2025届江西中考数学试题【含答案】

这是一份2025届江西中考数学试题【含答案】，共34页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题卷
说明：
1 ．本试题卷满分 120 分，考试时间为 120 分钟．
2 ．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效．
一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂 在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分．
1 ．下列各数中，是无理数的是( )
A ．0 B ． C ．3.14 D ．
2 ．在 1 个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是( )
A ．固态氢 B ．固态氧 C ．固态氮 D ．固态酒精
3 ．下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
晶体
固态氢
固态氧
固态氮
固态酒精
熔点（单位： °C ）
-259
-218
-210
-117
A．
B．
C．
D．
4 ．某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的 学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是( )
A ．随机抽取城区三分之一的学校 B ．随机抽取乡村三分之一的学校
C ．调查全体学校 D ．随机抽取三分之一的学校
5 ．如图， △ABC 是面积为 1 的等边三角形，分别取AC，BC，AB 的中点得到△A1B1C1 ；再分 别取A1C ，B1C ，A1B1 的中点得到△A2B2 C2 ； …依此类推，则 △An Bn Cn 的面积为( )
A ．(çè n+1 B ． ç n C ． D ．(çè n-1
6 ．在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、 丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是( )
A ． 甲 B ． 乙 C ．丙 D ．丁
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
7 ．化简： =
8 ．因式分解：a2 - a =
9 ．如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为 度．
10 ．不等式-x +1 > 0 的解集为
11 ．小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费 6000 元油费行驶的路程与纯电 汽车耗费 1000 元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50 元，求纯电汽 车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为 x 元，可列分式方程为
12 ．如图，在矩形ABCD 纸片中，沿着点A 折叠纸片并展开，AB 的对应边为AB¢ ,折痕与 边BC 交于点P ．当AB¢ 与AB ，AD 中任意一边的夹角为15° 时， Ð APB 的度数可以是
三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）
计算
（2）如图，已知点 C 在AE 上，AB∥CD ， Ð1= Ð2 ．求证：AE Ⅱ DF ．
14 ．化简
15 ．如图，在6× 5 的正方形网格中，点A ，B ，C 均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要
求完成作图．（保留作图痕迹）
(1)在图 1 中作出BC 的中点；
(2)在图 2 中作出 △ABC 的重心．
16．校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒， 分别装着写有“幻方” 、“数独” 、“华容道” 、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取 一个盲盒，盲盒打开即作废．
(1)若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是( )
A ．必然事件 B ．随机事件 C ．不可能事件
(2)若某轮只有小贤与小艺两位同学参加开盲盒游戏，请用画树状图法或列表法，求两人恰
好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率．
17 ．如图，点 A ，B ，C 在ΘO 上，上ACB = 35° ,以 BA ，BC 为边作 □ABCD ．
(1)当BC 经过圆心 O 时（如图 1），求 ÐD 的度数；
(2)当AD 与ΘO 相切时（如图 2），若ΘO 的半径为 6，求 的长．
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
18 ．如图，直线 与反比例函数 的图象交于点A(6, 2) ．
(1)求一次函数和反比例函数解析式；
(2)将直线 l 向上平移，在 x 轴上方与反比例函数图象交于点 C，连接OA，OC ，当 上1= 上2 时，求点 C 的坐标及直线 l 平移的距离．
19 ．图 1 是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图 2 所示，AE 与 DE 两处是墙，AB 与 CD 两处是固定的玻璃隔板，BC 处是门框，测得AB = BC = CD = 60cm ，
上ABC = 上BCD = 135° , MN 处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点 M，N 分别在 BC，
CD 对应的轨道上滑动．当点 N 与点 C 重合时，推拉门与门框完全闭合；当点 N 滑动到限 位点 P 处时，推拉门推至最大，此时测得上CNM = 6°
(1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中，
① 上CMN 的最小值为________度，最大值为________度； @ △CMN 面积的变化情况是( )
