重庆市第八中学校2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份重庆市第八中学校2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A．1B．C．D．
2．如图是一个正方体的展开图，则与“争”字一面相对的字是（ ）
A．开B．忠C．先D．勇
3．若点和点在同一个反比例函数的图像上，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
4．估计的值应在（ ）
A．6和7之间B．7和8之间C．8和9之间D．9和10之间
5．如图，与是以为位似中心的位似图形，若已知，的面积为，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
6．若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（ ）
A．2B．C．D．2或0
7．已知某市2022年工业碳排放总量为1000万吨，为响应国家“双碳”目标，该市通过技术升级，2024年的工业碳排放总量降至810万吨．若设年平均减少率为，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在中，，，，为中点．分别以为半径作弧，与分别交于、两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在正方形中，点在边上，，作平分交于点，则的长是（ ）
A．8B．7C．6D．5
10．三个不完全相同的正整数，记为，进行如下操作：将其中最大的数减去2，另两个数分别加上1，得到对应的三个新数，第一次操作的结果记为，若有两个相等的最大数，则取最后面的最大数减2，另两个数分别加1；将按上述方式再做一次操作，得到第二次操作的结果；以此类推，直到时，停止操作．例如，当时，则，，即第三次操作后停止．下列说法：
①当时，经过4次操作后停止；
②当时，；
③当，、、三个数互不相同且极差为18时，则至少会经过7次操作才有可能停止．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．计算： ．
12．如图，在中，于点，交于点，，则 ．
13．有四个分别标有的小球，它们除数字不同外其余都相同，现将它们放入一不透明的口袋中，摇匀后从中抽取两个，将球上的数字记为和，则的概率是 ．
14．若关于的不等式组有解且最多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ．
15．如图，为的直径，于点，过点作交的切线于点，交于点，交于点，已知，则 ， ．
16．一个三位自然数，其个位上的数字比十位上的数字大2，称为“不二数”；则最小的“不二数”是 ．一个“不二数”十位上的数字和个位上的数字组成的两位数是两个连续的奇数或者偶数的乘积，将个位数字与百位数字的平方差记作，十位数字与百位数字的差记作，并规定，当为偶数时，则满足条件的“不二数”的最大值与最小值之差为 ．
三、解答题
17．（1）计算：
（2）解不等式组
18．先化简再求值：，其中是从，0，2中选取的一个合适的数．
19．教育部“双减”政策要求各校减少课后作业量，某学习小组为了解本校“双减”的落实情况，决定对本校学生每天完成课后作业所用时间（单位：分钟）进行调查，他们分别从八年级、九年级各随机抽取了15名同学进行了问卷调查，并将询查结果分为四个等级：．下面给出了部分信息：
抽取的八年级学生在组的数据是：62，65，78，78，82，85，88
抽取的九年级学生的数据分别是：
32，51，60，62，70，70，75，85，85，85，90，92，95，98，105
八、九年级所抽学生课后作业时间统计表
八年级所抽学生课后作业时间条形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图，并填空：___________，___________；
(2)根据以上数据，你认为哪个年级的“双减”工作落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校八、九年级共有1600名学生，请估计该校八、九年级学生每天完成课后作业时间不超过90分钟的总人数．
20．如图，在中，点是上的一点，连接．
(1)用尺规作图，完成以下基本作图：做，交于点，连接交于点，连接交于点．
(2)在（1）问所求作的图形中，求证：四边形是平行四边形．
证明：在中，，
___________①___________，
，
，
___________②___________，
四边形是平行四边形，
，
，
___________③___________，
，
四边形是平行四边形，
___________④___________，
，
四边形是平行四边形．
在以上探究过程中，证明四边形是平行四边形时，发现了用边和角的关系也可以判定一个四边形是平行四边形，即：___________⑤___________的四边形是平行四边形．
21．合川桃片有香甜味和椒盐味两种类型，五一将至，小新打算购买若干袋香甜味桃片和椒盐味桃片．
(1)小新花费4300元购买了40袋香甜味桃片和50袋椒盐味桃片，已知10袋香甜味桃片和9袋椒盐味桃片的售价相同，求每袋香甜味桃片和椒盐味桃片的售价分别是多少元？
(2)由于市场供不应求，香甜味和椒盐味桃片的价格均有上涨，其中每袋香甜味桃片的售价是每袋椒盐味桃片售价的1.2倍，小新分别花费了2400元、3600元购买香甜味桃片和椒盐味桃片，一共购买了100袋，求每袋椒盐味桃片的售价．
