江苏锡山高级中学2024~2025学年高一下册期末考试数学试题[学生卷]

这是一份江苏锡山高级中学2024~2025学年高一下册期末考试数学试题[学生卷]，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 一个盒子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知一组数据满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 这组数据的40%分位数是
B. 的平均数小于的平均数
C. 的方差大于的方差
D. 的极差小于的极差
3. 若为空间中两条不同的直线，为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，则
4. 关于复数与其共轭复数，下列结论正确的是（ ）
A. 在复平面内，表示复数和的点关于虚轴对称
B.
C. 必为实数，必为纯虚数
D. 若复数为实系数一元二次方程一根，则也必是该方程的根
5. 已知事件A，B满足，则 （ ）
A. 若B⊆A，则B. 若A与B互斥，则
C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则C与B相互对立
6. 已知点，若直线与线段AB相交，则实数k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知四棱锥，，平分，点在上且满足，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. 是纯虚数
B. 若，则是方程一个复数根
C. 若，则
D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为
10. 在棱长为1的正方体.中，P为线段上的动点(不包含端点)，则（ ）
A. 存在点P，使得直线与AC所成角为
B. 不存在点P，使得平面APD平面
C. 三棱锥的体积
D. 存在点 P，使得直线垂直于平面
11. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（ ）
A. 正三角形的的费马点是正三角形的中心
B. 若P为费马点, 且 ，则一定为正三角形
C. 若三边长分别为，则该三角形的费马点到各顶点距离之和为
D. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b， c， ，若点P为的费马点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量夹角为，且，则______.
13. 某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65，71，78，82，85，88，90，93，假设这8名学生成绩的第60百分位数是N.若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为______．
14. 在平面直角坐标系xOy中，已知动点到两直线与的距离之和为 ，则的最大值为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值;
（2）若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过9小时，则认为该市区高中生阅读量达标.以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标?
（3）为进一步了解这800名学生阅读时间分配情况，从周平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在内的概率.
16. 已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为.
（1）求直线AC的方程；
（2）求的面积.
17. 省锡中高一社团组织知识竞赛活动.比赛共有两轮答题，第一轮从5个生物问题中任选两题作答，答对其中一题得20分，两题均答对可得50分； 第二轮从5个化学问题中任选两题作答，每答对一题可得30分.甲乙两位同学同时参赛，甲同学回答出每个问题的概率均为0.4，乙同学能回答出生物问题中的3道题，能回答出每道化学问题的概率为0.3.经过两轮比赛后总得分达到80分的同学可以获得一个奖品.
（1）求甲同学在第一轮得分为20分的概率.
（2）甲乙两位同学谁获得奖品的概率更大? 请说明理由.
18. 三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是AB的中点，点E 在线段上，且，线段CD与线段交于点M.
（1）求角B的大小;
（2）若，求的值；
（3）若点G是三角形的重心，求 的最小值.
19. 在四面体中，钝角的三边均为整数且满足.
（1）求的外接圆半径.
（2）（i）设分别为，的外心，过分别作平面BCD，平面ACD的垂线l，m，求证：直线l，m相交于一点.
（ii）若四面体的外接球O的半径为 ，设的外接圆圆心为，延长交球面于点M， ，求直线AM与平面BCD所成角的正弦值.