四川省成都市2024_2025学年高三数学上学期11月期中试题含解析

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1. 若命题：，则命题为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，写出结论即可.
【详解】命题是一个存在性命题，说明存在使的正数，
则它的否定是：不存在使的正数，
即对任意的正数都不能成立，
由以上的分析，可得为：，
故选：C.
2. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】结合正弦函数的性质由，可得，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】在中，，
由，可得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影向量的计算公式，结合已知条件，直接求解即可.
【详解】由题可知：，
故在方向上的投影向量为.
故选：B
4. 已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案.
【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足，
所以，
又，故，
故选：B
5. 遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：，则记忆率为20%时经过的时间约为（ ）（参考数据：，）
A. 80小时B. 90小时C. 100小时D. 120小时
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设得到，两边取对数求解，即可得出结果.
【详解】根据题意得，整理得到，两边取以10为底的对数，
得到，即，又，
所以，得到，
故选：C.
6. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，面积为的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出圆锥的底面圆半径和高，再求出外接球的半径，由此求得圆锥的外接球的面积.
【详解】设圆锥的底面圆半径为，则该圆锥的侧面展开图扇形弧长为，
于是，解得，该圆锥的高为，
设该圆锥的外接球的半径为，则球心到圆锥底面圆距离，
由球的性质知，，解得，
所以该圆锥的外接球的面积为.
故选：A
7. 若次多项式满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式．如，由可得切比雪夫多项式，同理可得．利用上述信息计算（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据切比雪夫多项式得，即可取，结合二倍角公式以及同角关系求解.
【详解】由于,，
即，变形可得，
即，解可得：或（舍，
则有，即，
故选：A
8. 函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令，根据奇偶性定义判断为奇函数，再应用导数研究的单调性，进而将目标式转化为在R上恒成立，求参数范围.
【详解】因为，
所以，
令，则，得为奇函数，
又，
，当且仅当，即时等号成立；
，当且仅当，即时等号成立；
所以，得在R上为增函数，
因为，
所以在R上恒成立，显然时满足；
当，需满足，解得，
综上，.
故选：D
【点睛】关键点点睛：注意构造，判断其奇偶性、单调性，最后将问题化为在R上恒成立为关键.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，为复数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，由复数的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.
详解】设，，
对于选项A，因为，
所以，
且，所以，故A正确；
对于选项B，因为，，，
则，，
所以，故B正确；
对于选项C，若，例如，，满足，
但，，即，故C错误；
对于选项D，因为，
所以，，
所以，故D正确.
故选：ABD.
10. 下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ）
A. 数据，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1
B. 已知随机变量，若，，则
C. 若事件M，N的概率满足，且，则M与N相互独立
D. 若一组样本数据（，2，…，n）的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据百分位数的定义计算判断A，由二项分布的数学期望与方差公式计算可判断B，根据相互独立事件及条件概率的概率公式计算可判断C，根据相关系数的定义可判断D.
【详解】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于，
所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A正确；
对于选项B，因为，，，
所以，解得，故B正确；
对于选项C，由，可得，
即，即，所以M与N相互独立，故C正确；
对于选项D，因为样本点都在直线上，说明是负相关且线性相关性很强，
所以相关系数为，故D错误.
故选：ABC.
11. “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯省所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ）
A. 若点，则
B. 若对于三点，则“”当且仅当“点A在线段上”
C. 若点在圆上，点在直线上，则最小值是
D. 若点在圆上，点在直线上，则的最小值是
【答案】AD
【解析】
【分析】由定义即可判断A选项，由数形结合即可判断出B选项，C,D选项是求点与点的“曼哈顿距离”距离，由基本不等式转化成点到点的平面距离，借助数形结合即可得出判断．
【详解】对于A选项：由定义可知，故A选项正确；
对于B选项：设点
则显
然，当点A在线段上时，，成立，
如图：过点作轴，过点作轴，且相交于点，过点A作与，过点作与，
由图可知，
显然此时点不在线段上，故B选项不正确；
对于C，D选项：
当时，
想要最小，点到直线距离最小时取得，
过原点作直线交圆于，
如图：
设，则
设点Px0,y0，则，
又当
①当时，由
②当时，由
又；
的最小值为：.故C选项错误，
D选项正确.故选：AD
【点睛】思路点睛：本题考查了新概念问题，解决新概念问题首先要确定新概念的定义或公式，将其当做一种规则和要求严格按照新概念的定义要求研究，再结合所学相关知识处理即可.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中，含的项的系数为________．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式中含的项即可得解.
【详解】由题意得的展开式的通项为，
所以的展开式中，含的项为，
所以展开式中含的项的系数为.
故答案为：.
13. 已知椭圆的右焦点和上顶点分别为F和A，连接并延长交椭圆C于B，若，则椭圆C的离心率为_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据面积比例关系得出点B的横坐标，点在直线AF上得出B的坐标，最后应用点B在椭圆上得出得出离心率.
【详解】
因为，所以，所以，
设，设直线，
点在直线上，所以，
点B在椭圆上，可得，
所以，即得.
