云南省保山市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知弧长为的弧所对圆心角为，则这条弧所在的圆的半径为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用弧长与半径、圆心角的关系式可求解.
【详解】设这条弧所在的圆的半径为，
，又圆心角所对的弧长为，
所以，解得.
故选：B.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，再结合集合的运算，即可得到结果.
【详解】，且，
所以，则.
故选：C
3. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式和偶次根式有意义可得所满足的不等式，求解即可.
【详解】由已知可得，解得且，
所以函数的定义域是.
故选：A
4. 为了得到函数的图象．只需把函数的图象上所有的点（ ）
A. 向左平行移动个单位长度
B. 向右平行移动个单位长度
C. 向左平行移动个单位长度
D. 向右平行移动个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数图形变换中的原理求解，求解过程中注意系数对平移情况的影响.
【详解】因为，所以把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度即可．故选C.
5. 已知，，，则的大小关系是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质比较大小.
【详解】依题意，，
则，而，则，
所以的大小关系是.
故选：C
6. 某市GDP的年平均增长率为，按此增长率，大约经过年后该市GDP会翻一番，则为（参考值，）（ ）
A. 14B. 16C. 18D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】由题意设某市原有GDP为，经过年后该市GDP会翻一番为，由题意，求解即可.
【详解】设某市原有GDP为，经过年后该市GDP会翻一番为，
由年平均增长率为，可得，
所以，两边取自然对数得，
所以，代入参考值得
故选：A
7. 已知函数在区间上至少有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得，结合条件可得，求解即可.
【详解】因为，所以，
因为函数在区间上至少有3个零点，
所以，解得，所以的取值范围是.
故选：C.
8. ，用表示，中的较小者，记为，若，，则函数的最大值为（ ）
A. B. 6C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】分和两种情况，解不等式，可求得的解析式，进而可求得的最大值.
【详解】①当时，，，
由，可得，
解得，又，所以，
所以当时，，所以，
当时，，所以，
②当时，由，可得，
解得，又，所以，
所以当时，，所以，
当时，，所以，
综上所述：，
当时，，所以，所以，
当时，，
当，，
综上所述：，所以函数的最大值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：关键在于分类讨论，求得函数的解析式，再求得函数的最大值求解.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列判断正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用同角的正余弦的平方关系求解可判断A；利用两角和的正切公式计算可判断B；利用诱导公式计算可判断CD.
【详解】因为，所以的终边在一，二象限，
当的终边在一象限时，，
当的终边在二象限时，，故A错误；
由，可得，所以，解得，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.
故选：BD.
10. 如图，在以为直径的半圆中，是圆心，是垂直于的半径，是直径上与不重合的任意一点，交半圆于点，于点，设，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用图形的几何位置关系结合勾股定理和圆的几何位置特征求解即可.
【详解】由题意得：，所以，故选项A正确，
在中，由勾股定理得：，故选项B正确，
，故选项C错误.
，故选项D正确.
故选：ABD.
11. 对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ）
A. 函数，图象关于原点对称
B. 设，，则有
C. 函数，的值域为
D. 不等式的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，取值验证判断A；利用，计算可判断B；由取整函数的定义得，进而判断C；解一元二次不等式，然后取整函数的定义求出解集判断D.
【详解】对于A：当时，，当时，，
即点，都在函数的图象上，它们关于原点不对称，
则函数图象关于原点不对称，故A错误；
对于B，因为，
所以，故B正确；
对于C：由取整函数的定义知，，则，
因此函数，的值域为，故C正确；
对于D：由，得，解得，
而，则，因此，不等式的解集为，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数幂的运算法则求解即可.
【详解】.
故答案为：.
13. 已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系代入计算，即可得到结果.
【详解】由可得，
平方可得，即，
化简可得，
即，解得或，
其中，则，
当时，（舍），
当时，，
所以.
故答案为：
14. 已知函数是定义域为的偶函数，且，并满足，则______．
【答案】0
【解析】
【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性及周期性，并求得，再利用周期性求出所求值.