22．如图1，在矩形中，．动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动．动点以每秒0.5个单位长度从点出发，沿方向运动，两点同时停止运动．点为直线上的动点，满足．设点的运动时间均为秒（），记的面积为，点到的距离为．
(1)请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
23．如图，是某动物园入口，是入口附近的三个展区．小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了米到展区，在展区参观分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区，小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：，，）
(1)求的长度；（结果精确到米）
(2)已知小明的平均速度为米分钟，小华的平均速度为米分钟，，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到）
24．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，其中点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，交于点．点，连接，点为直线上的动点，且满足．当周长最大时，求此时点的坐标以及的最小值；
(3)在（2）问条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一动点，连接，当时，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点的求解过程．
25．在中，，点为平面内一点，连接、，点为中点，连接．
(1)如图1，点在边上，若，求的度数（用含的代数式表示）；
(2)如图2，点在内，连接，若，求证：；
(3)如图3，，点在内且，当取最小值时，把沿着翻折到的同一平面得到，请直接写出四边形的面积．
《2025年重庆市第八中学校中考一模数学试题》参考答案
1．B
解：因为，
所以，四个数中，最小的数是．
故选：B．
2．D
解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“争”字与“勇”字相对，
故选：．
3．A
解：对于反比例函数，
其图像在第一、三象限，且在每个象限中有y随x的增大而减小，
又∵点和点都在该反比例函数的图像上，且，
∴．
故选：A．
4．B
解：，
则，
∵，
∴，
∴，
故选：B
5．D
解：∵与是以为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∵的面积为，
∴的面积为，
故选：．
6．A
解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：A．
7．B
解：设年平均减少率为，由题意可得，
故选：B．
8．B
解：∵，，，
∴，，
∵为中点，
∴，
∵分别以为半径作弧，与、分别交于、两点，
∴图中阴影部分的面积
．
故选：B．
9．C
解：如图，过点作于点，交于点，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
在中，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．C
解：当时，
第一次操作：最大数为9（最后一位），操作后得到；
第二次操作：最大数为10，操作后得到；
第三次操作：最大数为8（最后两位），操作后得到；
第四次操作：最大数为9，操作后得到，满足，停止．故①正确．
②当时，
第一次操作：最大数为11，操作后得到；
第二次操作：最大数为9，操作后得到；
第三次操作：最大数为9，操作后得到；
第四次操作：最大数为8，操作后得到；
第五次操作：最大数为8，操作后得到；
后续规律：操作进入循环，周期为3，
，对应循环中的第一个状态，故②错误．
当极差为18时：当，极差为，
每次操作：若最大数不同，极差减少3；若最大数相同，极差不变．
极差变化：至少需次操作使极差变为0，此时．
故至少经过7次操作才有可能停止，故③正确；
故选：C．
11．/
解：．
故答案为：．
12．/70度
解：，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
13．
解：根据题意，作出列表如下，
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中两数相乘结果小于等于0的结果有10种，
所以，的概率是．
故答案为：．
14．
解：，
由①得：，
由②得：，
∵关于的不等式组有解，
∴，
不等式组有解且最多有4个整数解，
，
解得：，
∵，
分式方程去分母得：，
解得：，且，
分式方程的解为整数，
或或1或，
则满足题意整数之和为．
故答案为：
15． 10 /
解：如图，连接,过点作,交的延长线于点，
∵为的直径，，
∴，
假设，则，由勾股定理得，
,
即，
解得，
，；
∵是的切线，
，
又∵,
，
∵，
,
,
即,
解得，
，
，
假设，由勾股定理得，
，
即，
解得，
∴；
故答案为：10，．
16． 102 600
解：由题意得，最小的“不二数”是102．
设m的百位数字为h，十位数字是t，
当时，两位数是13，不符合题意；
当时，两位数是，连续偶数，符合题意，此时；
当时，两位数是，连续偶数，符合题意，此时；
同理可求，当时，所得两位数均不符合题意．
当时，，
，
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，不是整数，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，不是整数，不符合题意；
