湖北省部分高中协作体2024-2025学年下学期高二年级期末联考 数学试题（含答案）

这是一份湖北省部分高中协作体2024-2025学年下学期高二年级期末联考 数学试题（含答案），共26页。试卷主要包含了答题前，请将自己的姓名，选择题的作答，非选择题作答，考试结束后，请将答题卡上交等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
*祝考试顺利*
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准 考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 设等差数列{an } 的前n 项和为Sn ，若 a4 + S5 = 2 ， S7 = 14 ，则 a10 = ( )
A. 18 B. 16 C. 14 D. 12
2. 已知函数f (x )= x (x - c )2 在x = 2 处有极小值，则 c 的值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 2 或 6
3. 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶 点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )
A. 60 B. 48 C. 36 D. 24
4. 从 4 名男同学和 3 名女同学中选出 3 名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( )
A 18 B. 24 C. 30 D. 36
.
5. 若二项式 展开式的二项式系数之和为 8，则该展开式的系数之和为
A. -1 B. 1 C. 27 D. -27
6. 同时掷两枚大小相同的骰子，用（x，y）表示结果，记事件 A 为“所得点数之和小于 5”，则事件 A 包含 的样本点数是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r = 0.8245 ，下列说法正确的是 ( )
A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性
B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
8. 用模型y = cekx 拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z =lny ，其变换后得到线性回归方程为 z = 0.5x + 2 ，则 c = ( )
A. 0.5 B. e0.5 C. 2 D. e2
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是 符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 若直线 是函数f (x) 图象的一条切线，则函数f (x)可以是( )
A. B. f (x) = x4 C. f (x) = sin x D. f (x) = ex
10. 有 13 名医生，其中女医生 6 人，现从中抽调 5 名医生组成医疗小组前往湖北疫区．若医疗小组至少有
2 名男医生，同时至多有 3 名女医生，设不同的选派方法种数为 N，则下列能表示 N 的算式是( )
A. C3 - CC B. CC +CC +CC +C
C. C3 - CC - C D. CC1
11. 下列结论正确的是( )
A. 若随机变量 x 服从两点分布 则
B. 若随机变量 Y 的方差D(Y) = 3 ，则 D(2Y +1) = 6
C. 若随机变量 ζ 服从二项分布 则
D. 若随机变量 η 服从正态分布N(1, σ 2 ) ，P ( η < 2) = 0.82 ，则 P(0 < η < 2) = 0.64
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
12. 已知数列{an }满足a1 = 2 ，a2 = 4 ，an+2 - an = (-1)n + 3 ，则数列 {an } 的前10 项和为__________．
13. 某日 A ，B 两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同，已知A 市或 B 市受台风袭击的概率为
0.36.若用X 表示这一天受台风袭击的城市个数，则 E(X) ＝________.
14. 已知 x 和y 的散点图如图所示，在相关关系中，若用y = c1ec2x 拟合时的决定系数为R12 ，用 = x +
拟合时的决定系数为R ，则 R12 ，R 中较大的是________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分
15. 已知等差数列{an } 的公差为 2，且a1, a2, a4 成等比数列．
（1）求数列 {an } 的前n 项和Sn ；
（2）若数列 {bn } 的首项b1 = 1, bn + bn+1 = ( )an ，求数列 {b2n } 的通项公式．
16. 在 ，③点(an , Sn )(n ∈ N*)在直线 3x -y - 3 = 0 上，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.
已知数列{an } 的前 n 项和为Sn ，___________.
（1）求{an } 的通项公式；
若 求 的前项和Tn .
17. 已知函数 为常数，e=2.71828…，曲线 y = f (x)在点(1, f (1)) 处的切线与 x 轴平 行.
(Ⅰ)求 k 的值；
(Ⅱ)求 f (x ) 的单调区间；
18. 某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方
面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门，对所推出的报团 游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的 100 位游 客的满意度调查表.
（1）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？
（2）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取 2 人征 集改造建议，求这 2 人中有老年人的概率.
