湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题（Word版附解析）

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命题人：郑锋 审题人：严泽芬
试卷满分：150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可.
【详解】由 且 .
故选：C
2. 数据 ， ， ， ， 的平均数与众数的差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出平均数和众数，再求差即可
【详解】解:平均数为 ，众数为 ，差为 ．
故选：B
3. 下列四组函数中 与 是同一函数 是（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系均相同时才是同一函数，
再逐一判断即可.
【详解】解：对于 A， 定义域不同，不是同一函数；
对于 B， 定义域不同，不是同一函数；
对于 C， ，定义域相同，对应法则也相同，满足题意；
对于 D， 定义域不同，不是同一函数，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，属于基础题.
4. 设复数 z 满足 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由条件有 ，求出复数 ，再求复数 的模.
【详解】由 ，
则 ，
所以
故选：D.
5. 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间 与储藏温度 的关系为 （ 、
为常量）.若牛奶在 0 的冰箱中，保鲜时间约是 100h，在 5 的冰箱中，保鲜时间约是 80h，那么在
10 中的保鲜时间约是（ ）
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A. 49h B. 56h C. 64h D. 76h
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，建立方程组，结合指数式的运算性质，利用整体思想，可得答案.
详解】由题意，可得 ，解得 ，则
.
故选：C.
6. 若函数 的值域为 ，则函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令 ，通过换元法将 表示为 ，然后根据二次函数的性质求解出
的值域.
【详解】令 ，得 ， ，则 ，
所以 ，对称轴 ，开口向上且 ，所以 ，
所以函数 的值域为 .
故选：C.
7. 已知函数 ，若对于任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件将问题转化为“ 在 上恒成立”，再根据 求解出 的范围.
【详解】因为对于任意 ， 恒成立，所以 对 恒成立，
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所以 ， ，
又因为 的对称轴为 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
故选：B.
【点睛】方法点睛：一元二次不等式在指定区间上恒成立求解参数范围问题的处理方法：
（1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论；
（2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的大小关
系.
8. 在 中，若 ，则 的形状是
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角
形
【答案】D
【解析】
【详解】由已知 ， 或 ，即 或
， 由 正 弦 定 理 ， 得 ， 即 ， 即
， 均为 的内角， 或 或 ，
为等腰三角形或直角三角形，故选 D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为 n 的样本，其频率分布直方图如图
所示，其中支出在[50，60)内的学生有 60 人，则下列说法正确的是（ ）
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A. 样本中支出在[50，60)内的频率为 0.03
B. 样本中支出不少于 40 元的人数为 132
C. n 的值为 200
D. 若该校有 2000 名学生，则估计有 600 人支出在[50，60)内
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据频率之和为 1 即可求解 A，进而根据选项即可逐一求解.
【详解】样本中支出在[50，60)内的频率为 ，所以 A 错误；
样本容量为 ＝200，支出在[40，50)内的人数为 ，
支出不少于 40 元的人数为 ，所以 B，C 正确；
若该校有 2000 名学生，则估计有 人支出在[50，60)内，故 D 正确．
故选：BCD.
10. 已知定义在 上的函数 满足： 是奇函数， 是偶函数.则下列选项中说法正确的有
（ ）
A. B. 周期为 2
C. 的图象关于直线 对称 D. 是奇函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知条件可得 关于 和直线 对称，从而 的周期 ， ，
进而可判 ABC，对于 D，由于 关于 和直线 对称，可得 关于 对称，再结合周期
可得结论
【详解】由 是奇函数， 是偶函数，可得 关于 和直线 对称，从而 的周
期 ，所以选项 错误，选项 正确；
对选项 ：由对称性及奇函数的性质可知 正确；
对选项 ：有已知 关于 和直线 对称，从而 关于 对称，
又因为 的周期 ，可得 关于 对称，所以 是奇函数，D 正确，
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故选：ACD.
11. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，N 为底面 ABCD 的中心，P 为棱 A1D1 上的动点（不包括两个端点），M
为线段 AP 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. CM 与 PN 是异面直线
B.
C. 过 P，A，C 三点的正方体的截面一定不是等腰梯形
D. 平面 PAN⊥平面 BDD1B1
【答案】BD
【解析】
【分析】连接 ，因为点 ， 平面 可得 平面 ，因为点 ，
平面 可得 平面 可判断 A；
以 为原点， 所在的直线分别为 的正方向建立空间直角坐标系，
设 ，求出 ， ， 配方后可判断 B；
取 的中点 ，可得四边形 是梯形，由 ，
可判断 C；
由线面垂直的判断定理可得 底面 ，再由面面垂直的判断定理可判断 D.
【详解】
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如上图，连接 ，因为点 ， 平面 ，所以 点在平面 ，即 平面 ，
因为点 ， 平面 ，所以 点在平面 ，即 平面 ，
即 不是异面直线，故 A 错误；
如上图，以 为原点， 所在的直线分别为 的正方向建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ，
所以 ， ，
， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，故 B 正确；
如上图，取 的中点 ，连接 ，则 ， ，
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所以四边形 是梯形，
因为 ，所以 ，
所以此时四边形 是等腰梯形，故 C 错误；
如上图，因为底面 是正方形，所以 ，
因为 底面 ，所以 ，因为 ，
所以 平面 ，且 平面 ，所以平面 平面 ，
即平面 平面 ，故 D 正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 ，若 为纯虚数，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，得到 ，再利用模长的计算公式，即可求解.
【详解】由 为纯虚数，得 ，解得 ，
所以 ，则 ，
故答案为： .
13. 已知四棱锥 的底面为矩形， ，
则其外接球的表面积为________．
【答案】
【解析】
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【分析】根据勾股定理和它的逆定理，结合球的表面积公式进行求解即可.
