四川省内江市2024届高三数学上学期开学考试文试题含解析

这是一份四川省内江市2024届高三数学上学期开学考试文试题含解析，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.
1. 设，则的虚部为（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法及加减运算求解作答.
【详解】依题意，，
所以复数的虚部为1.
故选：C
2. 已知双曲线M：的焦点到其渐近线的距离为4，则双曲线M的渐近线的方程是（ ）
A. B. C. D. y＝±2x
【答案】C
【解析】
【分析】表达出焦点及渐近线方程，利用点到直线距离列出方程，求出渐近线方程.
【详解】的焦点为，渐近线方程为：，则，解得：，所以渐近线方程为：
故选：C
3. 函数的单调增区间（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】的定义域为，
，
令，解得，
故的单调递增区间为.
故选：A
4. 下列求导数运算正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数公式逐项判断即可.
【详解】解：A项中，，故A项正确；
B项中，，故B项错误；
C项中，，故C项错误；
D项中，，故D项错误.
故选：A.
5. 设a，b都是实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】取，可判断充分性，取可判断必要性，分析即得解.
【详解】当，满足，但，所以充分性不成立；
若，则．但不满足，必要性不成立．
因此“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D
6. 设一组样本数据的平均数为100，方差为10，则的平均数和方差分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数和方差的公式计算出正确答案.
【详解】依题意，
所以，
.
故选：D
7. 已知函数且在定义域上是单调函数，则实数t的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断的单调性，然后对进行分类讨论，由此求得的取值范围.
【详解】由于函数在定义域上单调递增，所以函数在定义域上是单调递增函数．
当时，函数在定义域上不单调，不符合题意；
当时，函数图象的对称轴为，
当时，函数在区间上单调递减，不符合题意，
当时，函数在区间上单调递增，
要使函数在定义域上单调递增，则需，解得．
故实数t的取值范围为．
故选：A
8. 高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便．某高铁换乘站设有编号为①，②，③，④，⑤的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下：
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是
A. ①B. ②C. ④D. ⑤
【答案】C
【解析】
【分析】
利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果．
【详解】（1）同时开放①⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以疏散1000名乘客④比①快60s．
（2）同时开放①⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放①②两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，所以疏散1000名乘客②比⑤快80s．
（3）同时开放①②两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放②③两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，所以疏散1000名乘客①比③快100s．
（4）同时开放②③两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放③④两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以疏散1000名乘客④比②快60s．
（5）同时开放③④两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以疏散1000名乘客⑤比③快20s．
综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是④．
【点睛】本题考查推理的应用，考查分析判断的能力，解题的关键是读懂题意，然后得到每两个安全出口疏散1000名乘客所用时间的大小关系，比较后可得结果．
9. 设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由奇偶性和单调性求解即可
【详解】为奇函数，
∴，
又∵
∴，，，
又∵，且函数在区间上是增函数，
∴，
∴，，
故选：A.
10. 从3男2女5名志愿者中，抽取2名志愿者参加社区核酸检测秩序管理工作，则至少有1名女性志愿者参加的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将3名男性志愿者分别记为a，b，c，2名女性志愿者分别记为d，e，然后列举出从5人中抽取2人的所有情况，再找出至少有1名女性的情况，然后利用古典概型的概率公式求解.
【详解】将3名男性志愿者分别记为a，b，c，2名女性志愿者分别记为d，e，
则样本空间，共包含10个样本点．
记事件A为至少有1名女性志愿者参加，则，A包含的样本点个数为7，
所以．
故选：D
11. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且,设与的离心率分别为，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设椭圆与双曲线的半焦距为,,由题意可得，用表示出，结合二次函数的性质即可求出范围.
【详解】如图所示：
设椭圆与双曲线的焦距为,,由题意可得

