2024-2025学年河南省南阳市某校高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省南阳市某校高一（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i是虚数单位，则复数z=2+i3的虚部为( )
A. −1B. 1C. 0D. i
2.若cs(π4+θ)=12，则sin2θ=( )
A. −12B. − 32C. 12D. 32
3.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形△OAB的直观图为如图所示的△O′A′B′，已知△O′A′B′是边长为2的等边三角形，则顶点B到x轴的距离是( )
A. 2 6
B. 4
C. 2 3
D. 2 2
4.若a=sin40°cs127°+sin50°sin53°,b= 22(cs34°−sin34°),c=1−tan239°1+tan239∘，则a，b，c的大小关系是( )
A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. a>c>b
5.直三棱柱ABC−A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°则此球的表面积等于( )
A. 52π9B. 20πC. 8πD. 52π3
6.在△ABC中，点P满足2BP=PC，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若AM=xAB，AN=yAC(x>0,y>0)，则2x+y的最小值为( )
A. 3B. 3 2C. 1D. 13
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a= 3，且c−2b+2 3csC=0，则该三角形外接圆的半径为( )
A. 1B. 3C. 2D. 2 3
8.已知sin(α−β)=13，csαsinβ=16，则cs(2α+2β)=( )
A. 79B. 19C. −19D. −79
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(2,1)，b=(1,−1)，c=(m−2,−n)，其中m，n均为正数，且(a−b)//c，则下列说法正确的是( )
A. a与b的夹角为钝角B. 向量a在b上的投影向量为 22b
C. 2m+n=4D. mn的最大值为2
10.设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若|z⋅(2+i)|= 10，则z⋅z−=2
B. 若点Z的坐标为(−3,2)，且z是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则p+q=19
C. 若复数z=i101i+1，则复数z−在复平面内对应的点位于第一象限
D. 若复数z满足|z−1+2i|=1，则|z|的最小值为 5−1
11.已知圆锥SO(O是圆锥底面圆的圆心，S是圆锥的顶点)的母线长为4，底面半径为3.若P，Q为底面圆周上的任意两点，则下列说法中正确的是( )
A. 圆锥SO的侧面积为12πB. △SPQ面积的最大值为3 7
C. 三棱锥O−SPQ体积的最大值为3 72D. 圆锥SO的内切球的表面积为36π7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为______．
13.已知单位向量e1，e2满足|e1+e2|= 3，则|e1−e2|=______．
14.一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为30°，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成60°角，沿这条直道向上100米后，升高了______米.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=3+bi(b=R)，且(1+3i)⋅z为纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若ω=z2+i，求复数ω以及模|ω|．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)= 3sin2(x+π12)+ 32[cs(2x−π2)−1]，x∈[0,7π12)．
(1)求f(π3)；
(2)若函数g(x)=2f(x)−m只有一个零点，求实数m的取值集合．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD满足AD//BC，且AD=12，PA=AB=BC=1，三角形PAC的面积为 22．
(1)画出平面PAB和平面PCD的交线，并说明理由．
(2)求点B到平面PCD的距离．
18.(本小题17分)
如图，某小区为美化环境，建设美丽家园，计划在一块半径为R(R为常数)的扇形区域上，建个矩形的花坛CDEF和一个三角形的水池FCG.其中GC=GF，O为圆心，∠AOB=120°，C，G，F在扇形圆弧上，D，E分别在半径OA，OB上，记OG与CF，DE分别交于M，N，∠GOC=θ．
(1)求△FCG的面积S关于θ的关系式，并写出定义域；
(2)若R=10米，花坛每平方米的造价是300元，试问矩形花坛的最高造价是多少？(取 3=1.732)
19.(本小题17分)
如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，AB=1，AA1=2，∠BAD=60°，点P为DD1的中点．
(1)求证：直线BD1//平面PAC；
(2)求证：BD1⊥AC；
(3)求二面角B1−AC−P的余弦值．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：由z=2+i3=2−i，得复数z=2+i3的虚部为−1．
故选：A．
化简z，然后利用虚部的定义进行求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：由cs(π4+θ)= 22csθ− 22sinθ=12，得csθ−sinθ= 22，
两边平方得1−sin2θ=12，解得sin2θ=12．
故选：C．
利用和角的余弦公式展开，再平方即得解．
本题考查两角和的余弦及二倍角公式的应用，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：①中，过B′作B′E′平行y′轴，交x′轴于点E′，
在②中的平面直角坐标系xOy中，在x轴上取OA=O′A′，OE=O′E′，
过点E作EB平行y轴，EB=2E′B′，连接OB，AB，△ABC即原图形，
