五年（2021-2025）高考数学真题分类汇编：专题12 数列（解答题）9种常见考法归类（全国通用）（原卷版）

这是一份五年（2021-2025）高考数学真题分类汇编：专题12 数列（解答题）9种常见考法归类（全国通用）（原卷版），共8页。试卷主要包含了设等差数列的公差为，且，已知数列的前n项和为，，且.，记为数列的前n项和等内容，欢迎下载使用。

考点01等差等比数列基本量的计算
1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
2．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
4．（2021·浙江·高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
5．（2024·上海·高考真题）若．
(1)过，求的解集；
(2)存在使得成等差数列，求的取值范围．
考点02等差等比数列的证明
6．（2021·全国乙卷·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
7．（2021·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知，且数列是等差数列，证明：是等差数列.
8．（2022·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
9．（2021·全国甲卷·高考真题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
10．（2021·上海·高考真题）已知数列满足，对任意，和中存在一项使其为另一项与的等差中项
（1）已知，，，求的所有可能取值；
（2）已知，、、为正数，求证：、、成等比数列，并求出公比；
（3）已知数列中恰有3项为0，即，，且，，求的最大值.
11．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
12．（2022·上海·高考真题）数列对任意，且，均存在正整数，满足.
(1)求可能值；
(2)命题p：若成等差数列，则，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由：
(3)若成立，求数列的通项公式.
考点03含绝对值的数列求和
13．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
考点04分组求和法
14．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
15．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
16．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
考点05裂项相消法求和
17．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
考点06错位相减法求和
18．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
19．（2025·全国一卷·高考真题）设数列满足，
(1)证明：为等差数列；
(2)设，求．
20．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，．
(1)求，的通项公式；
(2)，，有，
（i）求证：对任意实数，均有;
（ii）求所有元素之和．
21．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
22．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．
(1)求的通项公式及；
(2)设数列满足，其中．
（ⅰ）求证：当时，求证：；
（ⅱ）求．
23．（2021·全国乙卷·高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
24．（2021·天津·高考真题）已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
考点07等差、等比数列的综合
25．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
26．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
考点08数列与其他知识的综合
27．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)若，求；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；
(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.
28．（2023·上海·高考真题）令，取点过其曲线作切线交y轴于，取点过其作切线交y轴于，若则停止，以此类推，得到数列．
(1)若正整数，证明；
(2)若正整数，试比较与大小；
(3)若正整数，是否存在k使得依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值，若不存在，试说明理由．
29．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
考点09数列新定义
30．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
31．（2024·北京·高考真题）已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．
(1)给定数列和序列，写出；
(2)是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；
(3)若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．
32．（2023·北京·高考真题）已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定．对于，定义，其中，表示数集M中最大的数.
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)证明：存在，满足 使得．
33．（2022·北京·高考真题）已知为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的，在Q中存在，使得，则称Q为连续可表数列．
(1)判断是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
(2)若为连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若为连续可表数列，且，求证：．
34．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列满足如下三个性质，则称为数列：
①，且；
②；
③，．
（1）如果数列的前4项为2，-2，-2，-1，那么是否可能为数列？说明理由；
（2）若数列是数列，求；
（3）设数列的前项和为.是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．
知识
五年考情（2021-2025）
命题趋势
知识1 等差等比数列基本量的计算及证明
（5年5考）
考点01等差等比数列基本量的计算
2024·上海2023·新课标Ⅰ卷
2022·新高考全国Ⅱ卷
2021·新高考全国Ⅱ卷 2021·浙江
1.等差等比数列基本量的计算是必考内容，要求学生熟练掌握数列的通项公式、前n项和公式等基础知识，能够运用方程思想，通过已知条件建立关于首项、公差、公比等基本量的方程或方程组并求解。
2.数列求和是解答题的重点，分组求和法、裂项相消法、错位相减法等求和方法频繁考查，要求学生能够根据数列的通项公式特征，选择合适的求和方法。
3.数列与其他知识的综合考查愈发常见，这不仅要求学生掌握数列本身的知识，还需具备良好的知识迁移能力和综合运用能力，能够从整体上把握数学知识体系。
考点02等差等比数列的证明
2022·全国甲卷2022·上海2022·浙江
2021·全国甲卷2021·全国乙卷2021·上海
知识2 数列求和
（5年5考）
考点03含绝对值的数列求和
2023·全国乙卷
考点04分组求和法
2024·全国甲卷 2023·新课标Ⅱ卷
2021·新高考全国Ⅰ卷
考点05裂项相消法求和
2022·新高考全国Ⅰ卷
考点06错位相减法求和
2025·全国一卷2025·天津2024·天津
2024·全国甲卷2023·全国甲卷 2021·全国乙卷
2021·天津
知识3 数列综合
（5年5考）
考点07等差、等比数列的综合
2023·天津 2022·天津
考点08数列与其他知识的综合
2024·新课标Ⅱ卷 2023·上海 2023·新课标Ⅰ卷
考点09数列新定义
2024·新课标Ⅰ卷 2024·北京 2023·北京
2022·北京 2021·北京