【详解】如图取 中点 ，底面中心为 ，外接球的球心为 ，则 底面 ，
由因为 ，
所以 ， ，
即 ， ， ，
因此有 ， ，
，
设球的半径为 ， ．
在直角梯形 中，
在直角 中，
联立得 ，即 ，故球的表面积为 .
故答案 ：
14. 已知圆 的半径为 2，弦长 ， 为圆 上一动点，则 的最大值为______.
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【答案】6
【解析】
【分析】取 的中点 ，连接 ， ，计算 ，求出 ，得出 的最大值，即
可得出 的最大值．
【详解】取 的中点 ，连接 ， ， ，如图所示：
因为 为 中点，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以最大值为 ；
所以 的最大值为 .
故答案为：6．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续 120 天苹果的日销售量（单位： ），
并绘制频率分布直方图如下：
（1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数、中位数和平均数；（同一组中的数据以这
组数据所在区间中点的值作代表）
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（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，
又能 90%地满足顾客的需求（在 10 天中，大约有 9 天可以满足顾客的需求）.请问每天应该进多少千克苹果？
【答案】（1）众数为 85，中位数 89.375，平均数 89.75；（2）102.5 千克.
【解析】
【分析】（1）根据图中最高矩形可求众数，利用频率是 0.5 可求中位数，利用区间中点的值和频率可求平
均数；
（2）先确定进货量的范围 ，结合能 90%地满足顾客的需求，可求结果.
【详解】（1）如图示：区间 频率最大，所以众数为 85，
中位数设为 x，则 ，可得 .
平均数为：
（2）日销量[60，100)的频率为 ，日销售量[60，110)的频率为 ，
故所求的量位于
由 得
故每天应该进 102.5 千克苹果
16. 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ．
（1）若 ， ，求 的值；
（2）若 ，且 的面积 ，求 a 和 b 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出 ，利用余弦定理即可求解；
（2）由三角恒等变换和正弦定理得到 ，结合 求出 ，由三角形面积得到方程，
求出 ，从而求出 a 和 b 的值.
【小问 1 详解】
， ， ，故 ，
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由余弦定理得 ；
【小问 2 详解】
，由半角公式得
，
即 ，
即 ， ，
，
由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，故 ，
的面积 ，故 ，
联立 与 得 .
17. 《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图， 平面 ，
，四边形 中， ， ， ， ．
（1）证明：四面体 为鳖臑；
（2）求点 C 到平面 的距离．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理和勾股定理及逆定理得到 ⊥ ， 为直角三角形，由题目条件得到
⊥平面 ， ⊥ ， 为直角三角形，结合 为直角三角形，得到结论；
（2）由等体积法进行求解，得到点 C 到平面 的距离.
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【小问 1 详解】
四边形 中， ， ， ， ，
由勾股定理得 ，且 ，
故 .
在 中，由余弦定理得 ，
故 ，由勾股定理逆定理得 ⊥ ， 为直角三角形.
因为 平面 ， ，故 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ，
故 为直角三角形.
因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
所以 为直角三角形.
综上，四面体 为鳖臑；
【小问 2 详解】
，
因为 平面 ，且 ，所以 ，
由（1）知 ⊥ ，在 中，由勾股定理得 ，
所以 ，
设点 C 到平面 的距离为 ，其中 ，
所以 ，点 C 到平面 的距离为 .
18. 已知 中， ， ， ，点 D 在边 BC 上且满足 .
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（1）用 、 表示 ，并求 ；
（2）若点 E 为边 AB 中点，求 与 夹角的余弦值.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解，
（2）由向量的线性运算表示向量，由数量积，利用夹角公式即可求解.
【小问 1 详解】
，
所以
,
【小问 2 详解】
易知 ,
所以 ,
又
,
所以 ,
19. 如图，在五棱锥 中，平面 平面 ， ， ．四边形 为
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矩形，且 ， ， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值；
（3）求直线 与平面 所成角的正弦值的最小值．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直，得到线面垂直， ⊥ ，结合 得到线面垂直；
（2）作出辅助线，找到 即为二面角 的平面角，由勾股定理和余弦定理求出各边，最后
由余弦定理求出二面角的余弦值；
（3）设点 到平面 的距离为 ，直线 与平面 所成角大小为 ，则 ，要想
直线 与平面 所成角的正弦值的最小，则 最小即可，设 ，由等体积法和余弦定理，面积
公式得到 ，从而求出 的最小值，得到正弦的最小值.
【小问 1 详解】
平面 平面 ，交线为 ，又 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ， ， 平面 ，
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故 ⊥平面 ；
【小问 2 详解】
， ， ，
由勾股定理得 ，
平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ， ，由勾股定理得 ，
过点 作 ⊥ 于点 ，则 ，
故 ，
过点 作 ⊥ ，交 于点 ，连接 ，
故 即为二面角 的平面角，
由勾股定理得 ，
又 ，
由余弦定理得 ，故 ，
在 Rt 中， ，即 ，解得 ，
故 ，
在 Rt 中， ，
由余弦定理得 ，
故 ，
在 中，由余弦定理得 ，
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故二面角 的余弦值为 ；
【小问 3 详解】
连接 ，因为 ， ，所以 ，
又 ， ⊥ ，由勾股定理得 ，
设点 到平面 的距离为 ，直线 与平面 所成角大小为 ，
则 ，
要想直线 与平面 所成角 正弦值的最小，则 最小即可，
，
由（1）得 平面 ，故 ，
设 ，则 ， ，
故 ，
在 中，由余弦定理得
，
故 ，
则 ，
因 ，所以 ，
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故 ，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值的最小值为 .
【点睛】方法点睛：立体几何二面角求解方法：
（1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解.
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