西藏拉萨那曲第一高级中学2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷[附解析]

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全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的
指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题
区域均无效．
3．选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上
作答；字体工整，笔迹清楚．
4，考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：必修第一册第五章，必修第二册第六章､第七章､第九章､第十章．
一､单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 复平面内表示复数 的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】化简复数可得 ，即可根据复数的几何意义得出答案.
【详解】根据复数的除法运算求解 ，
所以，复平面内表示该复数的点为 ，
所以，复平面内表示复数 的点位于第三象限.
故选：C.
2. 计算 的值（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】利用两角差的余弦公式计算可得.
【详解】 .
故选：C．
3. 某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品，产量之比为 现用按比例分配的分层随机抽样的方法
抽取一个容量为 n 的样本，若样本中 A 种型号的产品有 8 件，则样本容量 n 的值为（ ）
A. 48 B. 36 C. 54 D. 42
【答案】A
【解析】
【分析】根据分层抽样的比例关系求得答案.
【详解】因为某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，三种产品产量之比为 1：2：3，
已知抽得 种型号的产品 8 件，
所以 ，
解得 .
故选：A
4. 设点 O 是正三角形 ABC 的中心，则向量 ， ， 是（ ）
A. 相同的向量 B. 模相等的向量
C. 共线向量 D. 共起点的向量
【答案】B
【解析】
【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解
【详解】 是正 的中心，向量 分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，
到三个顶点的距离相等 ，但向量 ， ， 不是相同向量，也不是共线向
量，也不是起点相同的向量.
故选：B
5. 已知复数 满足 （ 是虚数单位），则 （ ）
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A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，求得 ，根据题意求得 的值，即可求解.
【详解】设 ，可得
因为 ，所以
解得 ，所以 .
故选：A.
6. 函数 的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二倍角公式化简函数，再利用余弦函数的周期公式计算作答.
【详解】依题意， ，所以 的最小正周期为 .
故选：A
7. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则 的
最大内角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断角最大，再结合余弦定理求角即可.
【详解】因为 ，所以角 最大．
由 余 弦 定 理 ， 得 ， 即 ， 所 以 ， 又
，所以 ．
故选:C．
8. 从装有 2 个红色乒乓球和 3 个白色乒乓球的口袋内任取 3 个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个
事件是（ ）
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A. 恰有 1 个白色乒乓球与至少 2 个白色乒乓球
B. 至少 2 个白色乒乓球与都是白色乒乓球
C. 至少 1 个白色乒乓球与至少 1 个红色乒乓球
D. 恰有 1 个红色乒乓球与恰有 1 个白色乒乓球
【答案】D
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案.
【详解】恰有 1 个白色乒乓球与至少 2 个白色乒乓球是对立事件，故 A 错误；
至少 2 个白色乒乓球与都是白色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故 B 错误；
至少 1 个白色乒乓球与至少 1 个红色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故 C 错误；
恰有 1 个红色乒乓球与恰有 1 个白色乒乓球是互斥事件而不是对立事件，故 D 正确.
故选：D.
二､多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9. 已知复数 ， 为 的共轭复数，则下列各选项正确的是（ ）
A. 是虚数 B. 的虚部为
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】结合复数及共轭复数的概念，复数模的公式，复数的几何意义，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
A 选项中，由于 虚部不为 0，所以 是虚数，A 正确；
B 选项中， 的虚部为 1，B 错误；
C 选项中，当复数的虚部不为零时，不能比大小，C 错误；
D 选项中， ， ， ，D 正确．
故选：AD．
10. 下列抽查，适合抽样调查的是（ ）
A. 进行某一项民意测验
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B. 调查某化工厂周围 5 个村庄是否受到污染
C. 调查黄河的水质情况
D. 调查某药品生产厂家一批药品的质量情况
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据抽样调查的定义逐项判断可得答案.
