湖北省武汉市2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题（Word版附解析）

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全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准
准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题
区域均无效.
3.选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作
答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 的共轭复数的虚部为（）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算进行化简，进而可求其共轭复数，进而可得虚部.
【详解】 ，其共轭复数为 ，
故 的共轭复数的虚部为 1.
故选：A
2 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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【解析】
【分析】根据诱导公式和正弦的差角公式，对原式进行化简，可得结果.
【详解】
.
故选：D.
3. 已知 ， ，则 在 上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量的计算公式求解即可.
【详解】 ，
，
，
在 上的投影何量为 ，
故选：C
4. 已知 ，则 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出 ，再由二倍角公式及齐次化可得
【详解】 ， ，
，
故选：B
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5. 为了得到函数 的图像，只要把正弦函数上所有点（）
A. 向右平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式将 变成 ，再由平移变换可选出正确答案.
【详解】 ，
只要把 上所有点向左平移 即可得到
故选：C
6. 下列命题正确的个数是（）
①空间中三条不同的直线 ， ， 满足 ， ， ，则 ， ， 共面
②已知直线 ， 和平面 ，且 ， ，则
③如果平面 平面 ，平面 平面 ，那么平面 平面
④已知平面 ， ， ，且 ， ， ，则
A 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
【答案】B
【解析】
【分析】对于①，由异面垂直可判断①；对于②， 也成立；对于③，结合正方体判断不正确；对于④
，由面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理可证明.
【详解】对于①，当 与 异面垂直时， 此时不共面，故①错误；
对于②， ， 或 ，故②错误；
对于③，垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，如正方体左侧面和右侧面都垂直于上下底面，但左侧面
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和右侧面不垂直，故③错误；
对于④， ，设 ，
在平面 内存在直线 ，使得
， ，
， ，
， ， ，
， ，
， ，
和 相交，且
，故④正确.
故选：B
7. 海上某货轮在 处看灯塔 ，在货轮的南偏东 ，距离为 海里处；在 处看灯塔 ，在货轮的
南偏西 ，距离为 海里处，货轮由 处向正南航行到 处时看灯塔 在北偏东 ，则灯塔 与
处之间的距离为（ ）
A. 海里 B. 40 海里 C. 海里 D. 海里
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可求出 ，再由正弦定理可得 ，再利用余弦定理可求解 .
详解】如图所示，依题意 ．
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中， ，
由己弦定理得 ， ．
在 中，由余弦定理可得
，
所以 ，
故选：C
8. 在三棱锥 中， ， ， ， ， 为 的中点，三棱锥
的外接球的表面积为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直角三角形性质可得 为 的外心，结合球体性质可知 平面 ，由等腰三角形
性质可知 的外心 在 上且 ，进而可得直线 与平面 所成角与 互余，
结合球的表面积可得 ，结合勾股定理可得 ，结合正弦定理可得 ，由勾股定理可得 ，进而
结合余弦定理计算即可．
【详解】如图，设球心为 的外接圆圆心为 ，连接 ，
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因为 为 的中点， ，所以 为 的外心，
由 为 的外心，得 三点共线，且 ．
由题意得 平面 平面 ，则 ，
故直线 与平面 所成角为 的余角，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
设三棱锥 的外接球的半径为 R，则 ，解得 R=3，即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以由正弦定理可得 ，解得 ，
所以 ，
在 中， ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
故选：B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 在正四棱柱 中， ， 分别是 ， 的中点，则（）
A. B. 平面 C. D. 平面
【答案】BC
【解析】
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【分析】根据线线垂直、线面平行、线线平行的判定定理、性质定理逐一证明即可.
