2025年广东省中考数学试卷（含答案）

这是一份2025年广东省中考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某品牌乒乓球产品质量参数是2.74g±0.02g，如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作+0.02g，那么低于标准质量0.02g记作( )
A. −0.02gB. +0.02gC. −0.04gD. +0.04g
2.依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案(2024−2026年)》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元.数据3000亿用科学记数法表示为( )
A. 3×109B. 3×1010C. 30×1010D. 3×1011
3.计算 12× 3的结果是( )
A. 3B. 6C. 6D. 2 6
4.如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是( )
A. B.
C. D.
5.如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF=( )
A. 20° B. 40°
C. 70° D. 110°
6.某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95.这组数据的中位数、众数分别是( )
A. 92，94B. 95，95C. 94，95D. 95，96
7.广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为( )
A. 2500(1+x)2=9100B. 2500(1−x)2=9100
C. 2500(1−2x)2=9100D. 2500(1+2x)2=9100
8.在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y(W⋅ℎ)与骑行里程x(km)之间的关系如图.当电池剩余能量小于100W⋅ℎ时，摩托车将自动报警.根据图象，下列结论正确的是( )
A. 电池能量最多可充400W⋅ℎB. 摩托车每行驶10km消耗能量300W⋅ℎ
C. 一次性充满电后，摩托车最多行驶25kmD. 摩托车充满电后，行驶18km将自动报警
9.如图，在直径BC为2 2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为( )
A. 15
B. 14
C. 13
D. 12
10.如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG.若AB=8，BC=12，则tan∠GCF的值是( )
A. 1010B. 13C. 3 1010D. 23
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：a2b+ab2= ______．
12.如图，把△AOB放大后得到△COD，则△AOB与△COD的相似比是______．
13.不解方程，判断一元二次方程2x2+x−1=0的根的情况是______．
14.计算20−2sin30°的结果是______．
15.已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点(c,0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是______.(写出一个即可)
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
在解分式方程1−xx−2=12−x−2时，小李的解法如下：
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确.若不正确，请写出你的解答过程．
17.(本小题7分)
如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D.求证：AD平分∠BAC．
18.(本小题7分)
如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．
19.(本小题9分)
如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点A，C分别作AE/​/DC，CE/​/AB，AE与CE相交于点E.现有以下命题：
命题1：若连接BE交CA于点F，则S△CFB=2S△CEF．
命题2：若连接ED，则ED⊥AC．
命题3：若连接ED，则ED=BC．
任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．
20.(本小题9分)
2025年2月，广东省教育厅发布《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》.某校为更好地落实文件精神并了解学生参加体育活动的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行处理.部分信息如下：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求参与这次问卷调查的学生人数．
(2)估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数．
(3)基于上述两项调查的数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议．
21.(本小题9分)
综合与实践
【阅读材料】
如图1，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则有asinA=bsinB=csinC.这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题．
【问题提出】
万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离.由于地形原因，无法利用洲距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究．
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度)．
测量过程：
步骤1：如图2，在空旷地找一点C；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m，AC≈388.5m．
【问题解决】
(1)请你利用【阅读材料】中的结论计算A，B两岛间的距离．