【详解】对于 A，由于民意测验的特殊性，不可能也没必要对所有的人都进行调查，因此也是采用抽样调
查的方式，故 A 正确；
对于 B，适合全面调查，故 B 错误；
对于 C，因为无法对所有的黄河水质进行全面调查，所以只能采取抽样调查的方式，故 C 正确；
对于 D，对药品的质量检验具有破坏性，所以只能采取抽样调查，故 D 正确；
故选：ACD.
11. 已知正六边形 的中心为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 存在实数 ，使得 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 ABC：根据正六边形的几何性质结合向量的线性运算分析判断；对于 D：根据题意结合向量
的数量积运算分析判断.
【详解】如图，不妨设正六边形 的边长为 1，
对于选项 A：因 ，故 A 正确；
对于选项 B：因为 ，故 B 错误；
对于选项 C：因为 ，
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且 ，
可知 ，故 C 正确；
对于选项 D：因为 ，
则 ，
，
所以 ，故 D 正确；
故选：ACD.
12. 已知事件 与事件 ， 是事件 的对立事件， 是事件 的对立事件，若 ， ，
则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若事件 与事件 是互斥事件，则
C. 若事件 与事件 相互独立，则
D. 若 ，则事件 与事件 相互独立
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据对立事件可判断 A；根据互斥事件和独立事件的的概率公式即可判断 BCD.
【详解】 ，故 A 正确；
因为事件 与事件 是互斥事件，所以 ，故 B 错误；
若事件 与事件 相互独立，则事件 与事件 相互独立，
所以 ，故 C 正确；
因为 ，所以 ，
所以事件 与事件 相互独立，所以事件 与事件 相互独立，故 D 正确．
故选：ACD．
三､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
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13. 某工厂 12 名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是 ， ，
则这组数据的第 75 百分位数是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据百分位数的定义及求解方法计算即可.
【详解】这组数据按从小到大的顺序排列为 ．
因为 ，
所以这组数据 第 75 百分位数是 ．
故答案为：
14. 已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的除法运算化简 ，进而求得 .
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
15. 已知函数 ，其最小正周期为 ，则 的一个对称中心的坐标为
___________．
【答案】 ，（答案不唯一，横坐标只需符合 ）
【解析】
【分析】根据 的性质，求函数的对称中心只需满足 求
解即可.
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【详解】根据 ，得 ，则 ，
令 ，即 ，
所以 ．
故答案为： （答案不唯一，横坐标只需符合 ）
16. 在 中， ，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用正弦定理化角为边求出边 ，再利用余弦定理即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
由余弦定理 .
故答案为： .
四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤．
17. 已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】（1）由已知条件和同角三角函数求得 ，再运用正弦、余弦的二倍角公式可得答案；
（2）根据（1）的结论和正弦的和角公式可求得答案.
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【详解】解：（1）因为 ，所以 ，
所以 ，
．
（2） ．
【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，正弦、余弦函数的二倍角公式，正弦的和角公式，属于基础题.
18. 已知复数 且 为虚数单位，当 为何值时：
（1）复数 是实数；
（2）复数 是虚数；
（3）复数 是纯虚数.
【答案】（1） 或
（2） 且 且
（3）
【解析】
【分析】（1）由题知 ，解方程即可得答案；
（2）由题知 ，再解不等式即可得答案；
（3）由题知 ，进而求解即可；
【小问 1 详解】
解：当 为实数时，有 ，解得 或 .
所以， 或 ，复数 是实数.
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【小问 2 详解】
解：当 为虚数时，有 ，解得 且 且 .
所以，当 且 且 时，复数 是虚数；
【小问 3 详解】
解：当 为纯虚数时，有 ，解得 .
所以，当 时，复数 纯虚数.
19. 举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生
的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队 2 人，每人回答一个问题，
回答正确积 1 分，回答错误积 0 分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率
均为 ，乙队两人回答问题正确的概率分别为 ，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立.
