江苏省苏州市八校2025届高三下三模适应性检测数学试卷（解析版）

这是一份江苏省苏州市八校2025届高三下三模适应性检测数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集M=1,2,3,4，A=1,3，B=2，则A∪∁MB等于（ ）
A．1,2,3,4B．1,3,4C．1,3,5D．1,3
【答案】B
【解析】∵全集M=1,2,3,4，B=2，
∴∁MB=1,3,4，又A=1,3，
则A∪∁MB=1,3,4．
故选：B．
2．已知复数z满足z1-i=i，则复数z对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】复数z满足z1-i=i，则z=i1-i=i1+i1-i1+i=-1+i2=-12+12i，
则复数z对应的点为-12,12，所以复数z对应的点在第二象限.
故选：B.
3．若P(A∩B)=19，P(A)=23，P(B)=13，则事件A与事件B满足（ ）
A．互为对立事件B．P(A+B)=49C．P(A|B)=23D．以上都不对
【答案】C
【解析】对于A，因为P(A)=23，P(B)=13，所以P(A)=13，P(B)=23，
所以P(A∩B)=19=P(A)PB，所以A,B互相独立，而PA+PB=23≠1，故A错误；
对于B，P(A+B)=PA+PB-PA∩B=13+13-19=59，故B错误；
对于CD，由A,B互相独立，可知A,B互相独立，
所以P(A|B)=PABPB=PAPBPB=PA=23，故C正确，D错误.
故选：C.
4．某公司对100名员工进行了工作量的调查，数据如表：
若推断“员工的性别与认为工作量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过（ ）
附：K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d
A．0.1B．0.05C．0.025D．0.01
【答案】A
【解析】K2=10040×20-20×20260×40×40×60≈2.778>2.706，因为P(K2>2.706)=0.10，
所以这种推断犯错误的概率不超过0.10.
故选：A.
5．已知点P是直线l:3x+4y-7=0上的动点，过点P引圆C:x+12+y2=r2r>0的两条切线PM，PN，M，N为切点，当∠MPN的最大值为π3时，r的值为（ ）
A．1B．2C．32D．2
【答案】A
【解析】如图MC=r, sin∠MPC=rPC，
当∠MPN的最大值为π3时，∠MPC=π6,，
当PC⊥l时，PC最小时，∠MPC=π6最大.
由题得PCmin=d=|3×(-1)+4×0-7|32+42=2，
所以sin∠MPC=rPC=12，则r=1；
故选：A.
6．设函数fx=2sin(12x+φ)-1，若f(x)在[0,5π]内恰有3个零点，则φ的取值不可以为（ ）
A．0B．π6C．π4D．π3
【答案】C
【解析】当x∈[0,5π]时12x+φ∈φ,φ+5π2，
因为fx在[0,5π]内恰有3个零点，fx=2sin(12x+φ)-1=0，即存在有3个不同的解使得sin(12x+φ)=12，
当φ=0时，12x∈0,5π2，所以满足sin(12x)=12的值有π6,5π6,13π6，符合题意；
当φ=π6时，12x+π6∈π6,16π6，所以满足sin(12x+π6)=12的值有0,4π3,4π，符合题意；
当φ=π4时，12x+π4∈π4,11π4，所以满足sin(12x+π4)=12的值有7π6,23π6，不符合题意；
当φ=π3时，12x+π3∈π3,17π6，所以满足sin(12x+π3)=12的值有π,11π3,5π，符合题意；
故选：C
7．已知函数fx=3x+1x+ex-e-x，定义域为R的函数gx满足g-x+gx=6，若函数y=fx与y=gx的图象有四个交点，分别为x1,y1，x2,y2，x3,y3，x4,y4，则4∑i=1xi+yi=（ ）
A．0B．4C．8D．12
【答案】D
【解析】由g-x+gx=6，得y=gx的图象关于0,3对称，
函数fx=3+1x+ex-e-x，则f-x+fx=6，即y=fx的图象也关于0,3对称，
因此函数fx=3+1x+ex-e-x与y=gx图象的交点关于0,3对称，
不妨设关于点0,3对称的坐标为x1,y1，x4,y4，则x1+x42=0，y1+y42=3，
则x1+x4=0，y1+y4=6，同理得：x2+x3=0，y2+y3=6，
即4∑i=1xi+yi=2×0+6=12.