（3）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？
19. 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组 为了获得茶水温度y ℃关于时间x (min ) 的回归方程模型，通过实验收集在 25℃室温，用同一温度的水冲 泡的条件下，茶水温度随时间变化的数据，并对数据做初步处理得到如下所示散点图．
表中：
（1）根据散点图判断，① y = a + bx 与② y = d. cx + 25 哪一个更适宜作为该茶水温度y 关于时间 x 的回
满意度
老年人
中年人
青年人
报团游
自助游
报团游
自助游
报团游
自助游
满意
12
1
18
4
15
6
一般
2
1
6
4
4
12
不满意
1
1
6
2
3
2
y
w
73 5
.
3.85
-95
-2.24
归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度 y 关于时间 x 的回归方程：
（3）已知该茶水温度降至 60℃口感最佳，根据（2）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需 要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?
附：①对于一组数据(u1, v1 ) , (u2, v2 ) , … , (un , vn )，其回归直线 v = + u 的斜率和截距的最小二乘估计
分别为
②参考数据：e-0.08 ≈ 0.92, e4.09 ≈ 60, ln 7 ≈ 1.9, ln 3 ≈ 1.1, ln 2 ≈ 0.7 ．
湖北省部分高中协作体 2024—2025 学年下学期期末联考
高二数学试题
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
*祝考试顺利*
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准 考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 设等差数列{an } 的前n 项和为Sn ，若 a4 + S5 = 2 ， S7 = 14 ，则 a10 = ( )
A. 18 B. 16 C. 14 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】设 {an } 的公差为d ，依题意得到方程组，解得 a1 、d ，从而得解. 【详解】解：设 {an } 的公差为d ，依题意可得
即 解得 ，所以 a10 = -4 + 9× 2 = 14 ；
故选：C.
2. 已知函数f (x )= x (x - c )2 在x = 2 处有极小值，则 c 的值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 2 或 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据 f ¢ (2) = 0 求出c，进而得到函数的单调性，然后根据极小值的定义判断答案.
【详解】由题意，f ¢ (x ) = (x - c )2 +2x (x - c ) = (x - c )(3x - c )，则 f ¢ (2) = (2 - c)(6 - c) = 0 ，所以 c = 2 或 c = 6 .
若 c=2，则 f ¢ (x) = (x - 2)(3x - 2) ， 时，f ¢ (x) > 0 ，f (x) 单调递增 时， f ¢ (x) < 0 ，f (x)单调递减， x ∈(2, +∞) 时，f ¢ (x) > 0 ，f (x)单调递增. 函数f (x)在x = 2 处有极小 值，满足题意；
若 c=6，则 f ¢ (x) = 3 (x - 2)(x - 6) ，x ∈(-∞, 2) 时，f ¢ (x) > 0 ，f (x) 单调递增，x ∈(2, 6) 时， f ¢ (x) < 0 ，f (x)单调递减，所以f (x)在x =2 处有极大值，不满足题意；
综上：c=2.
故选：A.
3. 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶 点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )
A. 60 B. 48 C. 36 D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】
分成两类，第一类是长方体的面和它相对的面上的4 条棱和2 条对角线组成的“平行线面组”，第二类是长方 体的对角面和棱构成的“平行线面组”，分别计算两类的结果再相加即可.
【详解】一个长方体的面可以和它相对的面上的4 条棱和两条对角线组成 6 个“平行线面组”， 一共有 6 个面，共有 6× 6 = 36 种.
长方体的每个对角面有2 个“平行线面组”，共有 6 个对角面， 一共有 6× 2 = 12 种.
根据分类计数原理知：共有36 +12 = 48 种.
故选：B
【点睛】本题主要考查分类计数原理，解题的关键是看清题目中线面之间的关系，属于中档题.
4. 从 4 名男同学和 3 名女同学中选出 3 名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( )
A. 18 B. 24 C. 30 D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】由于选出的 3 名学生男女生都有，所以可分成两类，一类是 1 男 2 女，一类是 2 男 1 女.
【详解】由于选出的 3 名学生男女生都有，所以可分成两类：
（1）3 人中是 1 男 2 女，共有
（2）3 人中是 2 男 1 女，共有 CC = 6 × 3 = 18 ；
所以男女生都有的选法种数是12 +18 = 30 .
【点睛】本题考查分类与分步计算原理，考查分类讨论思想及简单的计算问题.
