山西省晋中市2024-2025学年高三下学期4月质量检测数学试卷（Word版附解析）

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等的充要条件得到方程组，求出的值，再计算其模.
【详解】因为，
又，所以，解得，
所以.
故选：C
2. 已知函数是奇函数，且时，，则（ ）
A. 10B. 9C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数的定义列式求解即可.
【详解】由奇函数的定义得，
故选：D.
3. 已知全集，集合，，则下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解出两集合，再由集合的运算逐项判断即可.
【详解】由题意可得，
由可得或，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，不包含，故C错误；
对于D，，，故D错误.
故选：B
4. 用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这些三位数中是3的倍数的有（ ）
A. 3个B. 6个C. 9个D. 12个
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可知由，，和，，组成的三位数是的倍数，再由排列数公式计算可得.
【详解】从数字，，，中选择个数，有，，；，，；，，；，，共四种情况，
其中由，，和，，组成的三位数是的倍数，
所以这些三位数中是3的倍数的有个.
故选：D
5. 已知抛物线焦点为F，P是抛物线C上一点，若P到x轴的距离为4，且，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出，然后根据抛物线的焦半径公式即可得出答案.
【详解】由题得，代入得，
，即，解得，
故选：B.
6. 设随机变量，若，则（ ）
A. 60B. 56C. 12D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项分布的性质和方差的运算公式求解即可.
【详解】由二项分布的性质得，
，
故选：A.
7. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据二倍角正弦公式化简求值，再应用同角三角函数关系及两角和余弦公式计算即可.
【详解】已知，，
所以，所以，
所以，，
则.
故选：C.
8. 数学中的玫瑰线是一种具有周期性的曲线，常见的玫瑰线有三叶玫瑰线、四叶玫瑰线和六叶玫瑰线.已知一个四叶玫瑰线的方程为，其图象如图所示.若将满足，的点称为整点，则满足的整点有（ ）
A. 9个B. 17个C. 25个D. 33个
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式可得，找到在第一象限满足的整点，再找到的整点，则可得四个象限内的整点，再加这一点可得答案.
【详解】由，得，则满足，
因为，
所以，即，
则第一象限内满足的整点有，
其中满足的有，共6个，
所以满足的整点有个.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于函数，则（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数在区间上的值域为
D. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
【答案】AC
【解析】
【分析】先利用降幂公式和辅助角公式将函数化简，然后利用正弦函数的性质依次判断即可．
【详解】
，
对于A：，故A正确；
对于B：，此时有增有减，故B错误；
对于C：，此时，故C正确；
对于D：函数的图象向右平移个单位得，故D错误，
故选：AC．
10. 已知定义域为R的函数满足，且对任意的，，时，恒成立，则“不等式成立”的一个充分不必要条件为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先构造函数，由题意判断其单调性，然后将不等式转化为，再利用函数的单调性和对称性解抽象不等式，最后得到子集即可.
【详解】因为对任意的，，时，恒成立，
设，
则
，
所以函数在上单调递减，
又
，
所以不等式成立等价于，
又定义域为R的函数满足，即函数关于直线对称，
当时，，解得；
当时，因为关于直线对称，即，
所以，解得，
综上不等式成立的条件为，
所以“不等式成立”的一个充分不必要条件为其子集，即或.
故选：BC
11. 如图，在直三棱柱中，，，点M是线段上一点，则下列说法正确的是（ ）

A. 当M为的中点时，平面
B. 四面体的体积为定值
C. 最小值为
D. 四面体的外接球半径的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】由线面垂直的判定定理可得A正确；由线面平行的判定定理证明平面得到三棱锥的高，再由棱锥的体积公式可得B正确；将翻折到与矩形共面再结合余弦定理可得C错误；建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量共线得到点的坐标，再由几何关系把外接球半径用球心坐标表示，结合二次函数的性质求出最值即可.
【详解】对于A，在直三棱柱中，平面，平面，所以，
因为，为中点，所以，
又平面，
所以，即平面，故A正确；
对于B，在直三棱柱中，，又平面，平面，所以平面，
即到平面的距离等于到平面的距离，
所以，即四面体的体积为定值，故B正确；
对于C，将翻折到与矩形共面，如图所示，

连接与相交于点，此时取得最小值，
在中，，，
由余弦定理可得，故C错误；
对于D，在直三棱柱中，以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，

所以，设，
，，
因为点M是线段上任意一点，由，所以，所以可取，，
设四面体外接球球心为，半径为，
则，即，
由对称关系可得，
又，所以，
解得，
因为，所以，
，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，，若，则a的值为________.
【答案】或
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算求解即可.
【详解】，
，即，
所以或，
故答案为：或.
13. 已知双曲线（，）的上、下焦点分别为，，过的直线l与双曲线C的上、下两支分别交于点P，Q.若，，则双曲线C的离心率为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件及双曲线定义得出，再应用离心率公式计算.
【详解】因为，，
所以设所以，
则，所以，
所以，又因为，所以，
则双曲线C的离心率为.
故答案为：.
14. 在中，若，的面积为6，则边长度的最小值是________.
【答案】
【解析】
【分析】设，则，根据三角形的面积公式可得，利用余弦定理计算可得，由辅助角公式和正弦函数的图象与性质可得，解不等式即可.
【详解】设，则，
由，得，
由余弦定理得，
令，则，
即（其中），
所以，即，
得，解得或，即或（舍去），
解得或（舍去），所以的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 2024年12月14日，人民日报健康客户端从深圳市市场监督管理局获悉，深圳率先获批农业农村部农产品质量安全监管司水果质量分级试点，建立优质水果品质评价制度.深圳在全国率先研制集口感、香气、营养等客观理化指标的水果质量分级“深圳标准”，将水果分为、A和B三个等级，其中蓝莓按照横径x（mm）分类标准是：为等级，为A等级，为B等级.某蓝莓生产基地收获蓝莓后按照蓝莓横径x（）（mm）进行分类包装，包装标准为，，，，，，，，质检部从生产线上抽取500盒蓝莓作为样本进行检测，并按横径绘制了频率分布直方图如下.