故选：D
8．已知抛物线y2=4x，点M是抛物线上的动点，则M到直线l1:4x-3y+5=0和l2:x=-2的距离之和的最小值为（ ）
A．85B．95C．135D．145
【答案】D
【解析】由y2=4x可知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为：l:x=-1，
如图过点M作MH⊥l1于点H，作MA⊥l2于点A，交直线l于点B，则|MF|=|MB|，
由图知，|MA|=|MB|+1，则M到直线l1:4x-3y+5=0和l2:x=-2的距离之和为：
|MH|+|MA|=|MH|+|MB|+1=|MH|+|MF|+1，
因点M是抛物线上的动点，故当且仅当F,M,H三点共线时，|MH|+|MF|取得最小值，
即点M到直线l1的距离，为d=4+532+42=95，此时|MH|+|MA|取得最小值为145，
即M到直线l1:4x-3y+5=0和l2:x=-2的距离之和的最小值为145.
故选：D.
二、多选题
9．若6a=2，6b=3，则下列判断正确的是（ ）
A．a+b=1B．a2+b2lg6613=13，故D正确.
故选：ACD
10．已知fx=ax2+2lnx，则下列说法正确的是（ ）
A．a≥0时，fx有唯一的零点B．a0恒成立，函数fx单调递增，
当x→0+时，fx→-∞，当x→+∞时，fx→+∞，由零点存在定理可得fx有唯一的零点，
综上a≥0时，fx有唯一的零点，故A正确；
对于B、C，令f'x=0，可得x=-1a，
易得函数fx在0,-1a上单调递增，在-1a,+∞上单调递减，
所以函数fx存在极大值，故B错误，C正确；
对于D，因为fx0时，f(x)=ex-x-1>0，
所以当0c，所以b=53c,a=43c，
所以b2=a2+c2，即B=π2．
（2）法一：因为5csC=5b-3c，所以5×a2+b2-c22ab=5b-3c，
即a2+b2-c22ab=b-35c，
又因为csA=b2+c2-a22bc=35，所以a2+b2-c22ab=b-b2+c2-a22bcc，
化简得a2+b2-c2a=a2+b2-c2，
因为C≠π2，即a2+b2-c2≠0，所以a=1．
因为csA=b2+c2-12bc=35，所以65bc+1=b2+c2≥2bc（当且仅当b=c=52时取等号），
所以bc≤54，由题意可知A为锐角，且csA=35，故sinA=45，
因此S=12bcsinA=25bc≤12，即S的最大值为12．
法二：在△ABC中，因为csA=35，所以sinA=1-cs2A=45，
由正弦定理得b=asinBsinA=54asinB,c=asinCsinA=54asinC，
因为5csC=5b-3c，所以4csC=5asinB-3asinC，
即4csC=5asin(A+C)-3asinC=5a45csC+35sinC-3asinC=4acsC，
又C≠π2，所以a=1．
所以csA=b2+c2-12bc=35，所以65bc+1=b2+c2≥2bc（当且仅当b=c=52时取等号），
所以bc≤54，因此S=12bcsinA=25bc≤12，即S的最大值为12．
18．已知椭圆：5x2+y2=5，A为右顶点，F为下焦点，延长AF交椭圆于另一点B．
（1）求点B的坐标；
（2）设椭圆在点B处的切线为直线l，求直线AB与l所夹锐角的正切值；
（3）若直线n与椭圆交于M，N两点（异于A），使得∠FAM=∠FAN，求证：直线n过定点．
（1）解：因为椭圆：5x2+y2=5，即x2+y25=1，所以A(1,0)，F(0,-2)，
所以AF:x1+y-2=1，即y=2x-2，
联立直线AF与椭圆方程y=2x-25x2+y2=5，得9x2-8x-1=0，即(x-1)(9x+1)=0，
解得x=1或-19，显然B点横坐标为-19，此时y=-29-2=-209，
所以B-19,-209．
