湖南省长沙市浏阳市2024-2025学年高一下学期期末质量监测数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求.
1. 设复数 ，则 的虚部是（ ）
A. B. 3 C. 2 D.
2. 已知点 ， ， ，若 ，则 m 的值为（ ）
A B. C. 1 D. 3
3. 设 ， 是两个平面， ， 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ， ， ，则 B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则
4. 已知非零向量 满足 ，且向量 在向量 上的投影向量为 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 把 按斜二测画法得到 ，如图所示，其中 ， ，那么 是
一个（ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 三边互不相等的三角形
6. 某市 6 月 1 日至 14 日的空气质量指数变化趋势如图所示，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空
气质量指数大于 200 表示空气重度污染，下列说法中不正确的是（ ）
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A. 该市 14 天空气质量指数 中位数为 78.5
B. 该市 14 天空气质量指数的第 30 百分位数为 55
C. 该市 14 天空气质量指数的平均值大于 100
D. 计算连续 3 天空气质量指数的方差，其中 6 日到 8 日的方差最大
7. 在 中， ， ， ，D 为 AB 的中点，P 为 CD 上一点， 且
，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 如图，扇形的半径为 ，圆心角 ，点 在弧 上运动， ，则
的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列有关复数内容表述正确的是（ ）
A. 若复数 满足 ，则 一定为纯虚数
B. 对任意的复数 均满足：
C. 设在复数范围内方程 的两根为 ， ，则
D. 对任意两个复数 ， ，若 ，则 ， 至少有一个为
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10. 已知在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则（ ）
A. 的周长为 12 B. 角 的最大值为
C. 的面积最小值为 D. 的面积最大值为
11. 如图，正三棱台 的上、下底面边长分别为 和 ，侧棱长为 ，则下列说法正确的是（
）
A. 该三棱台的体积为
B. 若点 在棱 上，则 的最小值为
C. 该三棱台内半径最大球的体积为
D. 若过点 平面 与平面 平行，则平面 截该三棱台所得的截面面积为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示(单位：cm)，则此几何体的表面积为______cm2．
13. 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示．
赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500
车辆数/辆 600 80 110 120 90
若每辆车 投保金额均为 2500 元，估计赔付金额大于投保金额的概率为______；在样本车辆中，车主是新
司机的占 15%，在赔付金额为 4500 元的样本车辆中，车主是新司机的占 30%，估计在已投保的新司机中，
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获赔金额为 4500 元的概率为______．
14. 如图：在正方体 中，棱长为 1， 为 中点， 与平面 交于点 ，点
是棱 上一点， 在正方体的表面上运动，且满足 ，则下列说法正确的是________.
① 为 的中点；
②点 可以是 的中点；
③当 是 的中点时，点 面 ；
④线段 的最大值为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数 ， ．
（1）若 z 是纯虚数，求 m 的值；
（2）若 z 在复平面内对应的点在直线 上，求 m 的值；
（3）若 z 在复平面内对应的点在第四象限，求 m 的取值范围．
16. 某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中 10 环、中 8 环或 9 环、中 6 环或 7 环、其他情况，
分别评定为 A，B，C，D 四个等级，各等级依次奖励 2 分、奖励 0 分、罚 2 分、罚 4 分．假设评定为等级
为 A，B，C 的概率分别是 ， ， ．
（1）若某射击选手射击一次，求其被罚分的概率；
（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为 0 分的概率．
17. 某教育集团高一期末考试，从全集团的政治成绩中随机取 100 名学生的原始成绩（满分 100 分）进行分
析，其频率分布直方图如图所示：
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（1）求图中 的值；
（2）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在 和 内的学生中共抽取 6 人查看他们的答题情
况，再从中选取 2 人进行个案分析，求这 2 人中恰有一人原始成绩在 内的概率；
（3）已知落在 的平均成绩 ，方差 ，落在 的平均成绩 ，方差
，求落在 的平均成绩 ，并估计落在 的成绩的方差 .
18. 如图，四棱锥 的底面 是正方形，侧面 是等边三角形，平面 平面
， 为 的中点.
（1）求证： 平面
（2）求侧面 与底面 所成二面角的余弦值.
19. “费马点”是由法国数学家费马提出的一个问题．该问题是：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角
形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答．当 的三个内角均小于 120°时，
使得 的点 O 即为费马点；当 内有一个内角大于或等于 120°时，最
大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 的内角 所对的边分别为 ，
且 ．
（1）求 A；
（2）若 ， 的面积为 ，求 ；
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（3）若 ，设点 P 为 的费马点．求 ．