（1）用样本估计这批蓝莓横径的中位数（精确到0.01mm）；
（2）按等级用比例分配的分层随机抽样的方式从样本中抽取25盒蓝莓做进一步检测，从所抽取的25盒蓝莓中任选2盒.设事件M：2盒蓝莓的等级不相同，事件N：2盒中至少有1盒为B等级，判断事件M与事件N是否相互独立，并说明理由.
【答案】（1）
（2）事件M与事件N不相互独立，理由见详解
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图小矩形面积和为1，求出，由中位数平分所有小矩形面积，计算可得；
（2）由分层随机抽样的方式可得25盒蓝莓中B等级，A等级和等级的盒数为13盒，8盒，4盒，分别求出，和，由与是否相等即可判断事件M与事件N是否相互独立.
【小问1详解】
由频率分布直方图得，
解得.
又，
，
设这批蓝莓横径的中位数为，则，
，解得，
所以这批蓝莓横径的中位数为.
【小问2详解】
因为为等级，为A等级，为B等级，
则由频率分布直方图得水果的B等级，A等级和等级的盒数之比为
，
所以25盒蓝莓中B等级，A等级和等级的盒数为13盒，8盒，4盒，
所以，
，
，
因为，则，
所以事件M与事件N不相互独立.
16. 如图，正方体的棱长为3，M为CD的中点，点N在线段上（不含端点）.
（1）若平面，求证：N为的中点；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求线段CN的长度.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系坐标系，求出两个平面的法向量，结合公式求解即可.
【小问1详解】
连接，经过的平面平面，
又平面，所以，
因为M为CD的中点，所以为的中位线，所以N为的中点
【小问2详解】
以为原点，，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系坐标系，
则，，，，
，，，
设，，则，
设平面的法向量为，
则，
则，取，得，所以，
设平面的法向量为，
则，
则，取，得，所以，
由题可得，解得，
所以.
17. 已知数列的前n项和为，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题中和的关系仿写后作差再变形，再由等比数列的基本量法可得；
（2）由（1）得到等比数列的通项，再两边同除后运用累加法求出数列的通项，再采用列项相消法求和即可.
【小问1详解】
由题意，，
又，解得，
，①
，②
②减①得，
所以，即，
所以数列为以为首项，以3为公比的等比数列.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，
当时，，
所以，即，
经检验，当时，满足上式，
所以，
因为，
所以
.
18. 已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求曲线与曲线的公切线；
（3）已知，若的两个极值点为，，求的取值范围.
【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出导函数，根据的取值情况，讨论导函数的正负，即可得出答案；
（2）根据两个函数的解析式设出切点坐标，根据导数写出切线斜率，然后写出切线方程，列式求解即可；
（3）根据条件求出，，然后构造函数求出函数值域即可
【小问1详解】
，
当时，在时恒成立，此时在单调递增；
当时，令，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；
【小问2详解】
，，，
设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为，，
此时切线方程为，
设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为，
此时切线方程为，
所以，，时两边都是单调的，
且时，等号成立，故，
公切线方程为；
【小问3详解】
，
，即，
因为的两个极值点为，，
所以有两个不同的正数解，所以
又，代入解得，
，，
令，，
，所以在单调递减，
，
故答案为.
19. 某数学兴趣研究小组发现鸡蛋的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面.在空间直角坐标系下，椭球面的方程为（，，），研究小组通过祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”得到对应的椭球体的体积为.该研究小组通过测量得到某鸡蛋对应的椭球面的方程为.
（1）求椭球面C对应的椭球体的体积；
（2）已知椭球面C与坐标面的截痕是椭圆E，过椭圆E的右焦点F作直线l与椭圆E相交于M，N两点，过点M，N分别作椭圆E的切线，两切线交于点A.
①证明：点A定直线上；
②求面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）直接代入公式求解即可；
（2）①根据椭圆方程和切点坐标得出两条切线方程，然后联立得出的坐标，代入求解即可得出答案.
②利用弦长公式和点到直线距离公式表示出三角形的底和高，然后分析函数性质，求值域即可.
【小问1详解】
由题得；
【小问2详解】
①
当时，得椭圆，右焦点F，
当直线l的斜率存在时，设l：，，
与椭圆联立得，
，
此时过M，N时的切线方程分别为，
联立求得的坐标为，
，
所以在直线上；
当直线l的斜率不存在时，其方程为，，代入椭圆方程解得，
所以此时，，
联立解得，也在直线上，
所以点A在定直线上；
②当直线l的斜率存在时，
由①得，所以，
此时，
到直线l的距离，
所以
，
显然当增大时，和都为正，且都在变小，所以也在变小，
当趋近于正无穷大时，趋近于，
当趋近于0时，趋近于正无穷大，
由①知，当直线l的斜率不存在时，，