福建省厦门双十中学2024届高三热身试卷数学试题(开学考)试题（含答案）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（ ）
A．B．C．D．或
3．设是不同的直线，在平面内，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．在菱形中，，点分别为和的中点，且，则（ ）
A．1B．C．2D．
5．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．52B．54C．56D．58
6．已知则，（ ）
A．4B．2C．D．
7．已知为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
8．在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ）
A．事件与是互斥事件B．
C．D．事件与相互独立
10．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．
D．若方程在上有且只有5个根，则
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与的左、右两支分别交于两点（点在第一象限），点在直线上，点在直线上，且，则（ ）
A．的离心率为3B．当时，
C．D．为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是______．
13．已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为______．
14．在中，角的对边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．正方体的棱长为2，分别是的中点．
（1）求证：面；
（2）求点到平面的距离．
16．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
17．某地推动乡村振兴发展，推广柑橘种植，经品种改良，农民经济收入显著提高．为了解改良效果，合作社工作人员在该农村地区2000棵果树抽取20棵测量果实平均直径（单位：得到数据如下：
7.11 7.35 6.93 7.11 7.06 7.23 7.16 7.05 7.12 7.09
6.87 7.19 7.12 7.08 7.12 7.11 7.25 6.99 7.12 7.14
根据经验，果实平均直径服从正态分布以样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．为提高果实品质，需要将直径小于的果实提前去除，果实直径大于的即为优果，在该种培育方法下，平均每棵果树结果50个．经计算得，．
（1）估计优果的个数；
（2）为进一步提升柑橘质量，需要清除果实较小的果树，专家建议在每棵果树中抽取个测量果实直径，如果出现果实小于的果实，则认为该果树为果实较小．
（i）试说明此种方案犯错误的概率会随着摘取果实数的增加而增加；
（ii）根据小概率值及（i）中结论确定的值，估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数．
附：若，则，，．
18．设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6．
（1）求抛物线的方程
（2）设是坐标原点，点，是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点，且是线段的中点，试判断直线是否经过定点若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
19．对于，，不是10的整数倍，且，则称为级十全十美数．已知数列满足：，，．
（1）若为等比数列，求；
（2）求在中，3级十全十美数的个数．
热身考试数学参考答案
8．令外接球的半径为，依题意，，，过点作，则，所以，又，所以，所以圆台的侧面积，球的表面积，所以圆台的侧面积与球的表面积之比为．
故选：C
11．由题意得，，，，故A错误；
联立得，解得或，则故B正确；
由直线可知，又，，，，
故在线段的中垂线上，设的斜率分别为，，，故直线的方程为，联立得设
则，，故．
当轴时，，是等腰直角三角形，
且易知；当不垂直于轴时，直线的斜率为，
故，因为，所以，
所以，，故C正确；
因为，故，故，故D正确故选：BCD．
15．（1）连接，因为分别是的中点，由中位线定理得又，所以，所以四点共面，由于是的中点，则且，那么四边形为平行四边形，从而，又面面，故面，
（2）由上问结论知点到平面的距离等于点到平面的距离易得，，，利用余弦定理得，则
，．
设点到平面的距离，利用等体积法，可得，即点到平面的距离为．
16．（1）当时，，其定义域为，，
令，得舍去），当时，，
函数单调递增；当时，，函数单调递减．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）方法1：由条件可知，于是，解得．
当时，，构造函数，，，所以函数在上单调递减，
于是，因此实数的取值范围是．
方法2：由条件可知对任意的恒成立，令，，只需即可．，令，则，所以函数在上单调递增，于是，所以函数在上单调递增，所以，于是，因此实数的取值范围是．
17．（1）根据题意，20棵样本果树中果实平均直径大于的有3棵，所以该农村地区2000棵果树中果实平均直径大于的有棵，平均每棵果树结果50个，所以估计优果的个数为（个）；
（2）（i）因为，所以，
所以，个测量果实直径，出现果实小于的果实的概率为：
，
当越来越大时，越来越小，越来越大，所以试说明此种方案犯错误的概率会随着摘取果实数的增加而增加；
（ii）得，，因为为整数，
所以，估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数为个．
18．（1）点到圆上点的最大距离为，即，得，
故抛物线的方程为．
（2）设，，则方程为，方程为，
联立与抛物线的方程可得，即
因此点纵坐标为，代入抛物线方程可得点横坐标为，
则点坐标为，同理可得点坐标为因此直线的斜率为
，代入点坐标可以得到方程为，
整理可以得到，因此经过定点．
19．（1）解：设的公比为，则，即，由，可得解得或所以或．
（2）解：由（1）知，当时，，
当时，，两式相减得当为奇数时，的个位数为1或9，的个位数不可能为0；当为偶数时，设，
则，要想末尾3个数字为0，需满足被整除，
当时，均不符合题意；当时，自，以后各项均可被125整除，
故只需考虑能否被125整除，
其中不是5的倍数，故若原式能被125整除，需为偶数且能被25整除，即需是50的倍数，在1，2，3，…，2024中，50的倍数有40个：50，100，150，…，2000，故在中，3级十全十美数的个数为40．1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
B
C
C
D
D
C
9
10
11
12
13
14
AB
ACD
BCD
270