（2）解：因为点B在x轴下方，所以当y0x1+x2=-2ktk2+5x1x2=t2-5k2+5，
结合tan(γ+η)=-43化简得8t2-12k2-4kt+15k+15t=0，
即(t+k)(8t+15-12k)=0，
所以t=-k时，n:y=k(x-1)过A，不符合要求，舍去；
t=12k-158时，n:y=kx+32-158过定点-32,-158．
综上，直线n过定点-32,-158．
法三：记直线AM、直线AN的斜率分别为k1、k2，
因为∠FAM=∠FAN，所以tan∠FAM=tan∠FAN，即2-k11+2k1=k2-21+2k2，
所以4k1k2=3k1+k2+4．
因为直线n不经过点A，所以可设直线n:m(x-1)+ty=1，
因为5[(x-1)+1]2+y2=5，所以5(x-1)2+10(x-1)+y2=0，
所以y2+10t(x-1)y+(10m+5)(x-1)2=0，
即yx-12+10t×yx-1+10m+5=0，所以k1+k2=-10tk1k2=10m+5，
代入4k1k2=3k1+k2+4得t=-20m+815，
所以n:m(15x-20y-15)-8y-15=0，因此直线n过定点-32,-158．
19．现将n个编号1~n的小球随机地放入n个外观、大小一样的编号也为1~n的盒子中，每个盒子中有且仅有一个小球．
（1）n=4时，记小球编号与盒子编号相同的个数为X，求X的分布列；
（2）若3号盒子中球的编号为6，6号盒子中球的编号为5，5号盒子中球的编号为3，我们称编号3，5，6的小球处于一个闭环中．如编号1~6的盒子中放入的小球编号依次是1，4，6，2，3，5，则共有3个闭环，其中编号1的小球是一个闭环．据此，当n=6时，回答下面两个问题：
①求恰有3个闭环的概率；
②某幼儿园组织6名编号1~6的小朋友玩游戏，每个小朋友选择3个盒子打开，若这3个盒子中有小球编号与自己编号一致，则认为游戏成功．每个小朋友在游戏过程中不能商量，且小朋友完成游戏后，由工作人员将盒子恢复原样，下一个小朋友再开始游戏．如果你是带队老师，在游戏开始前，帮小朋友们制定一个策略，使得所有小朋友都成功的概率大于13，并证明．
解：（1）X=0，1，2，4．
P(X=0)=9A44=38，P(X=1)=8A44=13，
P(X=2)=6A44=14，P(X=4)=1A44=124．
所以随机变量X的分布列如下表所示：
（2）①记“恰有3个闭环”为事件M，则
因为3个闭环含有的小球数为1，1，4的种数：(9-3)×C62=90，
含有的小球数为1，2，3的种数：2C61C52=120，
含有的小球数为2，2，2的种数：C62C42C223!=15，
所以P(M)=90+120+15A66=516．
答：恰有3个闭环的概率为516．
②每个小朋友从自己编号的盒子开始打开，看小球编号，再去打开编号为看到小球编号的盒子，以此类推，总共打开3个盒子．
证明：按照上面的策略，只要每个闭环中的小球个数不超过3，则每个小朋友就都能成功，这样就等价于求每个闭环中的小球个数不超过3的概率．
恰有1个闭环中含有4个小球的种数：(9-3)C64×(1+1)=180，
恰有1个闭环中含有5个小球的种数：4×11-2C53×C65=144，
恰有1个闭环中含有6个小球的种数：5×(44+9)-6×C64-C63C332!×2×2-15=120，
所以每个闭环中的小球个数不超过3的种数为：A66-180-144-120=276，
因此，每个闭环中的小球个数不超过3的概率为276720=2360，即所有小朋友都成功的概率为2360，大于13．认为工作量大
认为工作量不大
合计
男士
40
20
60
女士
20
20
40
合计
60
40
100
P(K2≥k0)
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
X
0
1
2
4
P
38
13
14
124