【详解】对于 A， 为正四棱柱，
在底面 的射影为 ，
平面 ， 与 不重直，
与 不垂直，故 A 错误；
对于 B，连接 ，取 的中点 ，连接 ，
易知 ，
四边形 为平行里边形，
，
同理可知 也为平行四边形，
，
又 ，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
平面 平而 ，
平面 ，故 B 正确；
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对于 C，取 的中点 ，连接 ，
易知 ，
四边形 平行四边形，
，同理可证 平行四边形，
，
又 ， ，
，
四边动 为平行四边形，
， ，
，
四边形 为平行四边行，
，故 C 正确；
对于 D，连接 则
平面 平面 ，
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，
，
平面 ，
平面 ，
， ，
与 不垂直，故 与平面 不可能垂直，故 D 错误，
故选：BC
10. 某新能源汽车公司对 600 辆量产车进行电池续航测试，其中 360 辆为 SUV 车型，240 辆为轿车车型.质
检部门采用分层抽样（按车型分层）抽取 60 辆车，实测满电续航里程.经计算：SUV 车型样本均值为 475
公里，方差为 20；轿车车型样本均值为 465 公里；所有 60 辆样本车的总方差为 48.下列说法正确的是（
）
A. SUV 车型的样本容量为 36 B. 每辆轿车被抽入到样本的概率为
C. 所有样本车的平均续航里程为 471 公里 D. 轿车续航里程的样本方差为 30
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据分层抽样的抽样比公式，以及均值和方差公式，即可求解.
【详解】由题意可知，SUV 车型应抽取 辆车，故 A 正确；
轿车车型应抽取 辆车，
每辆轿车被抽入到样本的概率为 ，故 B 错误；
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所有样本车的平均续航里程为 公里，故 C 正确；
设轿车续航里程的样本方差为 ，
由题意， ，
解得 ，故 D 正确.
故选：ACD.
11. 通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对
看作一个向量，记 ，则称 为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于
， ， 、 、 、 、 ，我们有如下运算法则：① ；②
；③ ；④ .
则下列结论正确的是（）
A. 若 ， ，则
B. 若 ， ，则
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A，用定义 求解即可；对于 B，用 ，结合 求
解即可；对于 C，用定义求出左右两边是否相等即可；对于 D，左边用 和
定义求出，右边也求出，看是否相等即可.
【详解】对于 A，因为 ， ，
所以 ，故 A 错误；
对于 B，因为因为 ， ，
所以 ，
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所以 ，故 B 正确；
对于 C， ，所以 ，
，所以 ，
所以 ，故 C 正确；
对于 D，设 ，则 ，
所以 ，故 D 正确;
故选：BCD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知圆台的上底面直径为 1，下底面直径为 2，母线长为 1，则该圆台的体积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用圆台的轴截面求出圆台的高，再根据圆台的体积公式求解即可.
【详解】如图所示，作圆台的轴截面，依题意 ，
则 ，过点 作 ，则
在 中， ，即圆台的高为
圆台的体积 ，
故答案为：
13. 若点 是函数 图像的一个对称中心，则 的最小值为__________.
【答案】
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【解析】
【分析】根据余弦函数的对称中心可列出等式，进而求解.
【详解】 是 图象的一个对称中心，
，
，
，
，
当 时， ，
故答案为：
14. 中，点 在边 BC 上， ， ， ，则 面积的最小值
是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可求出 ，进而可求 ，利用面积相等可得 ，利用基
本不等式结合三角形面积公式即可求解.
【详解】 ， ，
，
，
，
整理得 ，
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所以 ，解得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ．
故 面积的最小值为 ，
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设 ， 是不共线的两个向量.
（1）若 ，求实数 的值；
（2）已知向量 ， 满足 ， ， ，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据共线向量定理列出等式求解即可;
（2）由垂直可得数量积为 0，进而可得 ，再由向量的模的计算公式求解即可.
【小问 1 详解】
是两个不共线的向量， ，
，
，
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，解得 .
【小问 2 详解】
，
，即 ，
.
16. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知
.
（1）求角 的大小；
（2） ，延长 CA 至 ，使 点是线段 CD 的中点， ，求 边的长度.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正余弦定理边角互化，可得 ，利用余弦定理的推论可求角 的余弦值，
继而可得角 .
（2）在 中，分别表示出 ， ，再利用 的关系可得
，结合（1）中 建立方程组即可求 ，得到 边的长度.
【小问 1 详解】
由正弦定理得
，
即
即 ，则 ，
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又 ，所以 .
【小问 2 详解】
由题知 ， ， ，
在 中，
， ，
又 ，
所以 ，
即
由（1）知 ，即 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
即 .
17. 某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对 200 名应聘者进行专业技能测试.应聘者的测试分
数 全部介于 30 分到 80 分之间，公司将所有分数分成 5 组： ， ，…，
，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）.