A ．越来越大 B ．越来越小 C ．先增大后减小
(2)当上CMN = 30° 时，求 △CMN 的面积．
20 ．系文物考古研究院用1:1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸
馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率 = × 100% ）如下表：
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共 16 公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋 头酒共 36 公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的 2 倍，芋头糟醅量是第一次的 3 倍．
(1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？
(2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的 80% ．若粮食糟醅
类别
原材料
出酒 率
粮食 酒
粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水
30%
芋头 酒
芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水）
20%
中大米占比约为 ，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少 公斤大米？
五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）
21 ．某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口
味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持 浓缩咖啡 30 毫升和牛奶 150 毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案 A：10 毫升； 方案 B：30 毫升；方案 C：50 毫升），并从 300 位品尝嘉宾中随机抽取 10 位嘉宾对每种方 案的甜度和整体口感评分（以 1 至 10 的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越
好）．
数据处理
根据收集到的数据，绘制了下列统计图表．
数据应用
(1)在表 1 中，m = ________ ，n = ________．
请根据整体口感评分，说明三个方案中哪个方案最受欢迎．
(2)结合图 1，估计 300 位嘉宾在三个方案中最喜爱方案 C 的人数．
(3)补全图2，并简单分析糖浆的加入量对饮品口味的影响．
(4)调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为3: 7 ，现按照这个占比计算三种 方案的综合得分，得分大于6.5 分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪 种方案．
22 ．问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0 = m 时，其对应的函数值y0 = m ，那么我 们称该函数为“不动点函数”，点(m, m) 为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数y= x2 中，当x =1 时，y = 1，则我们称函数y= x2 为“不动点函数”，点(1,1) 为该函数图象上的一个 不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究 1
（1）对一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 进行探究后，得出下列结论：
① y = x + 2 是“不动点函数”，且只有一个不动点； ② y = -3x + 2 是“不动点函数”，且不动点是 ③ y = x 是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）．
（2）若一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 是“不动点函数”，请直接写出 k，b 应满足的条件；
探究 2：
（3）对二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若
抛物线y = x2 - 2bx + c 的顶点为该函数图象上的一个不动点，求 b ，c 满足的关系式． 探究 3：
（4）某种商品每件的进价为 6 元，在某段时间内，若以每件 x 元出售，可卖出(12 - x)件， 获得利润y 元．请写出y 关于 x 的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理 由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
六、解答题（本大题共 12 分）
23 ．综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋
转放缩问题展开探究．
...
特例研究
在正方形ABCD 中，AC，BD 相交于点 O．
（1）如图 1 ， △ADC 可以看成是△AOB 绕点 A 逆时针旋转并放大 k 倍得到，此时旋转角的 度数为________ ，k 的值为________；
（2）如图 2，将△AOB 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为 α,并放大得到△AEF （点 O ，B 的 对应点分别为点 E，F），使得点 E 落在OD 上，点 F 落在BC 上，求的值
类比探究
（3）如图 3，在菱形ABCD 中，上ABC = 60° , O 是AB 的垂直平分线与BD 的交点，将△AOB 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为 α, 并放缩得到△AEF （点 O ，B 的对应点分别为点 E ，F）， 使得点 E 落在OD 上，点 F 落在BC 上．猜想 的值是否与 α 有关，并说明理由；