故答案为:.
14. 设数列的前项和为．对任意恒成立，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据递推关系可得为等比数列，即可结合累加法求解，由等比求和公式得，即可代入不等式化简得，构造，作差得数列单调性，即可求解.
【详解】由，得，又，
所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列，所以，
则，
进而数列是以2为公比，1为首项的等比数列，可得，
不等式恒成立，
即．
设，则，
当时，，bn为递减数列，
所以，
所以，解得．
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 锐角的内角所对的边分别为，若，且，.
（1）求边的值；
（2）求内角的角平分线的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换运算求解可得，即可利用余弦定理求解或，利用锐角三角形即可得；
（2）利用等面积法，结合三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
因为，
由正弦定理可得：，
即，
又因为，则，可得，
又因为，所以．
由余弦定理可得，即，
则，解得：，或，
由于三角形为锐角三角形，故，故，进而只取，
故.
【小问2详解】
根据面积关系可得，
即，
解得：．
16. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，运用向量点到平面的距离公式计算即可；（2）先求出直线与平面所成的角，可通过向量法，求出平面的法向量，再根据向量的夹角公式求出直线与平面所成角的正弦值，最后根据三角函数关系求出余弦值.
【小问1详解】
因为，，，，底面为正方形，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，分别为，中点，所以，，
则，，，
设平面法向量为，
由，即，令，则，，所以，
则，，
根据点到平面的距离公式.
【小问2详解】
首先设平面的法向量，，，
由，即，令，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，，，
所以，
因为，所以，
则直线与平面所成角的余弦值.
17. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表：
（1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；
（2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为，求的分布列和数学期望；
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值.
参考公式及数据：，其中.
【答案】（1）依据的独立性检验，可认为参数调试与产品质量无关联
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）875
【解析】
【分析】（1）计算的值，将其与对应的小概率值比较即得；
（2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得；
（3）分析得出，利用二项分布概率公式得出再利用作商法分析得时，事件“”的概率最大.
【小问1详解】
零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联；
则，
故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立，
因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联；
【小问2详解】
依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中，
合格产品有件，不合格产品有2件，
而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有.
则.
故的分布列为：
则；
【小问3详解】
依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为，故，
则
由，
故由可解得，
因，故当时，单调递增；
由可解得，即当时，单调递减.
故当事件“”的概率最大时，.
【点睛】方法点睛：（1）计算卡方值，并与小概率值比较得出结论；（2）求随机变量的分布列关键在于判断满足的概率模型；（3）对于二项分布中概率最大值问题，一般考虑作商后分析判断商与1的大小即得.
18. 已知双曲线的实轴长为4，渐近线方程为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）双曲线的左､右顶点分别为，过点作与轴不重合的直线与交于两点，直线与交于点S，直线与交于点.
（i）设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值；
（ii）求的面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据双曲线性质计算即可；
（2）设直线l方程及坐标，联立双曲线方程，根据韦达定理得出纵坐标和积关系，（i）利用两点斜率公式消元计算即可；（ii）联立直线方程求出坐标，并求出，利用三角形面积公式及范围计算即可.
【小问1详解】
由题意知：，解得，双曲线方程为.
【小问2详解】
因为直线斜率不为0，设直线方程为，易知，
设，联立，得，
则，且，
（i）
；
（ii）由题可得：.
联立可得：，即，同理.
，
故，
且，
.
【点睛】关键点点睛：反设直线线并设点，联立双曲线方程后得出纵坐标的和积关系，为后面消元转化减轻计算量.
19. 已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数;二阶导函数，则称为I上的凸函数.若是区间I上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.若是区间I上的凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.已知函数，.
（1）试判断在为凹函数还是凸函数?
（2）设，，，，且，求的最大值;
（3）已知，且当，都有恒成立，求实数a的所有可能取值.
【答案】（1）凸函数 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据凹凸函数的定义判断即可；
（2）由（1）知在为凸函数，根据凸函数的性质结合题意即可求解；
（3）令，，则问题转化为hx>0在上恒成立，对分类讨论，结合导数的运算研究函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
，，
所以，f″x，
因为，所以f″x，
所以在为凸函数.
【小问2详解】
由（1）知在内为凸函数，
又，且（，，，），
所以
所以
【小问3详解】
令，，则hx>0在上恒成立，
则，且，
当，，不合题意舍去;
当，则，
故，
令，则
，
令，，则，
所以在上递增，所以，
所以，即在上递增，
又，则h'x>0，所以hx在上递增，
又，即hx>0，，符合题意;
当，令，则，，
所以，不合题意舍去，
综上，正整数a的取值集合为
【点睛】方法点睛：求解“新定义”题目，主要分如下几步：
（1）对定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；
（2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点；
（3）对定义中提取的知识进行提取和转换，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；如果新定义是性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特值排除.产品
合格
不合格
合计
调试前
45
15
60
调试后
35
5
40
合计
80
20
100
0.025
0.01
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
1
2
3