湖南师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学卷试题（Word版附解析）

这是一份湖南师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学卷试题（Word版附解析），文件包含湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学卷Word版含解析docx、湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
1. 若复数 ，则 （ ）
A. 1 B. 5 C. D.
2. 已知一组数据 的平均数为 16，则这组数据的第 60 百分位数为（ ）
A. 17 B. 16.5 C. 16 D. 15.5
3. 若 为直线， 为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C 若 ，则 D. 若 ，则
4. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为 0.6，乙中靶的概率为 0.7，且两人是否中靶相互
独立，若甲、乙各射击一次，则（ ）
A. 两人都中靶的概率为 0.12 B. 两人都不中靶的概率为 0.42
C. 恰有一人中靶的概率为 0.46 D. 至少一人中靶的概率为 0.74
5. 若 ， 是非零向量且满足 ， ，则 与 的夹角是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，且 ，则 等于（
）
A. 2 B. 3 C. D.
7. 由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为 30°，腰长为 2，如图，那么
它在原平面图形中，顶点 B 到 x 轴的距离是（ ）
第 1页/共 5页
A. B. 2 C. D.
8. 在高为 正四棱台 中， ， ，则此四棱台的外接球的表面积是（
）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．）
9. 已知样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体，它们的 6 个样本如图所示，甲绘制折线图时忘记标注样本数
据，则（ ）
A. 样本 A 的极差小于样本 B 的极差
B. 样本 A 的中位数等于样本 B 的中位数
C. 样本 A 的平均数小于样本 B 的平均数
D. 样本 A 的方差小于样本 B 的方差
10. 有 6 个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件 A 表示“第一次
取出的球的数字是偶数”，事件 B 表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件 C 表示“两次取出的球的
数字之和是偶数”，则（ ）
A. A 与 B 为互斥事件 B.
C. D. B 与 C 相互独立
11. 下列命题正确的是（ ）
A. 在 中， ，则 的形状一定是直角三角形
第 2页/共 5页
B. 若 A，B，C，D 四点在同一条直线上，且 ，则
C. 平行四边形 ABCD 中，若 ，则四边形 ABCD 是矩形
D. 在 中，若 ，则 P 点的轨迹经过 的内心
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．）
12. 直线 l 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若直线 平面
，则 x 的值为______.
13. 底面边长为 8 的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 4，高为 5 的正三棱锥，所
得棱台的体积为______．
14. 如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，以 AB 为
直径的圆弧 在平面 PAB 内，点 D 是三角形 PAB 内圆弧 上（不含边界）的动点，则三棱锥
的体积最大值是______，异面直线 CD 与 AB 所成角的余弦值范围是______．
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 的内角 A､B､C 的对边分别为 a､b､c，已知 ．
（1）求 B；
（2）若 ， ，求 的面积．
16. 某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了 100 名学生的成绩组成样本，并将
得分分成以下 6 组： ， ， ，……， ，统计结果如图所示：
第 3页/共 5页
（1）试估计这 100 名学生得分的众数、中位数；（中位数保留小数点后 2 位）
（2）试估计这 100 名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（3）现在按分层抽样的方法在 和 两组中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2 人参加这次
竞赛的交流会，求至少有一人在 的概率.
17. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共 4 个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是 ，
得到黄球或蓝球的概率是 .
（1）求盒中红球、黄球、蓝球 个数；
（2）随机试验：从盒中有放回 取球两次，每次任取一球记下颜色.
（i）写出该试验的样本空间 ；
（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，
请说明理由.
18. 正方体 的棱长为 4， 分别为 中点， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（3）求三棱锥 的体积．
19. 已知函数 的图象关于直线 对称．其最小正周期与函
数 相同．
第 4页/共 5页
（1）求 的对称中心，
（2）若函数 在 上恰有 8 个零点，求 最小值；
（3）设函数 ，证明： 有且只有一个零点 ，且
．