2024-2025学年北京市房山区北京师范大学良乡附属中学高一下学期期末数学试题（含解析）

这是一份2024-2025学年北京市房山区北京师范大学良乡附属中学高一下学期期末数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．函数的定义域为，函数的值域为，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．一种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中，而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（ ）
（参考数据：）
A．B．C．D．
7．设，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，函数的图象为折线段，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．且B．
C．D．
10．已知函数，其中．若在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．函数的定义域为 ．
12．不等式的解集为 .
13．若关于的不等式的解集为，则的值为 .
14．已知函数，则 ；的单调递增区间为 ．
15．设函数
①若，则的最小值为 ；
②若恰有2个零点，则参数的取值范围是 .
三、解答题
16．已知函数．
(1)求的定义域；
(2)求不等式的解集．
17．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．
(1)求的值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
18．已知关于的方程.
(1)若该方程的解集中只有一个元素，求的值；
(2)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，解关于的不等式.
19．已知函数，其中且．
(1)已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标；
(2)若，求的最小值；
(3)若在区间上的最大值为2，求a的值．
20．两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为．
(1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数；
(2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？
21．已知函数（）在区间上有最大值4和最小值1.设.
(1)求，的值；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围.
22．已知集合中都至少有个元素，且，满足：
①，且，总有；
②，且，总有．
(1)若集合，直接写出所有满足条件的集合；
(2)已知，
（ⅰ）若，且，求证：．
（ⅱ）求证：．
答案解析
1．B
【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可.
【详解】命题的否定是.
故选：B
2．D
【分析】根据不等式的性质逐个选项推导或举反例判断即可.
【详解】对A，若，，则，故A错误；
对B，若，则，但，故B错误；
对C，若，则，但，故C错误；
对D，若，则，故，即，故D正确.
故选：D
3．A
【分析】根据函数图象变换关系进行求解即可
【详解】将函数的图象向左平移1个单位，得到，
再向下平移1个单位，得到，
所以，
故选：A
4．C
【分析】根据题意可知函数为增函数，然后列出式子计算即可.
【详解】由题可知：任意的实数，都有成立
所以函数为上的增函数，所以，得到，即
故选：C
5．A
【分析】求出函数定义域及值域化简集合，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】函数中，，即，解得，即，
函数的值域，集合是集合的真子集，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
6．B
【分析】根据题意得以及，解方程组即可求出.
【详解】由已知细胞5岁和60岁的分裂速度相等，即，
所以，整理得①，
又分裂速度变化是连续的，则，整理得，
所以，
解得
故选：B,
7．C
【分析】首先根据指数函数在上的单调性比较，的大小；再根据幂函数在上的单调性比较，的大小即可求解.
【详解】∵函数在上单调递减，且，，即.
∵函数在上单调递增，且，，即.
.
故选：C.
8．D
【分析】根据图象求出函数的解析式，解不等式求结论.
【详解】函数的图象为折线段，且,
故可设，
且，，，
所以，，
所以，
当时，不等式可化为，，
即，故（舍去），
当时，不等式可化为，，
即，故.
所以不等式的解集是.
故选：D.
9．B
【分析】先对参数范围分类讨论，再结合复合函数的性质建立不等式，求解参数范围即可.
【详解】由对数函数性质得或，下面，我们对的范围进行分类讨论，
令，则是由和构成的复合函数，
当时，由对数函数性质得单调递增，
由一次函数性质得单调递减，
由复合函数性质得单调递减，不符合题意，故排除，
当时，由对数函数性质得单调递减，
若在区间上单调递增，故在区间上单调递减，
此时，解得，且恒成立，
由一次函数性质得的最小值为，
得到，解得，
综上，得到的取值范围为，故B正确.
故选：B
10．C
【分析】分析可知的最大值为，且，求得，结合图像即可得结果.
【详解】当时，在内单调递减，
则，且；
若在上的值域为，
则在上的最值点在内，
可知的最大值为，且，可得，
令，解得或，
结合的图像可知实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于定义域和值域的开闭问题，可知在上的最值点在内，进而结合二次函数分析最值.
11．
【分析】根据题意得解出即可.
【详解】要使函数有意义，
则，即，
所以函数的定义域为：，
故答案为：.
12．
【分析】将分式不等式转化为不等式组可解得.
【详解】解：原不等式等价于不等式组
解得，
所以所求不等式的解集为.
故答案为: .
【点睛】本题考查了分式不等式,一元二次不等式,属于基础题.
13．
【分析】根据题意，转化为和是方程的两个实数根，结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解.
【详解】由关于的不等式的解集为，
所以和是方程的两个实数根，
可得，解得，所以.
故答案为：.
