福建省福州市八县（市）协作校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题（原卷版+解析版）

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【完卷时间：120分钟满分：150分】
命题：高新一中
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则的虚部为（ ）
A. -2B. 2C. -2iD. 2i
【答案】B
【解析】
【分析】由共轭复数概念得到，得到虚部.
【详解】由题意得，故的虚部为2.
故选：B
2. 在平行四边形中，是的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据平行四边形的性质分解向量即可.
【详解】
.
故选：C
3. 的内角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ）
A. B. 4C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由已知利用三角形内角和定理，诱导公式可求值，进而利用余弦定理即可求解的值．
【详解】解：因为，，，
所以，
则由余弦定理可得．
故选：A．
4. 某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加比赛，事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生” （ ）
A. 是对立事件B. 都是不可能事件
C. 是互斥事件但不是对立事件D. 不是互斥事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由随机事件的定义分析选项，综合可得答案．
【详解】解：根据题意，从2名男生和1名女生中任选2名学生参加比赛，有“2名男生”和“1名男生和1名女生”两种情况，
易得“至少有1名女生”即“1名男生和1名女生”，是“至少有1名男生”的子事件，
故事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”不是互斥事件．
故选：D．
5. 下列说法中正确的个数是（ ）
（1）若两个平面都与第三个平面垂直，则这两个平面平行；
（2）如果平面外有两点，到平面的距离相等，则直线；
（3）若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行；
（4）一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交．
A 个B. 个C. 个D. 个
【答案】A
【解析】
【分析】充分考虑直线与平面的位置关系即可逐项判断．
【详解】解：（1）如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面相交或平行，故不正确，不符合题意；
（2）如果平面外有两点，到平面的距离相等，如图所示，则直线和平面可能平行或可能相交，故错误，不符合题意；
（3）若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故错误，不符合题意；
（4）空间中，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它和另一条可能相交，也可能异面，故错误，不符合题意．
故选：A．
6. 已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，30，37，，40，50；乙组：24，，33，44，48，52．若这两组数据的第30百分位数对应相等，第50百分位数也对应相等，则（ ）
A. 60B. 65C. 70D. 75
【答案】C
【解析】
【分析】根据一组数据的百分位数的定义，分别求得两组数据的第30百分位数和第50百分位数，列出方程组求解即得.
【详解】由题意可得解得：故
故选：C.
7. 已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形，如图所示．若，则该直四棱柱的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先得到底面四边形的平面图形，根据斜二测法及勾股定理求出线段的长度，即可求出底面积与底面周长，再根据表面积公式计算可得；
【详解】由直观图可得底面四边形的平面图形如下，由，
则，，所以，
则，，
所以直棱柱的底面周长，又直棱柱的高，
所以棱柱的侧面积，
所以棱柱的表面积.
故选：C
8. 一个电路如图所示，A，B，C，D为4个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出灯不亮的概率，再由对立事件的概率计算公式，即可得出答案.