故BE为B到x轴距离，设BE=ℎ.ℎ>0，B′E′=12ℎ．
在①中过B′作B′D′垂直x轴，且交x′轴于D′，
则B′D′=2⋅sin60°=2× 32= 3，
∵∠B′E′O′=45°，∴12ℎsin45°= 3，故12ℎ⋅ 22= 3，故ℎ=2 6．
故选：A．
根据斜二测画法的定义即可求值．
本题考查斜二测画法的定义，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为a=sin40°cs127°+sin50°sin53°,b= 22(cs34°−sin34°),c=1−tan239°1+tan239∘，
则a=−sin40°cs53°+cs40°sin53°=−sin(40°−53°)=sin13°，
b=sin45°cs34°−sin34°cs45°=sin(45°−34°)=sin11°，
c=cs78°=sin12°，
又因为函数y=sinx在(0°,90°)上单调递增，所以a>c>b，
故选：D．
利用正余弦的两角和与差的三角函数的公式化简a，b，c，再根据正弦函数的单调性即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数的公式的应用，涉及到正弦函数的单调性，考查了学生的运算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：如图，在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，
可得BC=2 3，
由正弦定理，可得△ABC外接圆半径，
设此圆圆心为O′，球心为O，在RT△OBO′中，
易得球半径R= 5，
故此球的表面积为4πR2=20π．
故选：B．
通过已知条件求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O′，球心为O，在RT△OBO′中，求出球的半径，然后求出球的表面积．
本题考查三棱柱的外接球，考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查球的表面积公式，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了向量的线性表示及平面向量共线定理，还考查了利用乘1法结合基本不等式求解最值，属于中档题．
由已知结合向量的线性表示及向量共线定理得13y+23x=1，然后利用乘1法，结合基本不等式可求．
【解答】
解：因为2BP=PC，AM=xAB，AN=yAC(x>0,y>0)，
所以AP=AB+BP=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=13AC+23AB=13yAN+23xAM，
因为M，P，N共线，
所以13y+23x=1，
所以2x+y=(2x+y)(13y+23x)=53+2y3x+2x3y≥53+2 2y3x⋅2x3y=3，
当且仅当2y3x=2x3y且13y+23x=1，即x=y=1时取等号，
此时2x+y的最小值为3．
故选：A．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用正弦定理求三角形外接圆半径，两角和与差的正弦公式，属于中档题．
先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A，再根据正弦定理求出外接圆半径即可．
【解答】
解：
∵a= 3，且c−2b+2 3csC=0，
∴c−2b+2acsC=0，
∴sinC−2sinB+2sinAcsC=0，
即sinC−2sin(A+C)+2sinAcsC=0，
∴sinC−2sinAcsC−2sinCcsA+2sinAcsC=0，
∴sinC−2sinCcsA=0，
∵sinC>0，∴csA=12,A∈(0,π)，
∴A=π3，
设该三角形外接圆的半径为r，
由正弦定理得asinA= 3 32=2=2r，
∴r=1，
故选：A．
8.【答案】B
【解析】解：因为sin(α−β)=sinαcsβ−sinβcsα=13，csαsinβ=16，
所以sinαcsβ=12，
所以sin(α+β)=sinαcsβ+sinβcsα=12+16=23，
则cs(2α+2β)=1−2sin2(α+β)=1−2×49=19．
故选：B．
由已知结合和差角公式先求出sinαcsβ，再求出sin(α+β)，然后结合二倍角公式可求．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：对于A，因为a=(2,1),b=(1,−1)，所以a⋅b=2−1=1>0，
又因为2×(−1)≠1×1，可知a,b不共线，
所以a,b的夹角为锐角，故A错误；
对于B，因为b=(1,−1)，所以|b|= 2，
所以向量a在b上的投影向量为(a⋅bb2)b=12b，故B错误；
对于C，因为a=(2,1)，b=(1,−1)，c=(m−2,−n)，
所以a−b=(1,2)，
因为(a−b)//c，所以−n=2(m−2)，即2m+n=4，故C正确；
对于D，因为2m+n=4，且m，n均为正数，
所以mn=12(2m⋅n)≤12(2m+n2)2=2，当且仅当m=1，n=2时，等号成立，
所以mn的最大值为2，故D正确．
故选：CD．
对于A：根据数量积的符号分析向量夹角；对于B：根据投影向量的定义运算求解；对于C：根据向量共线运算求解即可；对于D：利用基本不等式运算求解即可．
本题考查平面向量的数量积与夹角，向量平行的坐标表示，基本不等式的应用，属于中档题．
10.【答案】ABD
【解析】解：A选项：由|z⋅(2+i)|=|z|⋅|2+i|= 10，计算|2+i|= 5，得|z|= 2，又z⋅z−=|z|2=( 2)2=2，A正确；
B选项：z=−3+2i，其共轭−3−2i也为根，韦达定理，−p=(−3+2i)+(−3−2i)=−6，得p=6，
q=(−3+2i)(−3−2i)=13，故p+q=6+13=19，B正确；
C选项：i101=i，z=i1+i=12+12i，z−=12−12i对应点在第四象限，C错误；
D选项：|z−1+2i|=1表示以(1,−2)为圆心，1为半径的圆，
|z|最小值为圆心到原点距离 12+(−2)2= 5减去半径1，即 5−1，D正确．
故选：ABD．
根据复数的性质即可求解．
本题考查了复数的性质，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：选项A，由圆锥的底面圆半径为3，知底面圆周长为6π，
因为圆锥的母线长为4，
所以侧面积为12⋅6π⋅4=12π，即选项A正确；
选项B，设BC是底面圆的一条直径，
在△SBC中，由余弦定理知，cs∠BSC=42+42−622×4×4=−18