2024-2025学年北京市海淀区高二下学期学业水平调研数学试题（含解析）

这是一份2024-2025学年北京市海淀区高二下学期学业水平调研数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列an满足a1=1,an+1=−2an，则a5的值为( )
A. −16B. 16C. −32D. 32
2.已知函数fx=csxx，则f′x=( )
A. xcsx−sinxx2B. −xsinx−csxx2C. xcsx+sinxx2D. −xsinx+csxx2
3.已知1−2x5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2=( )
A. −10B. −40C. 10D. 40
4.某学校组织高二学生参加社会实践研学活动，研学路线有成都、南京、西安共3条．学校安排3名男教师和3名女教师一起负责研学活动，若每条路线安排男、女教师各1名，则不同的分配方案种数为( )
A. 36B. 72C. 108D. 216
5.已知函数fx的导函数f′x=ax+2x−12,f′x的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. 函数fx有2个极值点
B. 函数fx在区间1,3上没有零点
C. 函数fx在区间−2,3上单调递减
D. 曲线y=fx在点−2,f−2处的切线斜率小于零
6.已知等差数列an和等比数列bn，a1=b1=−4,a4=2,a5=8b4,m∈N•，则满足am⋅bm>1的数值m( )
A. 有且仅有1个值B. 有且仅有2个值C. 有且仅有3个值D. 有无数多个值
7.甲、乙两名运动员进行某项比赛并约定：若其中一人连续赢两局，则此人获胜，比赛结束．已知每局比赛结果相互独立，且每局甲赢的概率为35(没有平局).则在第三局结束比赛的条件下，运动员甲获胜的概率是( )
A. 18125B. 36125C. 35D. 925
8.设an是所有项都不为0的无穷等差数列，则“1an为递减数列”是“an为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.已知函数fx的定义域为D，若对任意的x1∈D，都存在唯一的x2∈D，使得f′x1=−f′x2，则称函数fx具有性质P.下列四个函数中，具有性质P的是( )
A. fx=sinxB. fx=x2−x
C. fx=x3−2xD. fx=x−3lnx．
10.已知函数fx=x3−3x,x≤a,−x+a,x>a,.则下列结论中错误的是( )
A. 当a=0时，函数fx在−1,+∞单调递减
B. 当−1≤a≤2时，函数fx有最大值2
C. 当a≥ 3时，函数fx有3个极值点
D. 当a>0时，直线y=x−a与曲线y=fx恰有2个交点
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知数列an的通项公式为an=2n−1，则a3= ；记an的前n项和为Sn，则S10= .(用数字作答
12.已知函数fx=ln2x+2，则其定义域为 ，f′x= ．
13.现有甲、乙、丙三个人，需要执行某项试验任务，每个人至多执行一次．如果规定时间内某人完成任务，则试验成功，结束该任务；如果规定时间内某人不能完成任务，则撤回再由下一个人执行任务．若该项试验任务按照甲、乙、丙的顺序执行且甲、乙、丙三人在规定时间内完成任务的概率分别为45,34,23，每个人能否完成任务相互独立，则试验成功的概率为 ．
14.已知函数fx=x3+ax2+4在区间0,+∞上没有零点，则实数a的取值范围是 ．
15.已知无穷数列an的前n项和Sn满足Sn=12an+kan，其中k为常数，且S1≠0.给出下列四个结论：
①实数k>0；
②数列Sn2为等差数列；
③当a1=1时，对任意M>0，存在n0>0，当n>n0时，an0恒成立时，an一定为递减数列．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知函数fx=exx2−x+1．
(1)求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；
(2)求函数fx的单调区间．
17.(本小题12分)
AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象．AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率．现抽取了由甲、乙、丙、丁四个公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示：
(1)从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率低于2%的概率；
(2)从表中提供的幻觉率低于2%的AI模型中任取3个，用随机变量X表示其中幻觉率低于1.3%的模型个数，求随机变量X的分布列和数学期望;
(3)已知某同学向表中乙或丙公司的某个AI模型进行了一次提问，经查证，该模型产生了AI幻觉，则该模型来自哪个公司的可能性更大?(结论不要求证明)
18.(本小题12分)
已知函数fx=x2−axlnx．
(1)当a=1时，直线l是曲线y=fx的一条切线，求l的斜率的最小值;
(2)当a⋅⋅⋅，即cm>1不成立；
综上所述：满足am⋅bm>1的数值m有且仅有1个值，该值为1．
故选：A．
7.【答案】C
【解析】【分析】根据条件概率的计算公式即可求解．
【详解】第三局结束比赛的概率为35×1−352+1−35×352=30125，
则在第三局结束比赛的条件下甲获胜的概率为1−35×35235×1−352+1−35×352=1812530125=35，
故选：C
8.【答案】A
【解析】【分析】作差法得到1an+1−1an=an−an+1an+1an=−danan+1，若{1an}递减，可得an为递增数列，充分性成立，可以举出实例说明必要性不成立，从而可得答案．
【详解】若{1an}递减，则1an+1−1an=an−an+1anan+1=−danan+10且anan+1>0恒成立；
若a1>0，d>0，则an>0对所有n成立，
若a10则存在n使得an0，与anan+1>0矛盾
{1an}递减的充要条件是a1>0且d>0，
即若{1an}递减，则an为递增数列，充分性成立；
若an为递增数列，则an+1−an>0，
1an+1−1an=an−an+1an+1an，
由于不知道an+1an的正负，故无法判断1an+1−1an的正负，
故不能得到1an为递减数列，必要性不成立，
例如an为以下数列：−1,1,3,5,⋯，
则1an为−1,1,13,15,⋯，不是递减数列，
所以“1an为递减数列”是“an为递增数列”的充分也不必要条件．
故选：A．
9.【答案】D
【解析】【分析】根据题意逐项验证函数具有性质P，即可求解．
【详解】A：由fx=sinx的定义域为R，f′x=csx，当x1=π2时，f′π2=csπ2=0，
此时x2=π2+kπ，k∈Z，f′x2=csx2=0，故x2不唯一，故fx=sinx不具有性质P，故 A错误；
B：fx=x2−x=x2−xx≥0x2+xx0，
所以f(x)在0,+∞上单调递增，又f(0)=4>0，所以f(x)在上没有零点，满足条件；
(2)当−2a3>0，即a0，
又f(−2a3)=−2a33+a×−2a32+4=4a327+4，于是4a327+4>0，
解得a>−3，结合a0，当n>n0时，an0，∴Sn>0.当n≥2时，an=Sn−Sn−1= S12+n−1k− S12+n−2k=k S12+n−1k+ S12+n−2k，
则an+1= S12+nk− S12+n−1k=k S12+nk+ S12+n−1k， S12+nk+ S12+n−1k> S12+n−1k+ S12+n−2k，
∴an+10恒成立，x2−x+12>0恒成立，
所以令f′(x)>0，解得x>2或x0，所以ℎ′(x)=2x−ax>0，
所以ℎ(x)在0,+∞上单调递增．
又因为ℎ(1)=2×1−aln1−a=2−a>0，
当x→0+时，−alnx→−∞，所以2x−alnx−a→−∞，
又因为ℎ(x)=2x−alnx−a在0,+∞上连续，
所以存在x0∈0,1，使得ℎ(x0)=0，即f′(x0)=0，
所以当0