（4）若（3）中上ABC = b ，其余条件不变，探究BA，BE，BF 之间的数量关系（用含 β 的 式子表示）．
1 ．B
【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不 循环小数，③含有 τ 的数．结合选项逐一判断即可．
【详解】解：A 、0 是整数，属于有理数，本选项不符合题意；
B 、 ·2 是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意；
C 、3.14 是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意；
D 、 是分数，属于有理数，本选项不符合题意；
故选：B．
2 ．D
【分析】本题考查负数的知识， 负数大小的比较．分别比较几个凝固点的大小，即可得到解 答．．
【详解】解：由表格可知，固态氢的熔点为-259°C ，固态氧的熔点为 -218°C ，固态氮的熔 点为-210°C ，固态酒精的熔点为-117°C ，
∵ -259 < -218 < -210 < -117 ， :熔点最高的是固态酒精．
故选：D．
3 ．A
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图 形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转 180 度，如果旋转后的图 形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折 叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A．
4 ．D
【分析】本题考查了抽样调查的可靠性， 样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即 各个方面，各个层次的对象都要有所体现．如果抽取的样本得当，就能很好地反映总体的情
况，否则抽样调查的结果会偏离总体情况．
【详解】解：A、随机抽取城区三分之一的学校，调查不具代表性，故本选项不符合题意；
B、随机抽取乡村三分之一的学校，调查不具广泛性，故本选项不符合题意；
C、调查全体学校，虽全面，但耗时耗力，不符合“尽快”要求，故本选项不符合题意；
D、随机抽取三分之一的学校，调查具有广泛性、代表性，故本选项符合题意； 故选：D．
5 ．C
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定 理得到△A1B1C1- △ABC ，相似比 = ， △A1B1C1 的面积 △A2B2 C2 的面积 ， 总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：Q 点A1 、B1 、C1 分别为等边 △ABC 的边AC，BC，AB 的中点，
:B1C1 = AC ， ，
: △ A1B1C1- △ABC ，相似比 ，
Q △ABC 的面积为 1，
: △A1B1C1 的面积 同理， △A2B2 C2 的面积 ， ……
则 △An Bn Cn 的面积 ， 故选：C．
6 ．A
【分析】本题考查了正比例函数的性质 ．根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】解：如图，
根据题意得 ， : y = kx ，
根据正比例函数的意义，k 值越大，图象越陡，反之图象越陡，k 值越大，
:观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲， 故选：A．
7 ．2
【分析】本题主要考查了立方根， 牢记常见数的立方根是解题的关键．直接写出 8 的立方根 即可解答．
【详解】解：: 23 = 8 ，
故答案为 2．
8 ．a (a -1)
【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接运用提取公因式法解答即可．
【详解】解：a2 - a = a (a -1) ． 故答案为：a (a -1)．
9 ．720
【分析】本题考查了多边形的内角和公式；根据 n 边形的内角和公式(n - 2)×180° 进行计算 即可．
【详解】解：根据图形知，空白部分为六多边形，
六边形的内角和为(6 - 2) ×180° = 720° , 故答案为：720．
10 ．x < 1
【分析】本题考查解一元一次不等式．根据一元一次不等式的解法，先移项，再系数化为 1，即可求解．
【详解】解：移项，得 -x > -1 ， 系数化为1，得 x < 1．
故答案为：x < 1．
11 ．
【分析】本题考查分式方程的应用．设纯电汽车每百公里的耗电费为 x 元，由每百公里的耗 油费为(x + 50) 元，根据“燃油汽车耗费 6000 元油费行驶的路程与纯电汽车耗费 1000 元电费 行驶的路程相同”列出分式方程即可．
【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为 x 元，由每百公里的耗油费为(x + 50) 元， 根据题意得 ，
故答案为 ．
12 ．82.5° 或52.5° 或37.5°
【分析】本题主要考查矩形的性质和折叠的性质，解题的关键是要分情况讨论 AB¢ 与AB ， AD 的夹角情况，再利用矩形的性质和折叠的性质以及直角三角形两锐角互余的性质求出
Ð APB 的度数．
【详解】解：①当AB¢ 与AB 的夹角为15° 时， 即上BAB ¢ = 15° ,如图：
Q 上BAB ¢ = 15° , 上BAP = 上B¢AP ,
,
,
: 上BAP = 上B¢AP = 15° ÷ 2 = 7.5° Q 上ABP = 90°
: 上APB = 90° - 7.5° = 82.5° ;
@当AB¢ 与AD 的夹角为15° 时，
即上BAB¢ = 75° ,如图：
Q 上BAB¢ = 75° , 上BAP = 上B¢AP ,
,
: 上BAP = 上B¢AP = 75° ÷ 2 = 37.5°
,
Q 上ABP = 90°
: 上APB = 90° - 37.5° = 52.5° ; 或上BAB¢ = 105° ,如图：
Q 上BAB¢ = 105° , 上BAP = 上B¢AP ,
,
: 上BAP = 上B¢AP = 105° ÷ 2 = 52.5°
,
Q 上ABP = 90°
: 上APB = 90° - 52.5° = 37.5° ;
综上， Ð APB 的度数可以是82.5° 或52.5° 或37.5° .