5. 若二项式 展开式的二项式系数之和为 8，则该展开式的系数之和为
A. -1 B. 1 C. 27 D. -27
【答案】A
【解析】
【 详解 】依题 意二项式 系数和为 2n = 8, n = 3 .故二项 式为 ， 令 x = 1 ，可求得 系数和为 (1- 2)3 = -1.
6. 同时掷两枚大小相同的骰子，用（x，y）表示结果，记事件 A 为“所得点数之和小于 5”，则事件 A 包含 的样本点数是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本事件概念即可求解.
【详解】因 为 事件 A ＝{（1 ，1），（1 ，2），（1 ，3），（2 ，1），（2 ，2），（3 ，1）}， 共包含 6 个样本点.
故选：D.
7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r = 0.8245 ，下列说法正确的是 ( )
A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性
B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245 【答案】C
【解析】
【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题， 从而判断 ABC 选项，根据相关系数的定义可以判断 D 选项.
【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A 选项错误
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B 选项错误，C 选项正确；
由于r =0.8245 是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据 的相关系数不一定是0.8245 ，D 选项错误
故选：C
8. 用模型y = cekx 拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z =lny ，其变换后得到线性回归方程为 z = 0.5x + 2 ，则 c = ( )
A. 0.5 B. e0.5 C. 2 D. e2
【答案】D
【解析】
【分析】对 y = cekx 两边取对数，利用对数运算性质计算，再与线性回归方程比对即可得解.
【详解】因 y = cekx ，两边取对数得：ln y = ln(cekx ) = ln c + ln ekx = kx + ln c ， 令z = lny ，则 z = kx + ln c ，而 z = 0.5x + 2 ，于是得 ln c = 2 ，即 c = e2 ，
所以c = e2 .
故选：D
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是 符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 若直线 是函数f (x) 图象的一条切线，则函数f (x)可以是( )
A. B. f (x) = x4 C. f (x) = sin x D. f (x) = ex
【答案】BCD 【解析】
【分析】依次对各项函数求导，根据导数的几何意义，及已知切线的斜率判断是否存在导数值为 ，即可 得答案.
直线 的斜率为
由 的导数为 故 A 错；
由f (x) = x4 的导数为f ¢ (x) = 4x3 ，令 解得 故 B 对；
由f (x) = sin x 的导数为 = cs x ，而 有解，故 C 对；
由f (x) = ex 的导数为f ¢ (x) = ex ，令 ，解得 x = - ln 2 ，故 D 对．
故选：BCD
10. 有 13 名医生，其中女医生 6 人，现从中抽调 5 名医生组成医疗小组前往湖北疫区．若医疗小组至少有
2 名男医生，同时至多有 3 名女医生，设不同的选派方法种数为 N，则下列能表示 N 的算式是( )
A. C3 - CC B. CC +CC +CC +C
C. C3 - CC - C D. CC1
【答案】BC
【解析】
【分析】根据结合的性质，结合分类计数原理逐一判断即可.
【详解】因为有 13 名医生，其中女医生 6 人，所以男医生 7 人.
A： CC表示选派 1 个男医生 4 个女医生，因此 C3 - CC表示不选派 1 个男医生 4 个女医生，这里包括
不选派男生，显然不符合题意，
B： CC表示选派 2 个男医生 3 个女医生， CC表示选派 3 个男医生 3 个女医生，
CC表示选派 4 个男医生 1 个女医生， C表示选派 5 个男医生，
显然CC +CC +CC+C表示医疗小组至少有 2 名男医生，同时至多有 3 名女医生，符合题意；
C： CC表示选派 1 个男医生 4 个女医生， C表示选派 5 个女医生，显然 C3 - CC - C表示医疗小组
至少有 2 名男医生，同时至多有 3 名女医生，符合题意；
D： CC1 表示先从 7 名男医生中选 2 名男医生，再从剩下全部医生中选 3 名医生，显然不符合题意，
故选：BC
11. 下列结论正确的是( )
A. 若随机变量 x 服从两点分布 则
B. 若随机变量 Y 的方差D(Y) = 3 ，则 D(2Y +1) = 6
C. 若随机变量 ζ 服从二项分布 则
D 若随机变量 η 服从正态分布N(1, σ 2 ) ，P ( η < 2) = 0.82 ，则 P(0 < η < 2) = 0.64 .