， ，即
，即
，
由可知，令，，
所以，故选D.
【点睛】本题主要考查了双曲线和椭圆的性质以及离心率的问题，考查了转化思想，属于中档题.
12. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造，，求导得到其单调性，结合，得到；构造，，求导得到其单调性，结合得到，即，从而得到答案.
【详解】构造，，则在上恒成立，
故在上单调递减，又，
故，故，
构造，，
则在上恒成立，故在单调递减，
又，，故，即，
故，
综上：
故选： D
【点睛】构造函数比较大小是常考内容，以下时常用的不等式放缩，，，，，等，观察要比较的式子结构，选择合适的不等式.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13. 已知，则____.
【答案】
【解析】
【分析】根据补集、交集的知识求得正确答案.
【详解】，所以,，
所以.
故答案为：
14. 如图一个正六棱柱的茶叶盒，底面边长为，高为，则这个茶叶盒的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据棱柱表面积的求法，结合已知求茶叶盒的表面积.
【详解】由题设，一个底面的面积为，
一个侧面矩形面积为，
所以茶叶盒的表面积为.
故答案为：
15. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点，于H，若，O为坐标原点，则与的面积之比为______．
【答案】12
【解析】
【分析】根据给定的条件，求出直线的方程，与抛物线方程联立求出PF，QF的长即可求解作答.
【详解】依题意，由于H，得，即是正三角形，，
而，则直线的方程为，
由，消去y并整理，得，
令，解得，又准线，
因此，
所以与的面积之比.
故答案为：12.
16. 若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】令，将所求不等式变形为，构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，利用导数求出函数的最小值，可得出关于的不等式，即可解得的取值范围.
【详解】因为，，则a>0，
，可得，
即，令，则，
令，其中且，
，则函数在上单调递增，
由可得，所以，，其中，
，当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，解得.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立，解本题的关键在于将所求不等式变形为，通过换元将不等式变形为，再通过构造函数的方法求出的取值范围，结合导数法可求得的取值范围.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 动点与定点的距离等于点P到直线的距离，设动点P的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）经过定点直线与曲线交于两点，且点M是线段AB的中点，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据抛物线的定义直接求解；(2)利用点差法求出的斜率即可求解.
【小问1详解】
根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹为抛物线，
且该抛物线以为焦点，所以所以，
所以曲线的方程为.
【小问2详解】
若直线垂直于轴，则AB的中点在轴上，不满足题意，
若直线不垂直于轴，设，且，
因为在曲线上，所以，两式相减得，
，所以，
即，所以的方程为整理得.
18. 某土特产超市为预估年元旦期间游客购买土特产的情况，对年元旦期间的位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：
附：参考公式和数据：，.
附表：
（1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为购买金额是否少于元与性别有关.
（2）为做好年元旦的营销活动，该超市从年元旦期间的位游客购买金额少于元的人群中按照分层抽样的方法任选人进行购物体验回访，并在这人中随机选取人派发购物券，问能拿到购物券的人恰好是一男一女的概率是多少？
【答案】（1）列联表答案见解析，有的把握认为购买金额是否少于元与性别有关
（2）
【解析】
【分析】（1）根据表格中的数据完善列联表，计算出的观测值，结合临界值表判断可得出结论；
（2）分析可知按照分层抽样应该选名男性，名女性.记名男性分别为、、、，名女性分别为、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【小问1详解】
解：列联表如下表所示：
，
因此有的把握认为购买金额是否少于元与性别有关.
【小问2详解】
解：按照分层抽样应该选名男性，名女性.
记名男性分别为、、、，名女性分别为、，
恰好选到一男一女的事件记为，则任选人派发购物券的所有可能结果为：、
、、、、、、、、、、、、、，共种，
事件包含的基本事件有：、、、、、、、，共种，
因此，.
19. 如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面ABCD.
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取中点，连，易得为正方形，为等腰直角三角形，再根据面面垂直的性质有平面，最后由线面垂直的性质证结论.
（2）取中点，连，由面面垂直的性质有平面，根据棱锥体积公式求三棱锥的体积.
【小问1详解】
取中点，连，
因为，，，，
所以四边形为正方形，为等腰直角三角形，
则，，

因为面面，面面，面，
所以平面，又平面，所以.
【小问2详解】
取中点，连，则，且，
因为平面平面，面面，面，
所以平面，又面积为，
三棱锥的体积为.
20. 在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）设过点A(，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设P(x，y)，由P与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数求解；
（2）直线MN斜率不存在时，由直线AM，AN分别为，，求得与双曲线的交点即可；直线MN斜率存在时，设其方程为，()，与双曲线方程联立，根据AM⊥AN，结合韦达定理得到k，m的关系即可.
小问1详解】
解：设P(x，y)，
因为P与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，
所以，
化简得，
所以曲线E的方程为.
【小问2详解】
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为，，
分别联立，解得M(，)，N(，－)，
此时直线MN的方程为，过点(，0)；
当直线MN斜率存在时设其方程为，()
由，消去y得，
所以，即，
，，
因为AM⊥AN，
所以，即，
即，
即，
将，代入化简得：，
所以或，
当时，直线MN方程为(不符合题意舍去)，
当时，直线MN方程为，MN恒过定点(，0)，
综上所述直线MN过定点(，0).
21. 已知函数，若函数在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）求的单调区间；
（3）当时，若存在常数，使得方程有两个不同的实数解，，求证：.
【答案】（1）、
（2）单调递减区间，，单调递增区间为
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可得，求出函数的定义域与导函数，再解得关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（3）由（2）不妨设，则，则只需证明，即证，令，利用导数说明函数的单调性，即可得证.
【小问1详解】
因为，所以，
因为函数在点处的切线方程为，所以，即，
解得.
【小问2详解】
由（1）可得定义域为，
则，
因为，
所以当或时，当时，
所以的单调递减区间为，，单调递增区间为.
【小问3详解】
由（1）可得当时的单调递减区间为，单调递增区间为，
则在处取得极小值，
因为当时，存在常数，使得方程有两个不同的实数解，，
即与有两个交点，则，
不妨设，则，
要证，
即证，又，所以，
因为在上单调递增，
所以只需证明，
又，则只需证明，
令，
则
，
令，，则，
则在上单调递减，且，所以，
所以，即在上单调递减，
所以，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
则.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，曲线M的方程为，曲线N的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线M，N的极坐标方程；
（2）若射线与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且，求．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线和的极坐标方程；
（2）将代入曲线和的方程，求得和 ，结合题意求得，即可求解.
【小问1详解】
解：由，可得，即，
又由，可得，
所以曲线M的极坐标方程为．
由，可得，即，
即曲线N极坐标方程为.
【小问2详解】
解：将代入，可得，
将代入，可得，
则，
因为，所以，
又因为，所以．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）或x≥4
（2）
【解析】
【分析】（1）分，和三种情况求解即可；
（2）利用绝对值三角不等式可求出，则，从而可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
当时，，故；
当时，，故无解；
当时，，故
因此，不等式的解集为或x≥4.
【小问2详解】
因为，
当且仅当时取等号，
故当，即时，，
解得或.
所以的取值范围是.
安全出口编号
①②
②③
③④
④⑤
①⑤
疏散乘客时间(s)
120
220
160
140
200
购买金额（元）
人数
不少于元
少于元
合计
男
女
合计
不少于元
少于元
合计
男
女
合计