西藏拉萨那曲第一高级中学2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份西藏拉萨那曲第一高级中学2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．复平面内表示复数的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．计算的值（ ）
A．B．C．D．
3．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产量之比为现用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的产品有8件，则样本容量n的值为（ ）
A．48B．36C．54D．42
4．设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ）
A．相同的向量B．模相等的向量
C．共线向量D．共起点的向量
5．已知复数满足（是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
6．函数的最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
7．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的最大内角为（ ）
A．B．C．D．
8．从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（ ）
A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球
B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球
C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球
D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知复数，为的共轭复数，则下列各选项正确的是（ ）
A．是虚数B．的虚部为
C．D．
10．下列抽查，适合抽样调查的是（ ）
A．进行某一项民意测验
B．调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染
C．调查黄河的水质情况
D．调查某药品生产厂家一批药品的质量情况
11．已知正六边形的中心为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．存在实数，使得
D．
12．已知事件与事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若事件与事件是互斥事件，则
C．若事件与事件相互独立，则
D．若，则事件与事件相互独立
三、填空题（本大题共4小题）
13．某工厂12名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是，，则这组数据的第75百分位数是 ．
14．已知复数满足（为虚数单位），则 .
15．已知函数，其最小正周期为，则的一个对称中心的坐标为 ．
16．在中，，则 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．已知复数且为虚数单位，当为何值时：
(1)复数是实数；
(2)复数是虚数；
(3)复数是纯虚数.
19．举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队两人回答问题正确的概率分别为，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立.
(1)求甲队总得分为1分的概率；
(2)求两队积分相同的概率.
20．已知平面向量，，，且．
(1)若，且，求向量的坐标；
(2)若，且，求的值．
21．为了研究的需要，某科研团队进行了如下动物性实验：将实验核酸疫苗注射到小白鼠身体中，通过正常的生理活动产生抗原蛋白，诱导机体持续作出免疫产生抗体，经过一段时间后用某种科学方法测算出动物体内抗体浓度，得到如图所示的统计频率分布直方图.
（Ⅰ）求抗体浓度百分比的中位数；
（Ⅱ）为了研究“小白鼠注射疫苗后出现副作用症状”，从实验中分层抽取了抗体浓度在，中的6只小白鼠进行研究，并且从这6只小白鼠中选取了2只进行医学观察，求这2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在中的概率.
22．已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)当时，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【分析】化简复数可得，即可根据复数的几何意义得出答案.
【详解】根据复数的除法运算求解，
所以，复平面内表示该复数的点为，
所以，复平面内表示复数的点位于第三象限.
故选C.
2．【答案】C
【分析】利用两角差的余弦公式计算可得.
【详解】.
故选C．
3．【答案】A
【分析】根据分层抽样的比例关系求得答案.
【详解】因为某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，三种产品产量之比为1：2：3，
已知抽得种型号的产品8件，
所以 ，
解得.
故选A.
4．【答案】B
【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解.
【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，
到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.
故选B.
5．【答案】A
【分析】设，求得，根据题意求得的值，即可求解.
【详解】设，可得
因为，所以
解得，所以.
故选A.
6．【答案】A
【分析】利用二倍角公式化简函数，再利用余弦函数的周期公式计算作答.
【详解】依题意，，所以的最小正周期为.
故选A.
7．【答案】C
【分析】先判断角最大，再结合余弦定理求角即可.
【详解】因为，所以角最大．
由余弦定理，得，即，所以，又，所以．
故选C．
8．【答案】D
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案.
【详解】恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球是对立事件，故A错误；
至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故B错误；
至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故C错误；
恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球是互斥事件而不是对立事件，故D正确.
故选D.
9．【答案】AD
【分析】结合复数及共轭复数的概念，复数模的公式，复数的几何意义，即可求解.
【详解】因为，所以，
由于虚部不为0，所以是虚数，故A正确；
的虚部为1，故B错误；
当复数的虚部不为零时，不能比大小，故C错误；
，，即，故D正确．
故选AD．
10．【答案】ACD
【分析】根据抽样调查的定义逐项判断可得答案.
【详解】对于A，由于民意测验的特殊性，不可能也没必要对所有的人都进行调查，因此也是采用抽样调查的方式，故A正确；
对于B，适合全面调查，故B错误；
对于C，因为无法对所有的黄河水质进行全面调查，所以只能采取抽样调查的方式，故C正确；
对于D，对药品的质量检验具有破坏性，所以只能采取抽样调查，故D正确；
故选ACD.
