第二章　§2.12　函数的零点与方程的解-2026年高考数学大一轮复习课件含试题及答案（提高版）

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§2.12　函数的零点与方程的解 课标要求　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解. 1.函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y=f(x)，我们把使　　　　　的实数x叫做函数y=f(x)的零点.  (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有　　　　⇔函数y=f(x)的图象与　　　　有公共点.  (3)函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有　　　　　　　　，那么，函数y=f(x)在区间　　　　　内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得　　　　　，这个c也就是方程f(x)=0的解.  2.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且　　　　　　　　的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间　　　　　　　　，使所得区间的两个端点逐步逼近　　　　，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.  1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　) (2)连续函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点.(　　) (4)求函数零点的近似值都可以用二分法.(　　) 2.下列函数图象与x轴均有交点，则不能用二分法求图中函数零点近似值的是(　　) 3.函数f(x)=ln x-1x的零点所在的大致区间是(　　) A.1e，1 B.(1，2) C.(2，e) D.(2，3) 4.设f(x)=|x2-2x|，则函数y=f(x)-2 024的所有零点之和为　　　　　　.  1.谨记三个相关性质 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)=0的实数解. (2)图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号. 2.谨防两个易错易混 (1)连续函数f(x)在区间[a，b]上，若满足f(a)f(b)0，g(x)=f(x)-x-a，若函数g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A.[-1，0) B.[1，+∞) C.(-∞，1] D.[2，+∞) 命题点2　根据函数零点的范围求参数 例4　已知函数f(x)=3x-1+axx.若存在x0∈(-∞，-1)，使得f(x0)=0，则实数a的取值范围是(　　) A.-∞，43 B.0，43 C.(-∞，0) D.43，+∞ 思维升华　根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围). (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围. (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解. 跟踪训练3　(1)(2025·镇江模拟)已知a∈R，函数f(x)=ex-a，x≤0，-ln(x+1)-a，x>0在R上没有零点，则实数a的取值范围为(　　) A.(0，+∞) B.(1，+∞) C.[1，+∞)∪{0} D.(1，+∞)∪{0} (2)(多选)(2024·柳州模拟)已知函数f(x)=x2+2x-3，x≤0，-2+lnx，x>0，令h(x)=f(x)-k，则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞) B.当h(x)有3个零点时，k∈(-4，-3] C.当k=-2时，h(x)的所有零点之和为-1 D.当k∈(-∞，-4)时，h(x)有1个零点 答案精析 落实主干知识 1.(1)f(x)=0　(2)零点　x轴 (3)f(a)f(b)0时，f(x)=x-2+ln x在(0，+∞)上单调递增，并且f(1)=1-2+ln 1=-10， 即f(1)f(2)0与h(x)=|log3x|的交点个数， 在同一个坐标平面内画出两个函数的图象，如图所示， 则两个图象交点的个数为2，即f(x)的零点个数为2.] 跟踪训练2　(1)C　[函数f(x)=3x|log2x|-1的零点， 即3x|log2x|-1=0的解， 即|log2x|=13x的解， 即y=|log2x|与y=13x图象的交点，如图所示， 从函数图象可知，y=|log2x|与y=13x有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2.] (2)6 解析　令36-x2≥0，解得-6≤x≤6， 所以f(x)的定义域为[-6，6]. 令f(x)=0得36-x2=0或cos x=0， 由36-x2=0得x=±6， 由cos x=0得x=π2+kπ，k∈Z， 又x∈[-6，6]， 所以x的取值为-3π2，-π2，π2，3π2. 故f(x)共有6个零点. 例3　D　[由函数f(x) =2-x+1，x≤0，ln 1x，x>0， 因为g(x)=f(x)-x-a，令g(x)=0，即f(x)=x+a， 由函数g(x)有2个零点，即y=f(x)和y=x+a的图象有两个交点， 在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示， 结合函数的图象，要使函数g(x)有2个零点，则a≥2， 所以实数a的取值范围为[2，+∞).] 例4　B　[由f(x)=3x-1+axx=0，可得a=3x-1x， 令g(x)=3x-1x，其中x∈(-∞，-1)， 由于存在x0∈(-∞，-1)， 使得f(x0)=0， 则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞，-1)上的值域. 由于函数y=3x，y=-1x在区间(-∞，-1)上均单调递增， 所以函数g(x)在(-∞，-1)上单调递增. 当x∈(-∞，-1)时， g(x)=3x-1x0， 所以函数g(x)在(-∞，-1)上的值域为0，43. 因此实数a的取值范围是0，43.] 跟踪训练3　(1)D　[当x≤0时，01； 当x>0时，ln(x+1)>0， 若关于x的方程ln(x+1)=-a无解，则a≥0.综上，a的取值范围为(1，+∞)∪{0}.] (2)BD　[函数f(x)=x2+2x-3，x≤0，-2+lnx，x>0， 结合二次函数和对数函数的图象和性质，作函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(-1，0)和(0，+∞)，A选项错误； h(x)的零点即函数y=f(x)的图象和直线y=k交点的横坐标，由图象可知，当h(x)有3个零点时，k∈(-4，-3]，B选项正确； 解方程可知，当k=-2时，h(x)有两个零点，-1-2和1，所有零点之和为-2，C选项错误； 当k∈(-∞，-4)时，函数y=f(x)的图象和直线y=k有1个交点，即h(x)有1个零点，D选项正确.]