云南省保山市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份云南省保山市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析），共15页。
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【详解】命题“”的否定是“”，
故选：B．
2. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A. B. 1C. 3D. 9
【答案】C
【详解】法一：双曲线的渐近线方程为，焦点，
焦点到渐近线的距，
法二：利用结论“双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长”得，.
故选：C．
3. 已知，则有（ ）
A. 最大值B. 最大值
C. 最小值D. 最小值
【答案】A
【详解】设，求导得：，
当时，，所以函数在区间内单调递减．
因此，函数在处取得最大值为.
故选：A．
4. 已知向量，，，当与垂直时，点的轨迹为（ ）
A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线
【答案】C
【详解】由题，，当与垂直时，，
∴，
化简得，点的轨迹为椭圆，
故选：C．
5. 已知数列满足：均有，且，，则（ ）
A. 5B. -5C. -3D. 3
【答案】B
【详解】∵①，∴②，
由①②得，即，∴，
故数列是周期为6的周期数列．
∴，
∴
故选：B．
6. 的三边长分别为，，2，则三边的中线长不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设内角的对边分别为，边的中点为，则，
∴，
又由余弦定理，得，∴，
∴，将的三边长代入上式可得，
故选：D．
7. 已知，将的图象向左平移个单位得到的图象，若的图象与的图象关于y轴对称，则下列说法不正确的是（
A. 的图象关于直线对称
B.
C. 函数f(x)在区间上有三个零点
D. 时，函数的值域为
【答案】C
【详解】对于A，∴，从而函数的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，∵函数的图象关于直线对称，∴，即，又∵∴，∴，∴，故B正确；
对于C，由得，∴，由，
∴，故函数在区间上只有两个零点，故选项C错误；
对于D，∵，时，，，
∴故D正确，
故选：C．
8. 已知，当（且）时，的最大值为（ ）
A. 1011B. 1012C. 1013D. 1014
【答案】A
【详解】由已知为展开式中的系数，且，
∴，
当时，必为奇数，且，，
∴，，所以的最大值为.
故选：A．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ）
A. B.
C. 为纯虚数D. 复数z的虚部为i
【答案】BC
【详解】因为，可得，即.
对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：因为，所以为纯虚数，故C正确；
对于选项D：复数的虚部为1，故D错误；
故选：BC．
10. 下列说法正确的是（ ）
A 若，则
B. 连续型随机变量服从正态分布，若，则
C. 若事件A，B满足：，，且，则事件A，B相互独立
D. 已知一组成对数据的经验回归方程为，则
【答案】BCD
【详解】对于A，∵，∴从而故A不正确；
对于B，∵且，
∴，故B正确；
对于C，，，且，
，
，，故相互独立，故C正确；
对于D，成对数据中，
，，
又∵经验回归直线过样本点中心，
∴，∴，故D正确，
故选：BCD．
11. 已知，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 是R上单调递增的奇函数
B.
C.
D. 的图象关于点成中心对称
【答案】ABD
【详解】对于A，易知的定义域为R，关于原点对称，
且，
又∵在R恒成立，
从而是R上单调递增的奇函数，故选项A正确；
对于B，∵在R上单调递增且，∴，∴，故B正确；
对于C，令，易知在R上单调递增，∴，即，故选项C错误；
对于D，∵，
所以，
∴的图象关于点对称，故选项D正确，
故选：ABD．
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，则________（用含m的式子表示）．
【答案】
【详解】．
故答案为：.
13. 在本次数学试卷的8道单选题中，学生小明对其中的6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．小明从这8道题中随机选做一题，则他做对这道题的概率为________．
【答案】
【详解】设事件：小明选到有思路的题；事件：小明选到的题做对，
由题有，，，，
所以，由全概率公式得．
故答案为：
14. 正四棱锥P-ABCD的侧棱长为，则当最大时，正四棱锥P-ABCD的高为________；此时正四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为________．
【答案】 ①. 3 ②.