【答案】AD 【解析】
【分析】根据两点分布的期望公式，方差公式，二项分布概率公式，正态分布的对称性，判断选项.
【详解】由条件可知 故 A 正确；
D (2Y +1) = 4D(Y) = 12 ，故 B 错误；
若随机变量 ζ 服从二项分布 则 故 C 错误；
根据对称性可知，正态分布曲线关于x =1 对称，所以P(0 < η < 2) = 1- 2 (1- P(η < 2)) = 0.64 ，故 D 正确.
故选：AD
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
12. 已知数列{an }满足a1 = 2 ，a2 = 4 ，an+2 - an = (-1)n + 3 ，则数列 {an } 的前10 项和为__________． 【答案】90
【解析】
【分析】分别讨论n 为奇数时，数列{a2n-1 } 的通项公式与n 为偶数时，数列{a2n } 的通项公式，再利用分 组求和法代入求和即可.
【详解】由题意，当n 为奇数时，an+2 - an = (-1) + 3 = 2 ，
所以数列 {a2n-1 } 是公差为2 ，首项为 2 的等差数列， 所以a2n-1 = 2 + 2(n -1) = 2n ，
当n 为偶数时，an+2 - an = 1+ 3 = 4 ，
所以数列{a2n } 是公差为4 ，首项为 4 的等差数列，
所以a2n = 4 +4(n -1) = 4n ，设数列 {an } 的前10 项和为 S10 ，
故答案为：90
【点睛】解答本题的关键是要分类讨论n 为奇数与n 为偶数时所对应的数列的通项公式，再利用分组求和 法求和.
13. 某日 A ，B 两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同，已知A 市或 B 市受台风袭击的概率为
0.36.若用X 表示这一天受台风袭击的城市个数，则 E(X) ＝________.
【答案】0.4 【解析】
【分析】先求出 A ，B 两市受台风袭击的概率，再分别求出X 取不同值的概率，即可求出期望. 【详解】设 A ，B 两市受台风袭击的概率均为p，
则 A 市和 B 市均不受台风袭击的概率为(1－p)2 ＝1－0.36，解得p ＝0.2 或p ＝1.8(舍去)，
则 P(X＝0) ＝1－0.36 ＝0.64 ，P(X＝1) ＝2×0.8×0.2 ＝0.32 ，P(X＝2) ＝0.2×0.2 ＝0.04， 所以 E(X) ＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04 ＝0.4.
故答案为：0.4.
14. 已知 x 和y 的散点图如图所示，在相关关系中，若用y = c1ec2x 拟合时的决定系数为R12 ，用 = x +
拟合时的决定系数为R ，则 R12 ，R 中较大的是________.
【答案】R12
【解析】
【分析】根据散点图的分布情况判断可得.
【详解】由散点图知，用 y = c1ec2x 拟合的效果比 = x + 拟合的效果要好，
所以R12 > R ，故较大者为 R12 .
故答案为：R12
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分
15. 已知等差数列{an } 的公差为 2，且a1, a2, a4 成等比数列．
（1）求数列 {an } 的前n 项和Sn ；
（2）若数列 {bn } 的首项 求数列{b2n } 的通项公式．
【答案】（1）Sn = n2 + n
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式，即可进行基本量的计算求解；
（2）对数列 bn + bn+1 = 2n 进行迭代相减，再累加计算，即可求得数列{b2n } 的通项公式. 【小问 1 详解】
因为a1, a2, a4 成等比数列，所以a = a1 . a4 ，
又等差数列{an } 的公差为d = 2 ，
所以(a1 + 2)2 = a1 (a1 + 6) , 可解得a1 = 2 ，
所以数列 的前n 项和 【小问 2 详解】
a n2
2 2
n
n1，( b1+)b2==(2 ，)可b 1，，
可得bn+1 + bn+2 = 2n+1 ②,
由②式减①式，得bn+2 -bn = 2n+1 - 2n = 2n ，
所以b2n = (b2n -b2n-2 ) + (b2n-2 -b2n-4 ) +…+(b4 -b2 ) + b2
且b2 = 1符合上式，所以
16. 在① Sn = 2an+1 - 3 ， a2 = ，②点(an , Sn ) 在直线 3x -y - 3 = 0 上，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.