故答案为：82.5° 或52.5° 或37.5° .
13 ．（1）5；（2）见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，零次幂以及绝对值和相反数的性质．
（1）根据绝对值和相反数的性质，零次幂的性质化简，再计算即可求解；
（2）根据平行线的性质求得 上1 = 上ACD ，等量代换得到 上2 = 上ACD ，再利用平行线的判 定定理即可得到AE Ⅱ DF ．
【详解】（1）解： -3 +
= 3 +1+1
= 5 ；
（2）证明：∵ AB∥CD ，
: 上1= 上ACD ， ∵ 上1= 上2 ，
: 上2 = 上ACD ， : AE Ⅱ DF ．
14 ．
【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加 法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可．
解

15 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计，矩形的性质，以及三角形重心的定义．
（1）利用矩形的性质即可作出 BC 的中点；
（2）根据 △ABC 的重心就是三边中线的交点，即可作出图形． 【详解】（1）解：如图，点 D 即为所作；
;
（2）解：如图，点 F 即为所作；
.
16 ．(1)B
【分析】本题主要考查了随机事件、列表法求概率等知识点，正确列表成为解题的关键．
（1）直接根据随机事件的定义即可解答；
（2）将“幻方” 、“数独” 、“华容道” 、“鲁班锁”四个游戏分别记作A、B 、C、D，然后列表确 定所有等可能结果数以及符合题意的结果数，然后运用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵随机抽取一个盲盒并打开，四个游戏均有可能， :随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件．
故选 B．
（2）解：“幻方” 、“数独” 、“华容道” 、“鲁班锁”四个游戏分别记作A 、B 、C、D，
根据题意列表如下：
则共有 12 种结果，两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的情况数为 2．
所以两人恰好抽中装着写有“华容道”和“鲁班锁”卡片盲盒的概率为 ．
17 ．(1) 55°
【分析】（1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出上BAC = 90° , 再求出上ABC = 90° - 35° = 55° , 再根据平行四边形的性质得出上D = 上ABC = 55° ;
A
B
C
D
A
A ，B
A ，C
A，D
B
B，A
B ，C
B，D
C
C，A
C，B
C，D
D
D，A
D ，B
D ，C
（2）连接 AO 、CO ，根据切线性质得出 AO 丄 AD ，证明 OA 丄 BC ，得出 BE = CE ，
说明OA 垂直平分BC ，根据线段垂直平分线的性质得出 AB = AC ，根据等腰三角形性质得 出上ABC = 上ACB = 35° , 根据圆周角定理得出上AOC = 2上ABC = 70° , 最后根据弧长公式求 出结果即可．
【详解】（1）解：∵ BC 经过圆心 O，
: BC 为ΘO 的直径， : 上BAC = 90° ,
∵ 上ACB = 35° ,
: 上ABC = 90° - 35° = 55° ,
∵四边形ABCD 为平行四边形， : 上D = 上ABC = 55° ;
（2）解：连接 AO 、CO ，如图所示：
∵ AD 与ΘO 相切， : AO 丄 AD ，
: 上OAD = 90° ,
∵在YABCD 中BC∥AD ， :∠OEC = ∠OAD = 90° , : OA 丄 BC ，
: BE = CE ，
: OA 垂直平分BC ， : AB = AC ，
: 上ABC = 上ACB = 35° , : 上AOC = 2上ABC = 70° ,
【点睛】本题主要考查了切线的性质， 弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的
性质，垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握 相关的判定和性质．
18 ．(1)一次函数的解析式为 ，反比例函数和解析式为
(2)点C(2, 6) ，直线 l 平移的距离为 ．
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，全等三 角形的判定和性质，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先得到点A 和点C 关于直线y= x 对称，可求得C(2, 6) ，设直线 l 向上平移n 个单位经 过点C(2, 6) ，再利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数y = k ≠ 0) 的图象经过点A(6, 2) ， : k = 6 × 2 = 12 ，