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（1）估计此次测试分数的平均值 ；
（2）公司计划按照分数从高到低选拔前 50 名的应聘者进入面试环节，试估计这 50 名应聘者的最低分数；
（3）试估计这 200 名应聘者的分数 的方差 ，并判断此次得分为 63 分和 72 分的两名
应聘者的成绩是否进入到了 范围内？
（参考公式： ，其中 为各组频数，参考数据： ）.
【答案】（1） （2）65
（3） ， 分的应聘者的成绩进入到了 的范围内， 分的应聘者的成绩没有进入到
了 的范围内.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式求解即可；
（2）依题意可知求第三四分位数所对应的分数；
（3）根据频率分布直方图中方差的计算公式求解即可，然后求出 即可判断.
【小问 1 详解】
1－5 组的频率分别为 ，
.
【小问 2 详解】
，
这 50 名应骋者的最低分数为第三四分位数所对应的分数，
前 3 组的频率之和为 ，
前 4 组的频率之和为 ，
第三四分位数落在 内，设为 m，
则 ，解得
这 50 名店骋者的量低分数力 65 分.
小问 3 详解】
依题意 ，
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，
， ，
，
分的应聘者的成绩进入到了 的范围内，
分的应聘者的成绩没有进入到了 的范围内.
18. 如图，在四棱锥 中， 底面 ABCD， ， ， .
（1）若 平面 .证明： ；
（2）若平面 平面 ， ，
（i）证明： ；
（ii）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见详解
（2）（i）证明见详解；（ii）
【解析】
【分析】（1）由题意可求出 ，进而可知 ，由题可知 所以可证 平面
，再由线面平行的性质定理可得 ，进而 平面 ，再由线面垂直的性质定理可证
；
（2）（i）利用面面直的性质定理可得 平面 ，再利用线面垂直的性质定理可得 ，进而
可证 平面 ，进而可证 ；（ii）先找出二面角 的平面角，在三角形中求解
即可.
【小问 1 详解】
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在 中，
由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
， ，
底面 ， 平面 ， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
， 平面 ，
平面 ， .
【小问 2 详解】
如图：
过点 作 于点 ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ， ，
又 平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ， .
（ii）由（i）知 ， ，
， ， .
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如图：
过点 作 于点 ，再过点 作 于点 ，连接 ，
平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ，
为二面角 的平面角，
，
，
又 ，
．
由（i）知 平面 ，
平面 ， ，
，
又 ，
， ，
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在 中， ．
即二面角 的正弦值为 .
19. 如图，正方形 ABCD 中，边长为 a，E 为 中点，F 是边 上的动点，将 ， 分别沿
着 折起，使 A，B 两点重合于点 S.
（1）求证： ；
（2）当 F 是边 BC 的中点时，将 ， ， 分别沿着 折起，使 A，B，C 三
点重合于点 S，求三棱锥 的外接球的表面积；
（3） ，若 ，设直线 与平面 所成角为 ，求 的最大值.
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题可知 ，根据线面垂直的判定即可证明 平面 ，继而得到
；
（2）根据题意可得 两两垂直，三棱锥 可放入以 为边的长方体中，长方体体
对角线就是其外接球直径，求出体对角线长即可得到外接圆面积；
（3）利用等体积法可得点 到平面 的距离为 ，根据线面角的定义可得
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，再利用函数的单调性求最值即可.
【小问 1 详解】
在正方形 ABCD 中, ,
所以翻折后 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
【小问 2 详解】
在正方形 ABCD 中， ，翻折后 ，
又 ，所以 两两垂直，
三棱锥 可放入以 为边的长方体中，
所以长方体体对角线就是其外接球直径，长度为
，
即外接球半径 ，表面积
三棱锥 SDEF 的外接球的表面积 .
【小问 3 详解】
设 ，设点 到平面 的距离为 ，
则 ，
， ，
则 ，
第 21页/共 22页
，
又由（1）知 平面 ，所以 ，
，解得 ，
又直线 与平面 所成角为 ，
所以 ，
又因为 ，当 ，即 时取等，
所以 在 单调递减，即 ，
则 ，
所以 的最大值为 .
第 22页/共 22页