已知数列{an } 的前 n 项和为Sn ，___________.
（1）求{an } 的通项公式；
若 求 的前项和Tn .
【答案】条件选择见解析 【解析】
【分析】（1）若选①,根据已知条件考虑 n ≥ 2 对应的等式，两式作差得到an+1 , an 的关系，通过条件证明
{an } 是等比数列，并求解出通项公式；若选②,根据已知条件考虑n ≥ 2 对应的等式，结合
Sn - Sn-1 = an (n ≥ 2) 得到an+1, an 的关系，通过条件证明{an } 是等比数列，并求解出通项公式；若选③,将 点代入直线方程，然后根据Sn - Sn-1 = an (n ≥ 2) 得到an+1, an 的关系，通过条件证明{an } 是等比数列，并求 解出通项公式；
（2）先求解出 {bn } 的通项公式，然后采用错位相减法进行求和.
【详解】（1）方案一：选条件① .
: Sn = 2an+1 - 3 ，:当n ≥ 2 时，Sn-1 = 2an - 3 ， 两式相减，整理得
所以
:数列{an } 是以 为首项， 为公比的等比数列，
方案二：选条件② .
: 2Sn+1 - 3Sn = 3 ，:当n ≥ 2 时，2Sn - 3Sn-1 = 3 ， 两式相减，整理得
所以
:数列{an } 是以为 首项， 为公比的等比数列.
方案三：选条件③ .
:点(an , Sn )(n ∈ N*)在直线3x -y - 3 = 0 上， : Sn = 3an - 3 ，: Sn+1 = 3an+1 - 3 ，
两式相减，整理得an+1 = an ，当 n = 1 时，a1 = 3a1 - 3 ，得 :数列{an } 是以为 首项， 为公比的等比数列，
由 可得 则Tn = 1. 1 + 2 . ç2 + . . . + n . ç ö,÷n ，
两式相减得
【点睛】思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列 {an } 的前n 项和Sn 的求解步骤（错位相减法）：
（1）先根据数列的通项公式写出数列 Sn 的一般形式：Sn =a1 +a2 +a3 +...+an ；
（2）将（1）中的关于 Sn 等式的左右两边同时乘以等比数列的公比(q ≠ 1) ；
（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第 2 项，依次类 推，得到结果；
（4）利用等比数列的前 n 项和公式以及相关计算求解出Sn .
17. 已知函数 为常数，e=2.71828…，曲线 y = f (x)在点(1, f (1)) 处的切线与 x 轴平 行.
(Ⅰ)求 k 的值；
(Ⅱ)求 f (x ) 的单调区间；
【答案】(Ⅰ) k = 1 (Ⅱ) 单调递增区间是(0,1) ，单调递减区间是 (1, +∞ ) 【解析】
【详解】试题分析：（1）求出函数的导函数，函数在点（ 1 ，f（1））处的切线与 x 轴平行，说明 f′（1）=0， 则 k 值可求；（2）求出函数的定义域，然后让导函数等于 0 求出极值点，借助于导函数在各区间内的符号 求函数 f（x）的单调区间
试题解析 由已知 由 知
设 即k 在(0, +∞ ) 上是减函数， 由k (1) = 0 知，当0 < x < 1时k (x) > 0 ，f ¢ (x) > 0 ，
当x > 1时k (x) < 0 ，从而 f ¢ (x) < 0 .
综上可知，f (x ) 的单调递增区间是(0,1) ，单调递减区间是 (1, +∞ ) . 考点：利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义
18. 某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方 面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平.为此该地区旅游部门，对所推出的报团 游和自助游项目进行了深入调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的 100 位游 客的满意度调查表.
（1）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？
（2）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取 2 人征 集改造建议，求这 2 人中有老年人的概率.
（3）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？ 【答案】（1）老年人更倾向于选择报团游；（ ；（3）建议他选择报团游.
【解析】
【分析】（1）分析数据，直接求出老年人、中年人和青年人选择报团游的频率进行比较；
（2）列举基本事件，利用古典概型求概率；
（3）分别求报团游和自助游的满意率，进行比较，得到结论.
