山东省泰安市2025届高三下学期4月二轮复习检测（二模）数学试卷（Word版附解析）

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数学试题
2025.04
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的补集运算求解.
【详解】因为，
所以，
故选：B
2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法运算、共轭复数、复数的模，复数的几何意义求解.
【详解】因为，
所以，，
所以，
所以复数对应的点在第三象限.
故选：C
3. 已知平面向量，若与夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量夹角为钝角可得向量数量积为负数且不共线得解.
【详解】因为与的夹角为钝角，
所以，且，
解得且，
故选：D
4. 在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.
【详解】函数，与，
答案A没有幂函数图像，
答案B.中，中，不符合，
答案C中，中，不符合，
答案D中，中，符合，故选D.
【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.
5. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. 44B. 33C. 66D. 77
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的性质求解.
【详解】因为,
所以，.
故选：D
6. 某学校为提高学生学习英语的积极性，举办了英语知识竞赛，把2000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（ ）
A. a的值为0.015B. 估计成绩低于80分的有50人
C. 估计这组数据的众数为80D. 估计这组数据的第60百分位数为87
【答案】D
【解析】
【分析】利用频率分布直方图的性质可判定A，根据频率分布直方图计算可估计总体判定可判定B，利用众数、百分位数的求法C，D.
【详解】易知，解得，所以A错误；
成绩低于80分的频率为，所以估计总体有人，所以B错误；
由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即85，所以C错误；
由频率分布直方图可知前两组频率之和为，
前三组频率之和为，故第60百分位数落在区间，设第60百分位数为，则，解得，故D正确.
故选：D.
7. 过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设点，求出设点，由点到直线的距离求出圆心到直线的距离，再由结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】设点，则直线的方程为，
（注：由圆外一点向该圆引两条切线，切点分别为，则直线的方程是），
化简可得：，
所以圆心到直线的距离为：
所以
，
当时，的最小值为.
故选：C.
8. 已知是定义域为单调递增函数，且存在函数，使，若分别为方程和的根，则（ ）
A. 8B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给条件可得，当时可推出，由函数单调性可得，即可得解.
【详解】由题意，，
又，
所以，
若，
则，
所以
由是定义域为的单调递增函数，可知有且只有成立，
所以，
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列选项中正确的是（ ）
A. “”的否定是“”
B. 若回归方程为，则变量与负相关
C. 若，则
D. 五个人并排站在一起，若不相邻，则共有72种不同的排法
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据命题的否定判断A，根据回归方程判断B，根据二倍角的余弦公式及弦化切判断C，根据插空法求解判断D.
【详解】根据存在性命题的否定知，“”的否定是“”，故A正确；
由回归方程为知，，所以变量与负相关，故B正确；
因为，故C错误；
先排除去外的3人，由种不同的排法，再把插空放入，有种放法，根据分步乘法计数原理，可知共有种不同的排法，故D正确.
故选：ABD
10. 已知双曲线的左，右焦点分别为，则下列选项正确的是（ ）
A. 若，则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为
B. 若点在双曲线上，则直线与的斜率之积为
C. 以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线的离心率
D. 若过的直线与轴垂直且与渐近线交于两点，，则双曲线的渐近线方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用双曲线焦点到渐近线距离为b判断A，取特殊位置判断B，由题意求出点坐标代入双曲线方程化简即可得出离心率判断C，利用向量的夹角公式化简即可得出判断D.
【详解】由双曲线的性质知，焦点到渐近线的距离为，故A正确；
在双曲线上取顶点时，直线与的斜率之积为0，故B错误；
由题意点在圆上，又，所以，代入圆的方程，可得，将点代入双曲线方程可得，，即，
所以，故C正确；
直线方程为，与渐近线相交于，
所以，即，
化简可得，解得，所以双曲线渐近线方程为，故D正确.
故选 ：ACD
11. 在平面直角坐标系中，定义两点之间的折线距离为如图，某地有一矩形古文化街区，其内部道路间距均为1，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 若为平面内任意一点，则
C. 当地政府拟沿满足的点的轨迹修建一条街区环线公路，则公路形状为六边形
D. 外卖员从点送餐到点，在保证路程与相等的前提下，左转次数的期望为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据新定义判断A，根据绝对值不等式的性质判断B，根据新定义、排列、直线方程判断C，求出期望判断D.
