀的人数为900人
【解析】
【分析】本题主要考查了求中位线、平均数、用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握平均数数和中位数的定义，注意偶数个数的中位数是中间两个数的平均数．
（1）根据中位数的定义即可解答；
（2）利用平均数的公式代入数据计算即可；
（3）用成绩90分以上（含90分）的人数所占比例乘以1500即可．
【小问1详解】
解：将该50名同学成绩从小到大排列，该50名同学这次竞赛成绩的中位数位于第25名和第26名的平均数，
则该50名同学这次竞赛成绩的中位数是,；
【小问2详解】
解：（分）
答：该50名同学这次竞赛成绩的平均数为分；
【小问3详解】
解：（人）
答：估计竞赛成绩为优秀的人数为900人．
22. 如图，点F在四边形ABCD的边AB上，
（1）如图①，当四边形ABCD是正方形时，过点B作BE⊥CF，垂足为O，交AD于点E．求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABCD是矩形，AD＝6，AB＝8时，
①如图②，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，求的值；
②如图③，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G，当BG＝2时，DE＝ ．
【答案】（1）见解析；（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质和BE⊥CF，可证明△ABE≌△BCF ，即可求证；
（2）①过点O作MN∥AB交AD、BC于点M、N，可得四边形ABNM和DMNC为矩形，然后设ON=a，BN=b，则OM=8-a，DM=CN=6-b，根据△DOM∽△BON，可得，可求出，从而得到，再由△EOM∽△OCN，可得到，即可求解；
②根据AB∥CD ，AD∥BC，可得CODFOB，DOEBOP，从而得到，，进而得到，再由PBGFBC，可得，即可求解．
【详解】证明：（1）在正方形ABCD中，
∠A=∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠FBO+∠OBC=90°，
∵BE⊥CF，
∴∠BOC=90°，
∴∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠FBO=∠BCO，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=CF；
（2）① 如图，过点O作MN∥AB交AD、BC于点M、N，
在矩形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC=90°，
∴MN∥CD，
∴四边形ABNM和DMNC为矩形，
∴MN=AB=8，
设ON=a，BN=b，则OM=8-a，DM=CN=6-b，
∵△DOM∽△BON，
∴ ，即 ，
解得：，
∴ ，
∵PE⊥CF，
∴∠EOM+∠CON=90°，
∵∠OCN+∠CON=90°，
∴∠OCN=∠EOM，
∴△EOM∽△OCN，
∴ ，
∴即 ；
②在矩形ABCD中，AB∥CD ，AD∥BC，∠ABC=90°
∴CODFOB，DOEBOP，
∴，，
∴，
∴，
∵∠ABC=90°，
∴∠BFC+∠BCF =90°
∵ ，
∴∠FOG=90°，
∴∠G+∠BFC =90°，
∴∠G=∠BCF，
∵∠PBG=∠CBF =90°，
∴PBGFBC，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形和矩形的性质，得到相似三角形是解题的关键．
23. 如图，抛物线与直线交于两点，点在轴上，过点作轴于点，且．

（1）求抛物线的解析式．
（2）将沿方向平移到．
①如图2，若经过点与轴交于点，求的值．
②如图3，直线与抛物线段交于点，与直线交于点，当顶点在线段上移动时，求与公共部分面积的最大值．
【答案】（1）
（2）①；②最大值为．
【解析】
【分析】本题主要考查待定系数法求函数关系式，交点坐标，三角形面积等．
（1）先求出直线的解析式，求出点B的坐标，再求得点A的坐标，再将A，B坐标代入，求出a，b即可；
（2）求出直线的解析式，的解析式，联立方程组，求出点P的坐标，可得，再证明，得，从而可得结论；
（3）设与交于点R，G，与交于点F，K，分别求出直线的解析式，再分别用含有a的代数式表示出H，G，E，F的坐标，利用二次函数的性质，可求出和公共部分面积的最大值．
【小问1详解】
解：对于，令，则，
解得，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
把代入，得，
∴，
把代入得，
，
解得，，
所以，二次函数解析式为：；
【小问2详解】
解：①设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
由平移得，，
∴设直线的解析式为，
把代入得，，
∴设直线的解析式为，
联立方程组，
解得，，
∴，
，
∴，
∴，
∵是由平移得到的，
∴，
∴；
②设点P的坐标为其中，，
由平移知，，
∴设直线的解析式为，
将代入得，，
∴
∴；
设与交于G，R，与交于K，F，
联立，
解得，，，
∴，，
在中，
当时，，
∴，，
∵点P的横坐标为，
∴，，
∴，
设和公共部分的面积为S，
∴
，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为；
∴和公共部分的面积最大值为．分数
60
70
80
90
100
频数
2
3
15
16
14
分数
60
70
80
90
100
频数
2
3
15
16
14