湖南省娄底市涟源市部分学校2025届高三数学上学期12月月考试题

这是一份湖南省娄底市涟源市部分学校2025届高三数学上学期12月月考试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知平面向量，，，则实数（ ）
A．B．1C．D．2
2．已知为虚数单位，，则（ ）
A．1B．2C．D．
3．已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
4．若命题，，则命题的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5.函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．函数（，，）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.若对任意的都有，则图中的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（ ）
A．28B．29C．30D．31
8．已知点、是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，点关于的角平分线的对称点也在椭圆B上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示,根据此折线图,下面结论正确的是( )
A.这14天日促销量的众数是214 B.这14天日促销量的中位数是196
C.这14天日促销量的第80百分位数是243 D.这14天日促销量的极差为195
10.已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点 B．的最小值为3
C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则
11.如图,在棱长为4的正方体中,分别是棱的中点,是正方形内的动点,则下列结论正确的是( )
若,则点的轨迹长度为
B．若平面,则点的轨迹长度为
C.若是正方形的中心,在线段上,则的最小值为
D.若是棱的中点,三棱锥的外接球球心为,则平面截球所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
已知，则 的最大值为 .
13.在的展开式中，的系数为 ．
14.已知数列，等可能取或1，数列满足，且，则的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知的内角，，所对的边分别是，，，且．
(1)求角；
(2)若，，求的面积．
16．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
17．已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程：
(2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率.
18．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，
（ⅰ）求的极值；
（ⅱ）若的极小值小于0，求的取值范围．
19．已知数列满足，且对任意正整数都有.
(1)写出，并求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若存在正整数，使得，求的值；
(3)设是数列的前项和，求证：.
数学试题答案
1A 2C 3B 4D 5B 6A 7B 8B 9 AD 10 AC 11 BCD
12 -3 13. 224 14
15.【详解】（1）在中，，
又，所以，
由余弦定理得， 又，则.
（2）在中，，，
由余弦定理，得，即，解得或．
当，，时，可构成三角形，此时的面积为；
当，，时，可构成三角形，此时的面积为．
16.【详解】（1）因为为等边三角形，为的中点，
所以． 过作，垂足为，
因为底面为直角梯形，，，，，
所以，则，
由得，所以
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面． 因为平面，所以．
又，平面，所以平面．
（2）由（1）可知，，，两两垂直，以为原点，过且平行于的直线为轴，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为m=x,y,z，则，令，则， 由（1）可知，轴⊥平面，不妨取平面的法向量为，
则， 故平面与平面夹角的余弦值为．
17．【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得，
由椭圆过点，得，联立解得，
所以椭圆的方程为.
（2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，，则，
由消去得，显然，
则，
的面积
，解得，
所以直线的斜率.

18．【详解】（1）当时，则，，
可得，，即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即；
（2）（ⅰ）因为的定义域为，且，
令，解得；
当时，；当时，；
所以在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值；
（ⅱ）由题意可得：，
因为，所以，构建，，
因为，所以在内单调递增，
因为，不等式等价于，解得，
所以的取值范围为.
19．【详解】（1）因为对任意正整数都有，
故，，
令，可得，所以.
当时，，
当时，，符合上式，所以；
（2）由（1）得，当为偶数时，
当为奇数时，为偶数，
.
综上所述，；
若为偶数，则为奇数，由，得，
解得（舍去）或；
若为奇数，则为偶数，由，得，方程无解，
不合题意，舍去.
综上，所求的值为2.
（3）由
现在我们来证明时，，
令，求导得，
所以在0,+∞上单调递增，所以，
结合当时，，有，
所以.
故
【点睛】关键点点睛：问题的第三问，先化简，得，再证明时，，利用结论，对数列进行放缩，得到，可证结论.