【详解】如图，记正方形的中心为，易得，，
设，
则由得，，
，记，
则，令，解得，
又时，，∴单调递增；时，，
∴单调递减；∴，此时．
设正四棱锥的外接球的球心为，半径为，易知球心在上，
则，∴在中，，即，
解得，∴正四棱锥的外接球的表面积．
故答案为：3，
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 保山小粒咖啡是云南省保山市特产，中国国家地理标志保护产品，它以其颗粒均匀饱满、气味清新、香气浓郁、口感醇厚而闻名，被誉为“全国咖啡之冠”．某校高一数学兴趣小组，为了了解当地居民对喝咖啡的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下：
（1）根据小概率值α=0.1的独立性检验，能否据此推断该地居民喜欢喝咖啡与年龄有关？
（2）该兴趣小组在被调查的喜欢喝咖啡的人群中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人参加咖啡文化艺术节．抽取的4人中，35岁以上的人数记为X，求X的分布列与期望．
参考公式：，其中n=a+b+c+d．
参考数据：
【答案】（1）推断该地居民喜欢喝咖啡与年龄有关．
（2）分布列见解析，
【小问1详解】
零假设为该地居民喜欢喝咖啡与年龄无关，
根据列联表中的数据得
，
∴根据小概率值独立性检验，没有充分证据推断成立，
因此可以认为不成立，即可推断该地居民喜欢喝咖啡与年龄有关．
【小问2详解】
由题，在被抽取10人中，35岁以下（含35岁）的有人，35岁以上的有人，
∴的可能取值为0，1，2，3，且
；
；
；
；
∴的分布列为
．
16. 已知数列满足：，．
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）令，数列的前n项和为，求证：．
【答案】（1）证明见解析，；
（2）证明见解析.
【小问1详解】
由题意证明如下，，
在数列中，，，
∴，
又，
∴数列是首项为3，公比为3的等比数列，
∴，
即．
【小问2详解】
由题意及（1）证明如下，，
在数列中，
，
∴
，
，
∴单调递增，，
∵，
∴，
∴．
17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，且与交于点O，动点E满足（），异面直线与所成的角为．
（1）求证：；
（2）当时，求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
平面，且平面，
∴．
又∵四边形是菱形，．
∵，且平面，平面．
又平面，．
【小问2详解】
∵四边形是菱形，，
∴．
∴即为异面直线与所成的角．
∴
当时，为的中点，连接，如图，
则，
平面．
从而可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设为平面的法向量，
则由得，
令，则，，
设与平面所成的角为，
则．
18. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合．
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证：
（i）直线AB过定点，并求该定点的坐标；
（ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M．
【答案】（1），
（2）（i）证明见解析，；（ii）证明见解析
【小问1详解】
由题，解得，
∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为，
∴，即．
∴抛物线的方程为．
【小问2详解】
由（1）知，抛物线准线方程为，
∴可设，
（i）由得，且．
又，
∴抛物线在处的切线方程为，即．
在切线上，
①，
同理可得②，
由①②得直线的方程为，
令，则，
所以直线恒过抛物线的焦点．
（ii）联立得，
∴，
则线段AB的中点为，，
又，
∴MN与抛物线E的准线垂直，且，
故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M．
19. 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直．（其中e为自然对数的底数）
（1）求m的值；
（2）求证：，恒成立；
（3）证明：．
【答案】（1）．
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【小问1详解】
∵，
∴，
∵直线的斜率为．
∴曲线在点处的切线斜率．
解得．
【小问2详解】
由（1）得，
，
易知在上单调递增，且
∴由零点存在性定理得，存在唯一实数使得，
且时，，
，，
∴在处取得极小值，也是最小值，
，
．
故恒成立．
【小问3详解】
由（2）知，，
．
∴．
．
．年龄段
态度
合计
不喜欢喝咖啡
喜欢喝咖啡
35岁以下（含35岁）
25
35
60
35岁以上
25
15
40
合计
50
50
100
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3