∴．
当时，，
，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
∴或或，
∴满足条件的“不二数”的最大值与最小值之差为．
故答案为：102；600．
17．（1）；（2）
解：（1）
（2）
解不等式①得，
解不等式②得，
原不等式组的解集是．
18．；0
解：原式，
，
，
且，
当时，原式，
19．(1)
(2)八年级，见解析
(3)人
（1）解：八年级组人数为人，
补全统计图如下，
根据题意得抽取的九年级学生的数据排在第位的是，
，
抽取的九年级学生的数据中最多，有个，
，
故答案为：；
（2）解：我认为八年级的双减工作落实得更好，
八年级的课后作业时间中位数82小于九年级的课后作业时间中位数85；
（3）解：人
答：估计该校八、九年级学生每天完成课后作业时间不超过90分钟的总人数约为1120人
20．(1)见解析
(2)①；②；③；④；⑤一组对边平行，一组对角相等
（1）解：如图，即为所求作的角．
（2）证明：在中，，
①，
，
，
②，
四边形是平行四边形，
，
，
③，
，
四边形是平行四边形，
④，
，
四边形是平行四边形．
在以上探究过程中，证明四边形是平行四边形时，发现了用边和角的关系也可以判定一个四边形是平行四边形，即：⑤一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
21．(1)每袋香甜口味桃片45元，每袋椒盐口味桃片50元
(2)56元
（1）设每袋香甜口味桃片元，每袋椒盐口味桃片元，
根据题意得：，
解得．
答：每袋香甜口味桃片45元，每袋椒盐口味桃片50元；
（2）解：设每袋椒盐口味桃片元，
根据题意得：
解方程得：，
经检验：为原方程的解．
答：每袋椒盐口味桃片56元．
22．(1)；；
(2)见解析；当时随的增大而增大，当时随的增大而减小
(3)
（1）解：当时，作于点，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，如图，
∵，∴，
综上，；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：列表：
描点，连线，作出函数图象如下：
函数的一条性质：当时随的增大而增大，当时随的增大而减小；
（3）解：当时的取值范围：．
23．(1)米
(2)小华先到
（1）解：过点作于点，则，
由题意得：，米，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∴，即，
∴米，
∴（米），
∴（米），
答：的长度约为米；
（2）解：如图，过点作延长线于点，
在中，，米，
∴米，
在中，，（米），
∴（米），
在中，，（米），
∴（米），（米），
∴米，
∴小明所花时间：（秒），小华所花时间：（秒），
∵，
∴小华先到达展区．
24．(1)
(2)点的最小值为
(3)横坐标或
（1）解：抛物线与轴交于，两点，交轴于点，
当时，，
∴，
，
，
，
∵，，
∴，
，
∴，，
设，
过点，
∴，
解得，，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
，
，
设，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
最大时，的周长最大，
∵点是直线上方抛物线上的一动点，
设，
，
，
∴关于的函数图象开口向下，有最大值，当时，有最大值，
∴，
∴此时点，
，
轴，作点关于的对称点，连接，将水平向右移动一个单位得到，则点与点重合，当三点共线时，最小，即的值最小，
则，，且，
∴，即的最小值为，
∴的最小值，
综上：点的最小值为；
（3）解：横坐标为或，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度到点，即，过点作轴于点，如图所示，则，
∵，
∴，
∵，
解得，，
∴，
∴，，
∴抛物线沿射线方向平移个单位长度，即顶点坐标向左平移一个单位长度，向下平移的单位，
∵抛物线的解析式为，
∴平移后的解析式为，
整理得，，
如图所示，过点作轴于点，
∵，
∴，则是的垂直平分线，
∴，即是等腰三角形，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
如图所示，当抛物线上点在上点处时，令，，
解得，，
此时点为抛物线的右交点，舍去，
故此时点的横坐标为；
当抛物线上点在点处时，作关于对称的，连接交于点，过点作轴于点，则垂直平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴，
整理得，，
解得，，，
根据图象可知此时点是直线与新抛物线的左交点可知：不符合题意，舍去，
∴；
综上所述，横坐标或．
25．(1)
(2)见解析
(3)
（1）解：∵，，
∴
∴，
∵点为中点，
∴，
∴，
∴；
（2）如下图，延长至点，使得，连接，在上取点，使得，
∵，点为中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如下图，取中点，连接，
∵点为中点，点为中点，，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹在以为直径的圆上，
设中点为，当三点共线时，取最小值，
此时，连接，过点作于点，过点作于点，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵把沿着翻折到的同一平面得到，
∴，
∵，
∴四边形的面积．
年级
八年级
九年级
平均数
77
77
中位数
85
众数
78
0
1
2
3
5
6
8
0
6
0
6
3
2
1