11．【答案】ACD
【分析】对于ABC：根据正六边形的几何性质结合向量的线性运算分析判断；对于D：根据题意结合向量的数量积运算分析判断.
【详解】如图，不妨设正六边形的边长为1，
对于选项A：因为，故A正确；
对于选项B：因为，故B错误；
对于选项C：因为，
且，
可知，故C正确；
对于选项D：因为，
则，
，
所以，故D正确；
故选ACD.
12．【答案】ACD
【分析】根据对立事件可判断A；根据互斥事件和独立事件的的概率公式即可判断BCD.
【详解】，故A正确；
因为事件与事件是互斥事件，所以，故B错误；
若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立，
所以，故C正确；
因为，所以，
所以事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立，故D正确．
故选ACD．
13．【答案】
【分析】根据百分位数的定义及求解方法计算即可.
【详解】这组数据按从小到大的顺序排列为．
因为，
所以这组数据的第75百分位数是．
故答案为：.
14．【答案】
【分析】利用复数的除法运算化简 ，进而求得 .
【详解】因为，
所以，
所以.
故答案为：.
15．【答案】，（答案不唯一，横坐标只需符合）
【分析】根据的性质，求函数的对称中心只需满足求解即可.
【详解】根据，得，则，
令，即，
所以．
故答案为：（答案不唯一，横坐标只需符合）.
16．【答案】
【分析】先利用正弦定理化角为边求出边，再利用余弦定理即可得解.
【详解】因为，所以，
所以，
由余弦定理.
故答案为：.
17．【答案】（1），
（2）
【分析】（1）由已知条件和同角三角函数求得，再运用正弦、余弦的二倍角公式可得答案；
（2）根据（1）的结论和正弦的和角公式可求得答案.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
；
（2）．
【关键点拨】本题考查同角三角函数间的关系，正弦、余弦函数的二倍角公式，正弦的和角公式，属于基础题.
18．【答案】(1)或
(2)且且
(3)
【分析】（1）由题知，解方程即可得答案；
（2）由题知，再解不等式即可得答案；
（3）由题知，进而求解即可；
【详解】（1）当为实数时，有，解得或.
所以，或，复数是实数.
（2）当为虚数时，有，解得且且.
所以，当且且时，复数是虚数；
（3）当为纯虚数时，有，解得.
所以，当时，复数是纯虚数.
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可知甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件概率乘法公式运算求解；
（2）根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为0分，1分，2分的概率，结合独立事件概率乘法公式运算求解.
【详解】（1）记“甲队总得分为1分”为事件A，甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，
所以；
（2）由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为，
乙队积0分，1分，2分的概率分别为，
记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件，
因为两队得分相互独立，互不影响，
则，
所以两队积分相同的概率为.
20．【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设，根据已知条件得出方程组，解方程组即可求解；
（2）根据，，利用向量坐标运算分别计算出、，再利用垂直关系得出关于的方程，解方程即可求解.
【详解】（1）设，
，，又，，
，
或，
或；
（2），，则，，
∵，∴，
即，整理有：，
解得．
21．【答案】（1）4；（2）.
【分析】（1）本小题先设中位数，再根据频率分布直方图求中位数的公式直接求解即可.
（2）本小题先根据分层抽样求出在两个区间各抽取多少小白鼠，再写出所有的基本事件与目标事件的基本事件，最后根据古典概型直接求概率即可.
【详解】（1）设抗体浓度百分比的中位数为，
由题意：，
解得：
所以抗体浓度百分比的中位数为4.
（2）根据频率分布直方图：抗体浓度在，中的比例为，
则抽取的6只小白鼠中抗体浓度在中的有只，分别是、、、；则抽取的6只小白鼠中抗体浓度在中的有只，分别是、,从这6只小白鼠中选取了2只进行医学观察的样本有：、、、、、、、、、、、、、、,共15个，其中2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在中的样本有：、、、、、、、,共8个，所以2只小白鼠中恰有1只抗体浓度在中的概率为：，
22．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，由余弦定理及同角三角函数的基本关系化简求解即可；
（2）利用正弦定理将边化角，由三角恒等变化可得，再由正弦型三角函数的值域求解即可.
【详解】（1）∵，
由正弦定理可得，
由余弦定理，即，
∴，又为锐角，∴．
（2）由正弦定理得，
，，
则
，
由，可得，，
∴，∴．
即的取值范围为.