(参考数据：sin43°≈0.682，sin51°≈0.777，sin86°≈0.998)
【评价反思】
(2)设计其他方案计算A，B两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识．
22.(本小题13分)
《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”.如表中的每一组数都是勾股数．
(1)请补全如表中的勾股数．
(2)根据如表中数据规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．
(3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m.如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
23.(本小题14分)
定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点．
(1)如图1，点P是线段MN的中外比点，MP>PN，MN=2，求PN的长．
(2)如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比.(保留作图痕迹，不写作法)
(3)如图3，动点B在第一象限内，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D，E，与对角线OB相交于点F.当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F是否分别为AB，BC，OB的中外比点，并证明．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.C
5.C
6.B
7.A
8.C
9.D
10.B
11.ab(a+b)
12.1：3
13.方程有两个不相等的实数根
14.0
15.y=−x2+x+2(答案不唯一)
16.解：小李的解法中，第一步是去分母；
去分母的依据是：等式的基本性质；
小李的解答过程不正确；
正确的解答过程：
1−xx−2=12−x−2，
去分母，得1−xx−2⋅(x−2)=−1x−2⋅(x−2)−2(x−2)，整理，得1−x=−1−2x+4，
移项并合并，得x=2．
检验：当x=2时，x−2=0．
∴原分式方程无解．
17.证明：连接OD，如图，
∵以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵∠ABC=90°，
∴OD//AB，
∴∠ODA=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠BAD=∠OAD，
∴AD平分∠BAC．
18.解：建立平面直角坐标系，如图所示：
则抛物线顶点坐标为(0,0.0015)，A(1.72,0.27−0.09)，
即A(0.85,0.18)，
设该抛物线的表达式为y=ax2+0.0015，
将A(0.85,0.18)代入y=ax2+0.0015，
得0.18=0.852a+0.0015，
解得a=2185，
∴该抛物线的表达式为y=2185x2+0.0015．
19.解：命题1：若连接BE交CA于点F，
则S△CFB=2S△CEF命题1是真命题，
证明如下：连接DE，交AC于O，
如图所示：
，
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=DA=DB=12AB，
∵AE//DC，CE//AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵DA=DC，
∴四边形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE，且OA=OC，OE=OD，
∵D为AB的中点，
∴DO是△ABC的中位线，
则OD=12BC，
∴S△CFB=12CF⋅BC，S△CEF=12CF⋅OE，则S△CFB=22S△CEF；
命题2：若连接ED，则ED⊥AC．
命题2是真命题，证明如下：连接DE，交AC于O，
如图所示：
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=DA=DB=12AB，
∵AE//DC，CE//AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵DA=DC，
∴四边形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE；
命题3：若连接ED，则ED=BC．
命题3是真命题，证明如下：连接DE，交AC于O，
如图所示：
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=DA=DB=12AB，
∵AE//DC，CE//AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴CE=AD，
∴CE=DB，
∵CE//AB，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴ED=BC．
20.(1)35÷17.5%=200(人)，
答：参与这次问卷调查的学生人数为200人；
(2)1000×37.5%=375(人)，
答：估计该校1000名学生中每天参加体育活动时间不低于两小时的学生人数为375人；
(3)由调查可知，大部分同学每天参加体育活动时间低于两小时，建议学校多提供一些球场等活动场所，多提供学生活动时间．(言之有理即可)
21.(1)∵∠A≈43°，∠B≈51°，
∴∠C=180°−∠A−∠B≈180°−43°−51°=86°，
由题意得，BCsinA=ABsinC，
又∵BC≈341m，
∴AB=BCsinCsinA=BCsin86°sin43∘≈341×，
答：A，B两岛间的距离为499m；
(2)工具：测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度)．
测量过程：步骤1：如图，在空旷地找一点C，使得△ABC是锐角三角形；
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的度数；
步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得BC=a m，AC=b m．
计算过程：过点A作AD⊥BC，则∠ADC=∠ADB=90°，
∵在Rt△ACD中，sinC=ADAC，csC=CDAC，
∴AD=bsinC(m)，CD=bcsC(m)，
∴BD=BC−CD=(a−bcsC)(m)，
∵在Rt△ACD中，AD2+BD2=AB2，
∴AB= (bsinC)2+(a−bcsC)2(m)，