【详解】由函数是定义域为的偶函数，得，
而不恒为0，则，，
又，则，即，
因此，函数是周期为4的周期函数，
由，得，
所以.
故答案为：0
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知函数
（1）求，；
（2）判断函数的奇偶性并证明．
【答案】（1），3；
（2）偶函数，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）判断代入求出函数值.
（2）利用函数奇偶性定义推理判断即可.
【小问1详解】
函数，则，.
【小问2详解】
函数是偶函数.
当时，，，
当时，，，
而，
因此，所以函数是偶函数.
16. 已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．
【答案】（1），；
（2），.
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再求出最小正周期及单调递减区间.
（2）求出相位的范围，确定最小值点，求出最小值及对应值集合.
【小问1详解】
函数，
所以的最小正周期；
由，得，
所以的单调递减区间是.
【小问2详解】
当时，，则当，即时，取得最小值，
所以的最小值为，取得最小值时的集合为.
17. 已知函数．
（1）在图中画出函数的图象；
（2）设，若函数有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）作图见解析；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）借助指数函数图象，利用变换法作出函数图象.
（2）由零点的意义，结合（1）的图象，求出直线与的图象有两个交点的范围.
【小问1详解】
作出函数的图象，并沿轴负方向平移2个单位得的图象，
再将所得的图象在轴下方部分沿轴翻折到轴上方与在轴上方的图象
合在一起得的图象，如图中实线：
【小问2详解】
由，得，由函数有两个零点，
得直线与的图象有两个交点，
由（1）知，，解得或，
所以实数的取值范围是或.
18. 数控机床（Cmputer Numerical Cntrl Machine Tls，简称CNC机床）是一种通过计算机程序控制，具有高精度、高效率的自动化机床，广泛应用于机械制造、汽车制造、航空制造等领域．某机床厂今年年初用50万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和（单位：万元）与使用时间（，，单位：年）之间满足函数关系式为：．该机床每年的生产总收入为24万元．设使用年后数控机床的盈利额为万元．（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）．
（1）写出与之间的函数关系式；
（2）从第几年开始，该机床开始盈利？
（3）该机床使用过程中，已知年平均折旧率为（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）．现对该机床的处理方案有两种：
第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出；
第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出．
以总获利为选取方案的依据，研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．（总获利盈利额机床剩余价值）
（参考数据：，，，，）
【答案】（1）
（2）第3年 （3）第一方案
【解析】
【分析】（1）根据盈利额的定义，用总收入减去购买成本和使用支出费用来构建函数关系式；
（2）令盈利额大于0，求解不等式，即可得到结果；
（3）分别计算两种方案下的总获利，比较大小来判断哪种方案更合理.
【小问1详解】
由盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用，可得：
.
【小问2详解】
令，即，即，
对于方程，由求根公式可得，
又，则，
，
所以不等式的解为，
且，所以从第3年开始盈利.
【小问3详解】
第一方案：对于，对称轴为，
当时，（万元），
此时机床剩余价值为，
总获利为（万元）；
第二方案：年平均盈利额为
其中，
当且仅当时，即时，等号成立，
且，则或，
当时，（万元），
当时，（万元），
所以时，年平均盈利额最大，此时盈利额（万元），
机床剩余价值为（万元），
总获利为（万元），
因为，所以第一方案较为合理.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的实际应用，难度较大，解答本题的关键在于构建函数模型，以及结合基本不等式求取最值，从而求解.
19. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：（是自然对数的底数）．
（1）求的值；
（2）证明：两角和的双曲余弦公式；
（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）1； （2）证明见详解；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数定义直接代入即可求；
（2）根据双曲函数的运算性质和指数幂的运算性质化简计算即可求解；
（3）由函数定义代入函数解析式，由题意可得在上恒成立，令，即求，令，结合二次函数性质即可求.
【小问1详解】
由题意，
【小问2详解】
因为左边
右边
所以.
【小问3详解】
由题意可知在上恒成立，
整理得在上恒成立，
令，
则，
令，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
因为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故，即的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了三角函数新定义问题，解答本题的关键在于理解双曲余弦函数以及双曲正弦函数的定义，然后结合所学函数知识解答.