【详解】电路由上到下有2个分支并联，
开关A，B所在的分支不通电的概率为，
开关C，D所在的分支不通电的概率为，
所以灯亮的概率为.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若，，则（ ）
A. B.
C. 不能作为一组基底D. 在方向上投影向量为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据向量数量积的坐标运算可判断A，根据向量的模长公式可判断B，根据平面向量基本定理可判断C，根据投影向量的定义可判断D．
【详解】，，
，，，
A．，故选项正确，符合题意；
B．，，
，，
，故选项错误，不符合题意；
C．显然，不共线，可以作为一组基底，故错误，不符合题意；
D．在方向上的投影向量为，故选项正确，符合题意．
故选：AD．
10. 已知的内角、、所对的边分别为、、，则下列四个命题中正确的命题是（ ）
A. 若，则一定是等边三角形
B. 若，则一定是等腰三角形
C. 若，则一定是锐角三角形
D. 若，则一定是锐角三角形
【答案】AD
【解析】
【分析】利用正弦定理以及正切函数的单调性可判断A选项；利用正弦定理结合二倍角公式可得出、的关系，可判断B选项；利用余弦定理可判断C选项；由和角的正切公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，由正弦定理可得，
则，
因为至少有两个锐角，从而可得，
故为锐角三角形，
因为正切函数在上为增函数，故，
所以，为等边三角形，A对；
对于B选项，因为，由正弦定理可得，即，
因为、，所以，，,
又因为、中至少有一个为锐角，则，则、均为锐角，
所以，、，所以，或，即或，
为等腰三角形或直角三角形，B错；
对于C选项，时，由余弦定理可得，
即为锐角，但、是否都是锐角，不能保证，
因此不一定是锐角三角形，C错；
对于D选项，因为，
所以，
由、、，所以、、均为锐角，
所以为锐角三角形，所以D正确．
故选：AD．
11. 圆台的轴截面如图所示，其上、下底面的半径分别为，，母线长为，点为母线的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆台的侧面积为
B. 与所成角为
C. 圆台外接球的半径为
D. 在圆台的侧面上，从点到点的最短路径的长度为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据圆台的上、下底面半径和母线长求出圆台的侧面积，可判断选项A；求出，可判断选项B；由勾股定理求出圆台外接球的半径，可判断选项C；利用侧面展开图求出的长，可判断选项D．
【详解】对于A，圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为2，为母线中点，
所以圆台的侧面积为，选项A错误；
对于B，因为，所以，所以与所成角为，选项B正确；
对于C，根据题意知，外接球的球心在圆台的中心连线上，
设球心到上底面距离为，
所以，解得，
所以圆台外接球的半径为，选项C正确；
对于D，展开面如图所示：
根据比例关系求出，展开面为半圆环；
点为母线的中点，所以，，选项D正确．
故选：BCD．
第Ⅱ卷 ( 共92分)
三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 掷两颗骰子，则所得的点数之和为6的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】掷两颗骰子得到有序数对，事件“正面朝上的点数之和为6”的基本事件有：，，，，共有5个基本事件，而所有的基本事件有36个，由此结合随机事件的概率公式即可算出本题的概率．
【详解】记两颗骰子的点数分别为，，得掷两颗骰子得到有序数对
则、的值可能是1，2，，6共六种情况，共个基本事件．
事件“正面朝上的点数之和为6”的基本事件有：
，，，，
共有5个基本事件因此，点数之和为6的概率为
故答案为：
13. 写出一个同时满足①②的复数________.①；②.
【答案】(或)
【解析】
【分析】根据题意，设，结合条件，列出方程，求解即可.
【详解】因为，不妨设，
由得，
所以，解得，，所以或，
故答案为：或.
14. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效．经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x（单位：克）与香囊功效y之间满足，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，则这6个香囊中草药甲含量的方差为____克．
【答案】39
【解析】
【分析】利用平均数和方差的公式完成计算．
【详解】设抽取的6个香囊中草药甲的含量分别为克，香囊功效分别为，，2，，6，
草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，
即，，
则，
则这6个香囊中草药甲含量的方差
，
所以这6个香囊中草药甲含量的方差为39克．
故答案为：39．
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数满足，．
（1）求；
（2）设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知得出，利用共轭复数定义和模的计算公式求解即可.
（2）利用复数的运算分别求出，，三点坐标，然后利用数量积的变形公式求解向量夹角的余弦值即可.
【小问1详解】
因为，，
两式相加得，
所以，
故．
【小问2详解】
由（1）得，
则，
，则，
，则，
所以，，
故．
16. 内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求的大小；
（2）若面积为，外接圆面积为，求周长.
【答案】（1）
（2）18
【解析】
【分析】（1）由正弦定理，可化为，再由余弦定理得，即可得到；
（2）由外接圆面积，得，再由正弦定理可得 ，由面积公式，可得，再由余弦定理，可得，即可求得周长.
