广西柳州铁一中学2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷[附解析]

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1．（2024高一下·柳州期末）已知集合A=1,a，B=2,a2，若A∪B中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（ ）
A．0B．−1,2C．0,2D．0,−1,2
2．（2024高一下·柳州期末）已知直线l1:3x−y+2=0，直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
3．（2024高一下·柳州期末） “m>1”是“方程x2m−1−y2m+3=1表示的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2024高一下·柳州期末）已知平面向量a,b满足a=1,b=2,a⋅b=1，则2a−b的值为（ ）
A．1B．2C．2D．4
5．（2024高一下·柳州期末）函数fx=x4−x2的图象是下列的（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024高一下·柳州期末）为了得到 y=sin2x+cs2x的图象，只要把 y=2cs2x的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动 π8 个单位长度B．向左平行移动 π8 个单位长度
C．向右平行移动 π4 个单位长度D．向左平行移动 π4 个单位长度
7．（2024高一下·柳州期末）2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道.已知火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料质量M（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系为v=2ln1+Mm.若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（ ）（参考数值：ln2≈0.69,ln244.69≈5.50，结果精确到0.01t,1t=1000kg）
A．890.23tB．755.44tC．244.69tD．243.69t
8．（2024高一下·柳州期末）设F1，F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且AF1⋅AF2=0，AB=4F2B，则椭圆E的离心率为（ ）
A．32B．22C．53D．74
9．（2024高一下·柳州期末）实验E：甲、乙、丙三名同学各自从M、N、K中选了一个字母（不可重复）.记事件A为“乙同学选字母K”，事件B为“甲同学没有选字母N”，则下列正确的有（ ）
A．PA=13B．PB=13C．PA∩B=16D．PA∪B=12
10．（2024高一下·柳州期末）如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，F为AD的中点，CF交DE于点H，将△BAE沿直线AE翻折到△PAE，连接PD,G为PD的中点，则在翻折过程中，下列合题中正确的是（ ）
A．翻折过程中，始终有平面PAE//平面GFC
B．翻折过程中，CG的长是定值
C．若AB=BE，则AE⊥ED
D．存在某个位置，使得CG⊥AP
11．（2024高一下·柳州期末）定义域为R的函数fx，对任意x,y∈R,fx+y+fx−y=2fxfy，且fx不恒为0，下列说法中正确的有（ ）
A．f0=1B．fx为偶函数
C．fx+f0≥0D．若f1=0，则i=12024f(i)=4048
12．（2024高一下·柳州期末）由数学王子高斯证明出的代数基本定理的内容可知一元n次多项式方程有n个复数根，且对于一元二次方程，其两个复数根互为共轭复数．若复数z=2i−3是一元二次方程2x2+px+q=0的一个根，则p+2q= ．
13．（2024高一下·柳州期末）已知sinα+π6−csα=12，则cs2α+2π3= ．
14．（2024高一下·柳州期末）某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为 时，所遮阴影面ABC＇面积达到最大
15．（2024高一下·柳州期末）已知圆M：x2−2x+y2+4y−10=0.
（1）求圆M的标准方程，并写出圆M的圆心坐标和半径；
（2）若直线x+3y+C=0与圆M交于A，B两点，且|AB|=25，求C的值.
16．（2024高一下·柳州期末）2023年国庆节假期期间，某超市举行购物抽奖赢手机的活动．活动规则如下：在2023年9月29日至10月6日期间消费金额（单位：元）不低于100元的顾客获得一张奖券（假设每名顾客只消费一次），奖券尾数随机生成，尾数为奇数和偶数的奖券数量相同，若顾客的奖券尾数为奇数，则获得一份价值5元的礼品，若顾客的奖券尾数为偶数，则获得抽取价值6999元的手机的资格．根据统计，顾客进入该超市消费金额的频率分布直方图如图所示．
以样本估计总体，以频率估计概率．
（1）若有1000名购物的顾客，求送出的礼品的价值金额；
（2）若超市计划投入的活动经费（购买手机的费用与发放的购物券金额总和）不超过顾客消费总金额的10%（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），求每1000名顾客最多送出多少部手机．
17．（2024高一下·柳州期末）如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinC+3acsC−3b+c=0，D为线段BC上一点，且BD=2DC.
（1）求角A；
（2）若AD=3，求△ABC面积的最大值；
18．（2024高一下·柳州期末）在正方体ABCD−A1B1C1D1中
（1）若E,F分别为A1B和CC1的中点，求证：EF//平面ABCD
（2）求二面角C1−BD−C的正切值
（3）如图，O为BD的中点，问：在棱AA1上是否存在一点M，使平面MBD⊥平面OC1D1？如果存在，求出AM:MA1的值；如果不存在，请说明理由．
19．（2024高一下·柳州期末）已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F1为左焦点，且△ABF1的面积为32．
（1）求椭圆M的标准方程：
（2）设椭圆M的右顶点为C、P是椭圆M上不与顶点重合的动点．
①若点P1,32，点D在椭圆M上且位于x轴下方，设△APC和△CDP的面积分别为S1，S2，若S1−S2=32，求点D的坐标；
②若直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点N，如下图，求证：2kQN−kQC为定值，并求出此定值（其中kQN、kQC分别为直线QN和直线QC的斜率）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；并集及其运算
【解析】【解答】解： 集合A=1,a，B=2,a2 ，
若A∪B中恰有三个元素，则a=2或a=a2或1=a2，
当a=2，集合A=1,2，B=2,4 ，符合题意；
当1=a2，即a=±1，当a=1时，集合A=1,1，不满足互异性 ，不符合题意；
当a=−1时，集合A=1,-1，B=2,1 ，符合题意；
当a=a2时，a=1或a=0，当a=0时，集合A=1,0，B=2,0 ，符合题意，
则a的取值组成得集合为0,−1,2.
故答案为：D．
【分析】A∪B中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可.
2．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角；两条直线垂直的判定
【解析】【解答】解：易知直线l1:3x−y+2=0的斜率k1=3，
因为l2⊥l1，所以直线l2的斜率k2=−33，倾斜角为5π6．
故答案为：D．
【分析】先求直线l1额斜率，再根据垂直关系求直线l2的斜率，倾斜角即可.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的标准方程
【解析】【解答】解：若m>1，则m−1>0,m+3>0，所以方程x2m−1−y2m+3=1表示双曲线；
若方程x2m−1−y2m+3=1表示双曲线，则(m−1)(m+3)>0，解得m1，
所以“m>1”是“方程x2m−1−y2m+3=1表示双曲线”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】本题考查双曲线方程，充分必要条件的判断.根据方程表示双曲线方程，可列出不等式，解不等式可求出实数m的取值范围，再根据充分、必要条件的概念可判断出选项.
4．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为a=1,b=2,a⋅b=1，所以2a−b=(2a−b)2=(2a)2−4a⋅b+b2=4a2−4a⋅b+b2=4×1−4×1+22=2.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用平面向量的模，结合数量积的运算律求解即可.
5．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：要使函数fx=x4−x2有意义，则4−x2>0，解得：−2