∵直线l : y = x + m 经过点A(6, 2) ，
解得m = -2 ，
:一次函数的解析式为 ，反比例函数和解析式为
（2）解：作一三象限的角平分线y = x ，如图，
∵ 上1= 上2 ，: 上COE = 45° - 上2 = 45° - 上1= 上AOE ，
根据双曲线的对称性，知点A 和点C 关于直线y= x 对称， : OA = OC ，
作AB 丄 x 轴于点B ，作CD 丄 y 轴于点D ，
∵ OA = OC ，上1= 上2 ，上ABO = 上CDO = 90° ,
: △ABO≌△CDO (AAS) ， ∵ A (6, 2) ，
: CD = AB = 2 ，OD = OB = 6 ，
:点C(2, 6) ，设直线 l 向上平移n 个单位经过点C(2, 6) ， :平移后的直线为
解得 ，
:直线 l 平移的距离为 ．
19 ．(1)①0° , 39° ; ②C．
【分析】（1）①根据临界点运用已知条件以及三角形内角和定理即可解答；②由由特殊情 况分析：点N与点C 重合时，S = 0 ；过没有点 P 的限制，点N与点D 重合时，S = 0 ；即 可解答；
（2）如图 2，过 N 作NG 丄 BC 延长线于 G 当上CMN = 30° 时， 由勾股定 理可得MG = 30 ，再根据等腰直角三角形的性质可得 CG = NG = 30 ，则MC = 30 - 30 ； 最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：①当点 N 与点 C 重合时，推拉门与门框完全闭合，此时上CMN 有最小值 0° ;
当点 N 滑动到限位点 P 处时，推拉门推至最大，上CNM = 6° ,则此时 上CMN 有最大值． ∵ 上CNM = 6° , 上BCD = 135° ,
: 上CMN = 180° - 6° -135° = 39° ,即 上CMN 有最大值为39° .
故答案为：0° , 39° .
②由特殊情况分析：点N与点C 重合时，S = 0 ；
过没有点P 的限制，点N与点D 重合时，S = 0 ；
: △CMN 面积的变化情况是先增大后减小．
故选：C．
（2）解：如图 2，过 N 作NG 丄 BC 延长线于 G
当上CMN = 30° 时
: 上NCG = 45° , : CG = NG = 30 ，
: MC = MG - CG = 30 - 30 ，
平方米）．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、含 30 度 直角三角形的性质，理解题意解题的关键．
20 ．(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是 40 、20 公斤．
(2)需要准备37.5 公斤大米．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确 列出方程组和方程是解题的关键．
（1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是 x、y 公斤，则第一次实验用粮食糟醅 和芋头糟醅的质量分别是2x,3y 公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备 z 公斤大米，则粮食糟醅的质量为4z ， 再根据题意列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是 x、y 公斤，则第一次实 验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是2x,3y 公斤，
由题意可得 解得
答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是 40 、20 公斤．
（2）解：两次实验得到的粮食酒总量为(40 + 40 × 2)×30% = 36 公斤，
设需要准备 z 公斤大米，则粮食糟醅的质量为4z ，
由题意可得：4z×30% × 80% = 36 ，解得：z = 37.5 千克． 答：需要准备37.5 公斤大米．
21 ．(1) 2.4 ，5，方案 B
(2)90 人
(3)图见解析，随着糖浆的加入量的增多，饮品甜度不断增加，整体口感得分先增高后降低
(4)推断该店将会推出方案 B
【分析】（1）根据图 1 求方案 A 整体口感的平均数可得得到 m 的值；根据方案 C 整体口感 的得分以及中位数的定义解答即可，再根据平均数和中位数即可确定最受欢迎方案；
（2）由图一可知最喜欢方案 C 的嘉宾有 3 人，然后运用样本估计整体即可解答；
（3）根据表 1 补全图 2，再根据图 2 进行分析即可解答；
（4）分别求得三种方案的加权平均数，然后比较判断即可．
【详解】（1）解：方案 A 整体口感的平均数为 即 m = 2.4 ．
方案 C 整体口感得分从小到大排列为：2 ，2 ，3 ，3 ，5 ，5 ，5 ，8 ，8 ，9，则中位数为
即n = 5 ．
由表 1 可知：方案 B 的平均数和中位数都最大，方案 B 最受欢迎．
故答案为：2.4 ，5．
（2）解：由图 1 可知：最喜欢方案 C 的有 3 人，则 300 位嘉宾在三个方案中最喜爱方案 C
的人数为 人．
