2024-2025学年北京市房山区北京师范大学良乡附属中学高一下学期期末数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市房山区北京师范大学良乡附属中学高一下学期期末数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题的否定是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．函数的定义域为，函数的值域为，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．一种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中，而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（ ）
（参考数据：）
A．B．C．D．
7．设，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，函数的图象为折线段，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A．且B．
C．D．
10．已知函数，其中．若在上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11．函数的定义域为 ．
12．不等式的解集为 .
13．若关于的不等式的解集为，则的值为 .
14．已知函数，则 ；的单调递增区间为 ．
15．设函数
①若，则的最小值为 ；
②若恰有2个零点，则参数的取值范围是 .
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．已知函数．
(1)求的定义域；
(2)求不等式的解集．
17．已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．
(1)求的值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
18．已知关于的方程.
(1)若该方程的解集中只有一个元素，求的值；
(2)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，解关于的不等式.
19．已知函数，其中且．
(1)已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标；
(2)若，求的最小值；
(3)若在区间上的最大值为2，求a的值．
20．两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为．
(1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数；
(2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？
21．已知函数（）在区间上有最大值4和最小值1.设.
(1)求，的值；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围.
22．已知集合中都至少有个元素，且，满足：
①，且，总有；
②，且，总有．
(1)若集合，直接写出所有满足条件的集合；
(2)已知，
（ⅰ）若，且，求证：．
（ⅱ）求证：．
参考答案
11．
12．
13．
14．
15．
16．（1）函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为.
（2）不等式，
则，即，解得或，
所以原不等式的解集为.
17．（1）函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数，有，
即，解得，当时，不满足题意，所以；
（2）由，得，即，
令，易知在上单调递减，
则的最大值为.又因为当时，恒成立，
即在恒成立，所以.
18．（1）解：由关于的方程，
当时，方程即为，解得，满足题意；
当时，若该方程的解集中只有一个元素，则满足，
即，解得，
综上可得，实数的值为或.
（2）解：当时，不等式为，即，
由时，恒成立，即为时，恒成立，
又因为，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，
即实数的取值范围为.
（3）解：由不等式，可化为，
因为，可得，即为，
当时，即时，解得，不等式的解集为；
当时，即时，不等式为，此时不等式的解集为；
当时，即时，解得，不等式的解集为，
综上可得：
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19．（1）因为，所以定点坐标为.
（2）当时，.
令，.
则，当，即时，函数有最小值.
（3）令，则.
①当时，可知在上单调递减，所以.
又根据二次函数的性质可知，当时，单调递减，
所以在处取得最大值.
由已知可得，，解得或.
因为，所以两个数值均不满足；
②当时，可知在上单调递增，所以.
又根据二次函数的性质可知，当时，单调递增，
所以在处取得最大值.
由已知可得，，解得或（舍去），所以.
综上所述，.
20．（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时，
所以，.
（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
而，则当，即时，，取得最小值；
当，即时，，取得最小值，
所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小；
当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小.
21．（1）的对称轴为，因为，
所以在区间上的单调递增，
所以，，
解得，.
（2），，
因为不等式在上有解，令，
则在上有解，代入得，即，
令，则在上有解，
因为在处取得最大值1，所以，实数的取值范围.
22．（1）因为，又，且，总有，
所以，即，
设，由，且，总有，
可得，
所以或或，
但，
所以满足条件的集合有，，，；
（2）（ⅰ）又，，，，
由①知，，，
由②知，，
（ⅱ）因为中至少有个元素，，
不妨设，其中，互不相等的整数，
则，且，
所以中至少存在两个正整数，
不妨设，，，又，
由①知，，，，
由②知，，，
故由，，，，可推出，
同理由可推出，，
由，可推出，
，
所以对于大于等于的正整数，都属于，
因为，
由（ⅰ），，，，
所以任意的正整数都属于，
所以.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
C
A
B
C
D
B
C