14．
【分析】代入求出函数值；利用分段函数单调性求出递增区间.
【详解】函数，则；
函数在上单调递增，在上单调递增，
而当时，，
所以函数的单调递增区是.
故答案为：；
15．
【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分情况讨论，求出a的范围
【详解】①时，，
函数在上为增函数且，
函数在为减函数，在为增函数，当时，取得最小值为；
②令且，且，
若在时与轴有一个交点，则，且，所以.
此时在时也有一个零点，因为的对称轴为，所以，解得，故.
若在上与轴没有交点，则或.
当时，在上与轴无交点，不符合题意，舍去.
当时，在上有两个零点和，所以符合题意.
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：；
16．(1)；
(2)
【分析】（1）利用对数函数定义列出不等式求出定义域.
（2）利用对数函数单调性，结合对数运算求解不等式.
【详解】（1）函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为.
（2）不等式，
则，即，解得或，
所以原不等式的解集为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，有，代入即可得出的值；
（2）时，恒成立转化为即，令，求在的最大值即可.
【详解】（1）函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，有，
即，解得，当时，不满足题意，所以；
（2）由，得，即，
令，易知在上单调递减，
则的最大值为.又因为当时，恒成立，
即在恒成立，所以.
18．(1)或
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据题意，分当和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解；
（2）当时，转化为时，恒成立，结合基本不等式，即可求解；
（3）根据题意，不等式转化为，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：由关于的方程，
当时，方程即为，解得，满足题意；
当时，若该方程的解集中只有一个元素，则满足，
即，解得，
综上可得，实数的值为或.
（2）解：当时，不等式为，即，
由时，恒成立，即为时，恒成立，
又因为，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，
即实数的取值范围为.
（3）解：由不等式，可化为，
因为，可得，即为，
当时，即时，解得，不等式的解集为；
当时，即时，不等式为，此时不等式的解集为；
当时，即时，解得，不等式的解集为，
综上可得：
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19．(1)；
(2)；
(3)3.
【分析】（1）求出即可得出结果；
（2）由已知，令，，可得，即可求出最小值；
（3）令，则.分类讨论当以及时，根据指数函数的单调性求出在上的值域.进而根据二次函数的性质，求出最大值，根据已知得到方程，求解即可得出a的值．
【详解】（1）因为，所以定点坐标为.
（2）当时，.
令，.
则，当，即时，函数有最小值.
（3）令，则.
①当时，可知在上单调递减，所以.
又根据二次函数的性质可知，当时，单调递减，
所以在处取得最大值.
由已知可得，，解得或.
因为，所以两个数值均不满足；
②当时，可知在上单调递增，所以.
又根据二次函数的性质可知，当时，单调递增，
所以在处取得最大值.
由已知可得，，解得或（舍去），所以.
综上所述，.
20．(1)，；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据给定条件，求出货车每小时的运输成本及行驶时间即可得函数关系.
（2）借助对勾函数单调性探讨最小值，即可得解.
【详解】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时，
所以，.
（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
而，则当，即时，，取得最小值；
当，即时，，取得最小值，
所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小；
当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小.
21．(1)
(2)
【分析】（1）求函数的对称轴，利用二次函数的性质判断函数在区间上的单调性，利用最值求参数a和b；
（2）将原不等式转化为求函数的最值.
【详解】（1）的对称轴为，因为，
所以在区间上的单调递增，
所以，，
解得，.
（2），，
因为不等式在上有解，令，
则在上有解，代入得，即，
令，则在上有解，
因为在处取得最大值1，所以，实数的取值范围.
【点睛】（1）判断二次函数的对称轴，进而判断单调性，求最值；
（2）换元，分参，将原不等式转化为求函数的最值.
22．(1)，，，；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）由条件证明，设设，由条件列方程求，由此可得结论；
（2）（ⅰ）由条件先证明，再证明，
（ⅱ）先证明中至少有两个正整数，设正整数，由此证明，同理证明出大于等于的正整数属于，结合（ⅰ）证明小于的正整数属于，由此完成证明.
【详解】（1）因为，又，且，总有，
所以，即，
设，由，且，总有，
可得，
所以或或，
但，
所以满足条件的集合有，，，；
（2）（ⅰ）又，，，，
由①知，，，
由②知，，
（ⅱ）因为中至少有个元素，，
不妨设，其中，互不相等的整数，
则，且，
所以中至少存在两个正整数，
不妨设，，，又，
由①知，，，，
由②知，，，
故由，，，，可推出，
同理由可推出，，
由，可推出，
，
所以对于大于等于的正整数，都属于，
因为，
由（ⅰ），，，，
所以任意的正整数都属于，
所以.
【点睛】解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
C
A
B
C
D
B
C