答：估计 300 位嘉宾在三个方案中最喜爱方案 C 的人数为90 人．
（3）解：补全图 2 如下：
由图 2 可知：随着糖浆的加入量的增多，饮品甜度不断增加，整体口感得分先增高后降低．
（4）解：方案 A 综合得分为：2.1 × 0.3 + 2.4 × 0.7 = 2.31 ；
方案 B 综合得分为：6.5 × 0.3 + 7.1 × 0.7 = 6.92 ；
方案 C 综合得分为：8.5 × 0.3 + 5 × 0.7 = 6.05 ； 由6.92 > 6.5 ，则推断该店将会推出方案 B．
【点睛】本题主要考查了折线统计图、条形统计图、平均数、中位数、用样本估计整体等知 识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
22 ．（1）③；（2）当k ≠ 1且k ≠ 0 时，b 为任意实数；当k = 1 时，b = 0 ；（3）b = c - b2 ；
（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为 8 元或 9 元时，销售总利润与销售单价相等．
【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点(m, m) ，计算即可判断；
（2）根据“不动点函数”的定义，代入点(m, m) ，计算即可得解；
（3）先求得顶点坐标为(b, c - b2 )，根据“不动点函数”的定义，即可得到b = c - b2 ；
（4）根据题意得，y = (x - 6)(12 - x) = -x2 +18x - 72 ，令 x = -x2 +18x - 72 ，解方程即可求 解．
【详解】解：（1）①对于y = x + 2 ， 由于m ≠ m + 2 ，
所以y= x + 2 不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于y = -3x + 2 ，代入点(m, m) ，
得m = -3m + 2 ，
解得
所以y = -3x + 2 是“不动点函数”，且不动点是 原说法错误；
③ y = x 是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③;
（2）:一次函数y = kx + b (k ≠ 0) 是“不动点函数”， :代入点(m, m) ，
得m = mk + b ，
整理得(1- k)m = b ，
当1- k ≠ 0 即k ≠ 1且k ≠ 0 时，b 为任意实数；
当1- k = 0 即k = 1 时，b = 0 ；
（3）由抛物线 y = x2 - 2bx + c = (x - b)2 + c - b2 得， 顶点坐标为(b, c - b2 )，
∵抛物线y = x2 - 2bx + c 的顶点为该函数图象上的一个不动点， : b = c - b2 ；
（4）根据题意得，y = (x - 6)(12 - x) = -x2 +18x - 72 ，
:令x = -x2 +18x - 72 ， 整理得x2 -17x + 72 = 0 ， 解得x1 = 8 ，x2 = 9 ，
:该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为 8 元或 9 元时，销售总利润与销售单价相等．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的 定义是解题的关键．
的值与 α 无关，理由见解析；（4）BF + BA = 2BE cs ． 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可；
（2）由题意得△AEF ∽△AOB ，推出 上EAB = 上EAO ， 再得到
△AFB∽△AEO ，推出 根据正方形的性质求解即可；
（3）同理可证△AFB∽△AEO ，得到，根据线段垂直平分线的性质求得 AB = 2BG ，再根据余弦函数的定义求解即可；
（4）同理可证，上BAO = ， 根据BE = OE + OB ，求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形ABCD ，
: 上OAB = 上DAC = 45° , AD = OA ，
AD
:旋转角为45° , k = = ·、 ，
OA
故答案为：45° ； 、 ；
（2）如图，
根据题意得△AEF ∽△AOB ，
:△AFB∽△AEO ，
: 上OAB = 45° , 上AOB = 90° ,
的值与 α 无关，理由如下， 如图，
同理可证△AFB∽△AEO ，
:菱形ABCD 中，上ABC = 60° , : 上ABO = 30° ,
:O 是AB 的垂直平分线与BD 的交点， : AO = BO ，
: 上BAO = 上ABO = 30° ,
过点O 作OG 丄 AB 于点G ，
的值与 α 无关；
（3）同理可证，上
: BE = OE + OB ，
【点睛】本题考查了旋转的性质， 相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分 线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．