答：A，B两岛间的距离为 (bsinC)2+(a−bcsC)2m⋅
22.(1)由表中勾股数的规律可知，令a=10，b，c=26，
则由勾股数定义可知a2+b2=c2，即102+b2=262，
∴b2=262−102=(26+10)(26−10)=36×16，
解得b=24或b=−24(舍去)；
故答案为：24；
(2)令n为正整数，则由表中规律可知，表中第一行、第三行中a为奇数：a=2n+1，则b=2n(n+1)，c=2n(n+1)+1，
证明如下：
∵a2=(2n+1)2，b2=[2n(n+1)]2，c2=[2n(n+1)+1]2，
∴c2−b2=[2n(n+1)+1]2−[2n(n+1)]2
={[2n(n+1)+1]+[2n(n+1)]}{[2n(n+1)+1]−[2n(n+1)]}
=4n(n+1)+1
=4n2+4n+1
=(2n+1)2
=a2，
表中第二行、第四行中a为偶数：a=2n，则b=n2−1，c=n2+1，
证明如下：
∵a2=4n2.b2=(n2−1)2，c2=(n2+1)2
∴c2−b2=(n2+1)2−(n2−1)2
=[(n2+1)+(n2−1)][(n2+1)−(n2−1)]
=2n2×2=(2n)2=a2；
(3)查表可以知道他的最短是20 21 29这个勾股数，
一个直角三角形三条边的长度之和为20+21+29=70米，
因为图案是由四个全等的直角三角形组成，
所以需要种花70×4=280株．
23.(1)设PN=x，则MP=MN−PN=2−x，
根据题意，得：MNMP=MPPN，即22−x=2−xx，
整理，得：x2−6x+4=0，解得：x1=3+ 5，x2=3− 5，
∵3+ 5>2，
∴x1=3+ 5舍去，
∴PN=3− 5；
(2)如图所示，点C为所求．
设BD=x，
∴根据题意，得：AD=BD=BF=FG=x，AB=2x，
∴AF= AB2+BF2= (2x)2+x2= 5x，
∴AG=AC=x 5−x=( 5−1)x，BC=AB−AC=2x−( 5−1)x=(3− 5)x，
∵ABAC=2x( 5−1)x= 5+12，ACBC=( 5−1)x(3− 5)x= 5+12，
∴ABAC=ACBC，
∴点C为线段AB的中外比点．
(3)当△ODE是等腰三角形时，点D、E、F分别为AB，BC，OB的中外比点，理由如下：
第一种情况：当△OED=90°，则OE=ED，
∴∠OEC+∠DEB=90°，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCE=∠EBD=90°，
∴∠COE+∠OEC=90°，
∴∠COE=∠DEB，
∴△COE≌△BED(AAS)，
设点E(m,n)，
∴OC=EB=n，CE=BD=m，则D(m+n,n−m)，
∵点D、E在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，
得：km=n①km+n=n−m②，
由①得：k=mn，将其代入②，得：mnm+n=n−m，
整理，得：n2−mn−m2=0，
解得：n=m± (−m)2−4×1×(−m2)2=m±m 52，
∴n1=1+ 52m,n2=1− 52m(舍去)，
∴E(m,1+ 52m)，D(3+ 52m, 5−12m)，B(3+ 52m,1+ 52m)，
∴BE=1+ 52m，CE=m，BC=3+ 52m，BD=m，AD= 5−12m，AB=1+ 52m，
∵BE2=(1+ 52m)2=3+ 52m2，BC⋅CE=3+ 52m⋅m=3+ 52m2，BD2=m2，AB⋅AD=1+ 52m⋅ 5−12m=m2，
∴BCBE=BECE，ABBD=BDAD，
∴点E、D为BC、AB的中外比点．
∵点E在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，E(m,1+ 52m)，
∴k=mn=1+ 52m2，
∴反比例函数为y=1+ 52m2x，
∵B(3+ 52m,1+ 52m)，
设直线OB的函数解析式为y=ax(a≠0)，
将点B(3+ 52m,1+ 52m)，O(0,0)代入，得：a= 5−12，
∴直线OB的函数解析式为y= 5−12x，
联立方程组y= 5−12xy=1+ 52m2x，
解得：x= 5+12my=m，
∴F( 5+12m,m)，
∴OBOF=OFBF，
∴点F为OB的中外比点．
第二种情况：当∠ODE=90°，则OD=DE，
∴∠ODA+∠EDB=90°，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAD=∠EBD=90°，
∴∠ODA+∠DOA=90°，
∴∠EDB=∠DOA，
∴△OAD≌△DBE(AAS)，
设点D(a,b)，
∴OA=DB=a，AD=BE=b，则E(a−b,a+b)，
∵点D、E在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，
得：ka=b①ka−b=a+b②，
由①得：k=ab，将其代入②，得：aba−b=a+b，
整理，得：b2+ab−a2=0，
解得：b=−a± a2−4×1×(−a2)2=−a± 5a2，
∴b1=−1+ 52a，b2=−1− 52a(舍去)，
∴D(a, 5−12a)，E(3− 52a, 5+12a)，B(a,1+ 52a)，
∴BE= 5−12a，CE=3− 52a，BC=a，BD=a，AD= 5−12a，AB=1+ 52a，
∴BCBE=BECE，ABBD=BDAD，
∴点E、D为BC、AB的中外比点．
∵点E在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，E(3− 52a, 5+12a)，
∴k=ab= 5−12a2，
∴反比例函数为y= 5−12a2x，
∵B(a,1+ 52a)，
设直线OB的函数解析式为y=gx(g≠0)，
将点B(a,1+ 52a)，O(0,0)代入，得：g= 5+12，
∴直线OB的函数解析式为y= 5+12x，
联立方程组，y= 5+12xy= 5−12a2x，
解得：x= 5−12ay=a，
∴F( 5−12a,a)，
∴OBOF=OFBF，
∴点F为OB的中外比点．
第三种情况：当∠EOD=90°，则点E、D分别位于y轴、x轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在．
∴综上所述，当△ODE是等腰直角三角形时，点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点．
第一步：1−xx−2⋅(x−2)=−1x−2⋅(x−2)−2，
第二步：1−x=−1−2，
第三步：−x=−1−2−1，
第四步：x=4．
第五步：检验：当x=4时，x−2≠0．
第六步：∴原分式方程的解为x=4．
调查问卷
整理与描述
1.你每天参加体育活动(含体育课)的时间(单位：小时)( )(单选)
A.0.5≤x