【小问1详解】
，
，
，
，
．
【小问2详解】
设外接圆的半径为，
由， 得，
因为，解得，
，
所以，
又，
所以49= ，
故，
所以.
17. 如图，在几何体中，底面为矩形，，，，，为棱上一点，平面与棱交于点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若，试问平面是否可能与平面垂直？若能，求出值；若不能，说明理由．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】
【详解】试题分析：
(1)利用题意证得平面．所以．
(2)利用线面平行的性质定理平面．所以．
(3)假设平面是否可能与平面垂直，结合题意可求得
试题解析：
解：（Ⅰ）因为为矩形，所以．
又因为，
所以平面．
所以．
（Ⅱ）因为为矩形，所以，
所以平面．
又因为平面平面，
所以．
（Ⅲ）平面与平面可以垂直．证明如下：
连接．因为，，
所以平面．
所以．
因为，所以．
因为平面平面，
若使平面平面，
则平面，所以．
在梯形中，因为，，，，
所以．
所以若使能成立，则为的中点．
所以．
点睛：高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题．对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.
18. 我省实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高二年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A等级排名占比，赋分分数区间是86～100；B等级排名占比，赋分分数区间是71～85；C等级排名占比，赋分分数区间是56～70；D等级排名占比，赋分分数区间是41～55；E等级排名占比，赋分分数区间是30～40；现从全年级的生物成绩中随机取100学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：
（1）求图中a的值，并求抽取的这100名学生的原始成绩的众数和中位数（结果为准确值）；
（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）；（结果保留整数）
（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率．
【答案】（1）众数75，中位数分；
（2）74分； （3）.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中频率和为1求得值，找出频率最大的那组数据的中点值得众数，求出频率对应的值得中位数；
（2）由（1）的中位数可得；
（3）确定两组中人数，对学生编号，用列举法写出取2人的样本并计数后，根据概率公式计算概率．
【小问1详解】
，
.
抽取的这100名学生的原始成绩的众数的估计值为分；
由频率直方图可得前三组的频率和为，
前四组的频率和为，故中位数落在第四组，
设中位数为x，则，解得，
故抽取的这100名学生的原始成绩的中位数的估计值为分；
【小问2详解】
由已知等级达到B及以上所占排名等级占比为，
由（1）可得，中位数，
故原始分不少于74分才能达到赋分后的B等级及以上．
【小问3详解】
由题知得分在和内的频率分别为0.1和0.15，
则抽取的5人中，得分在内的有2人，得分在的有3人
记得分在内的3位学生为a，b，c，得分在内的2位学生为D，E，
则从5人中任选2人，样本空间可记为
，共包含10个样本，
用A表示“这2人中恰有一人得分在内”，
则，A包含6个样本，
故所求概率.
19. 罗星塔，位于福州马尾，某校开展数学建模活动，有学生选择测量罗星塔的高度，为此，他们设计了测量方案，如图， 罗星塔垂直于水平面，他们选择了与罗星塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得∠ADB=45°， AB=30米，且在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和 ，其中 .
（1）求罗星塔的高 CD的长；
（2）在(1)的条件下求多面体A-BCD的表面积；
（3）在(1)的条件下求多面体A-BCD的内切球的半径.
【答案】（1）30； （2）平方米；
（3）米.
【解析】
【分析】（1）设塔高，用x表示、，再利用余弦定理列方程求解即可；
（2）利用题意判断四个面均为直角三角形，结合（1）的结果，利用三角形面积公式分别求出四个面的面积，求和即可；
（3）根据题意将多面体分为以各面为底，内切球半径为高的四个三棱锥，利用等体积法即可求解.
【小问1详解】
设米，
在中，，则，
在中，，且，
则，所以，
因为，所以由余弦定理得：，
整理得：，解得x=30（米）
【小问2详解】
由（1）知均为直角三角形，
，所以，
所以在中，满足，所以为直角三角形；
所以，
所以平方米；
【小问3详解】
设多面体的内切球的半径为，根据等体积转换：
所以米；