（1）求甲队总得分为 1 分的概率；
（2）求两队积分相同的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可知甲队得 1 分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件概率乘法公式
运算求解；
（2）根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为 0 分，1 分，2 分的概率，结合独立事件概率
乘法公式运算求解.
【小问 1 详解】
记“甲队总得分为 1 分”为事件 A，甲队得 1 分，则一人回答正确，另一人回答错误，
所以 ；
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【小问 2 详解】
由题意可知：甲队积 0 分，1 分，2 分的概率分别为 ，
乙队积 0 分，1 分，2 分的概率分别为 ，
记两队积分同为 0 分，1 分，2 分的分别为事件 ，
因为两队得分相互独立，互不影响，
则 ，
所以两队积分相同的概率为 .
20. 已知平面向量 ， ， ，且 ．
（1）若 ，且 ，求向量 的坐标；
（2）若 ，且 ，求 的值．
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）设 ，根据已知条件得出方程组 ，解方程组即可求解；
（2）根据 ， ，利用向量坐标运算分别计算出 、 ，再利用垂直关系得出关
于 的方程，解方程即可求解.
【小问 1 详解】
设 ，
， ，又 ， ，
，
或 ，
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或 ；
【小问 2 详解】
， ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，整理有： ，
解得 ．
21. 为了研究的需要，某科研团队进行了如下动物性实验：将实验核酸疫苗注射到小白鼠身体中，通过正常
的生理活动产生抗原蛋白，诱导机体持续作出免疫产生抗体，经过一段时间后用某种科学方法测算出动物
体内抗体浓度，得到如图所示的统计频率分布直方图.
（Ⅰ）求抗体浓度百分比的中位数；
（Ⅱ）为了研究“小白鼠注射疫苗后出现副作用 症状”，从实验中分层抽取了抗体浓度在 ，
中的 6 只小白鼠进行研究，并且从这 6 只小白鼠中选取了 2 只进行医学观察，求这 2 只小白鼠中
恰有 1 只抗体浓度在 中的概率.
【答案】（1）4；（2） .
【解析】
【分析】（1）本小题先设中位数，再根据频率分布直方图求中位数的公式直接求解即可.
（2）本小题先根据分层抽样求出在两个区间各抽取多少小白鼠，再写出所有的基本事件与目标事件的基本
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事件，最后根据古典概型直接求概率即可.
【详解】解：（1）设抗体浓度百分比的中位数为 ，
由题意： ，
解得：
所以抗体浓度百分比的中位数为 4.
（2）根据频率分布直方图：抗体浓度在 ， 中的比例为 ，
则抽取的 6 只小白鼠中抗体浓度在 中的有 只，分别是 、 、 、 ；则抽取的 6
只小白鼠中抗体浓度在 中的有 只，分别是 、 ,从这 6 只小白鼠中选取了 2 只进行
医学观察的样本有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 ,共 15 个，其中 2 只小白鼠中恰有 1 只抗体浓度在 中的样本有：
、 、 、 、 、 、 、 ,共 8 个，所以 2 只小白鼠中恰有 1 只抗体浓度
在 中的概率为： ，
【点睛】本题考查根据频率分布直方图求中位数，分层抽样，古典概型求概率，是基础题.
22. 已知在锐角 中，角 ， ， 所对 边分别为 ， ， ，且
．
（1）求角 的大小；
（2）当 时，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，由余弦定理及同角三角函数的基本关系化简求解即可；
（2）利用正弦定理将边化角，由三角恒等变化可得 ，再由正弦型三角函数的值域
求解即可.
【小问 1 详解】
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因为 ，
由正弦定理可得 ，
由余弦定理 ，即 ，
所以 ，又 锐角，∴ ．
【小问 2 详解】
由正弦定理得 ，
， ，
则
，
由 ，可得 ， ，
∴ ，∴ ．
即 的取值范围为 .
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