【详解】（1）由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为：
满意度
老年人
中年人
青年人
报团游
自助游
报团游
自助游
报团游
自助游
满意
12
1
18
4
15
6
一般
2
1
6
4
4
12
不满意
1
1
6
2
3
2
∵ P1 > P2 > P3 ，
:老年人更倾向于选择报团游.
（2）由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有 1 人，记为a ，中年人有 2 人，记为b, c ，青 年人有 2 人，记为d , e ，
从中随机先取 2 人，基本事件共 10 个，分别为：
(a, b) , (a, c) , (a, d ) , (a, e) , (b, c) , (b, d ) , (b, e) , (c, d ) , (c, e) , (d , e) ， 其中这 2 人中有老年人包含的基本事件有 4 个，分别为：
(a, b) , (a, c) , (a, d ) , (a, e) ，
:这 2 人中有老年人的概率为 .
（3）根据表中的数据，得到：
报团游的满意率为 自助游的满意率为 ∵ P4 > P5 ，:建议他选择报团游.
【点睛】概率的计算：
（1）由频率估计概率；
（2）利用古典概型、几何概型求概率；
（3）利用概率公式（互斥事件、相互独立事件、条件概率）求概率
19. 中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组 为了获得茶水温度y ℃关于时间x (min ) 的回归方程模型，通过实验收集在 25℃室温，用同一温度的水冲 泡的条件下，茶水温度随时间变化的数据，并对数据做初步处理得到如下所示散点图．
表中：
（1）根据散点图判断，① y = a + bx 与② y = d. cx + 25 哪一个更适宜作为该茶水温度y 关于时间 x 的回 归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度 y 关于时间 x 的回归方程：
（3）已知该茶水温度降至 60℃口感最佳，根据（2）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需
要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?
附：①对于一组数据(u1, v1 ) , (u2, v2 ) , … , (un , vn )，其回归直线 v = + u 的斜率和截距的最小二乘估计
分别为
②参考数据：e-0.08 ≈ 0.92, e4.09 ≈ 60, ln 7 ≈ 1.9, ln 3 ≈ 1.1, ln 2 ≈ 0.7 ． 【答案】（1）② y = d . cx + 25
（2）y = e4.09-0.08x + 25
（3）7.5 分钟
【解析】
【分析】（1）根据散点图的走势即可对回归方程作出判断和选择；
（2）把非线性回归方程 y = d. cx + 25 化为线性回归直线方程，根据题中表格所给的数据计算求解即可；
（3）由已知当茶水温度降至 60℃口感最佳，即把y = 60 代入（2）中的回归方程，化简可得大约需要放
y
w
73.5
3.85
-95
-2.24
置的时间；
【小问 1 详解】
根据散点图判断，其变化趋势不是线性的，而是曲线的，因此，选② y = d. cx + 25 更适宜此散点的回归 方程.
【小问 2 详解】
由y = d . cx + 25 有：y - 25 = d . cx ，两边取自然对数得：ln(y - 25) = ln(d . cx ) = ln d + x . ln c ，设
w = ln (y - 25) ，a = ln d ， b = ln c ，
则 = ln d + x . ln c 化为： w = bx + a ，又
: a = w -bx = 3.85 + 0.08 × 3 = 4.09 ，:由b = -0.08 = ln c得: c = e-0.08 ， 由a = 4.09＝ln d得：d = e4.09
: 回归方程为：y = d . cx + 25 = e4.09 . e-0.08x + 25 = e4.09-0.08x + 25 ， 即y = e4.09-0.08x + 25 .
【小问 3 详解】
当y = 60 时，代入回归方程y = e4.09-0.08x + 25 得： 60 = e4.09-0.08x + 25 ，化简得：35 = e4.09-0.08x ，即 4.09 - 0.08x = ln 35 ，
又e-0.08 ≈ 0.92, e4.09 ≈ 60, ln 7 ≈ 1.9, ln 3 ≈ 1.1, ln 2 ≈ 0.7 ，
:4.09 - 0.08x = ln 35 约化为：ln 60 - 0.08x = ln 35 ，
即
:大约需要放置 7.5 分钟才能达到最佳饮用口感.