详解】由定义知，，故A正确；
平面内任意一点，则
，故B正确；
设，则由可得，
因为去掉绝对值分别有3段取值，共可得到个方程，最多对应9条线段，
但当时，方程为，无解，
其余分类中得到的方程含有或，且方程对应的线段相异，
故总的线段条数为，点轨迹图形为八边形，如图所示，
故C错误；
由题意，左转次数可能为，总的走法有，
其中，，所以，
，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式的第4项的系数是_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用展开式的通项公式求解即可.
【详解】，
当时，，
故答案为：
13. 函数的最小值为_______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用导函数求函数的单调性及最值.
【详解】设，定义域为，则.
令，解得，
当时，，则，单调递减；
当时，，则，单调递减；
当时，，则，单调递增.
所以，函数在处取得最小值.
故答案为：.
14. 如图，在母线长为，高为的倒置圆锥形容器（不计厚度）内放置一个底面半径为1的圆柱体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切，则这样的小球最多能放入_______个.
【答案】6
【解析】
【分析】求出满足条件的小球的半径，再由俯视图可求出两个小球球心与底面圆圆心投影连线的夹角，即可得解.
【详解】如图，
则，解得，
由题意，小球与圆柱、圆锥侧面、圆锥底面相切，作轴截面如图所示，
因为，所以，即，
则，设圆的半径为，则，
解得，即小球的半径为1,
作俯视图，
因为为等边三角形，所以，
由可知，这样的小球最多能放入6个.
故答案为：6
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在钝角三角形中，内角所对的边分别为，，，．
（1）若，求的值；
（2）若的面积，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量垂直可得数量积为0，化简后利用正弦定理可得，再由余弦定理求解；
（2）由三角形面积公式求出，再由余弦定理化简得解.
【小问1详解】
，
，
即，
钝角三角形中，，
，
由正弦定理知，，
，
，
【小问2详解】
，，
，或，
当时，，
；
当时，，
此时，，不合题意.
综上，.
16. 如图，斜四棱柱的底面为菱形，平面平面分别为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若都是边长为2等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值，
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直性质可得平面，再由
可得平面，据此即可得出面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量及，利用向量法求线面角的正弦值即可.
【小问1详解】
连接，交于点，
四边形为菱形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
在四棱柱中，分别为的中点，
，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面平面
【小问2详解】
由题意，为中点，
都是正三角形，且，
，
平面平面，平面∩平面，平面，平面，
以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
又，
直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知函数的最小正周期为．
（1）求在点处的切线方程；
（2）若，函数在上单调递减，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简函数解析式后由周期求出，再求出函数导数，得出切线斜率即可得解；
（2）原问题转化为，先利用特殊值求出的范围，再证明即可得解.
【小问1详解】
,
的最小正周期为，
，
，
切线的斜率，
，切点为，
切线方程为.
【小问2详解】
在上单调递减，
在上恒成立，
即
其必要条件为，即，下面证明这条件是充分的.
由，可得，于是，
设，下面证明恒成立.
求导得，
时，单调递增，
在上单调递减，，
时，单调递减，
在上单调递增，
，
存在唯一，使得，
结合的单调性，可得
当时，单调递减；
当时，单调递增.
又，，
，.
综上，.
18. 抛掷一枚质地均匀的骰子次，，记为第次抛掷得到的点数，．
（1）求的概率；
（2）若前次点数之和为7的概率为，且，与互质，设
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）已知正项数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）1（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）写出样本事件空间，根据古典概型求概率即可；
（2）（ⅰ）求出，再由二项展开式化简，求出即可得解；
（ⅱ）由所给条件可得，据此利用裂项相消法求出即可得证.
【小问1详解】
即“前两次点数之和为7”，设为事件，
样本空间，
，
，
，
，
，
即的概率为.
【小问2详解】
（ⅰ）当时，由（1），，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，,,
当时，，
，
互质，互质，
，
；
（ⅱ）证明：
，
，
当时，，
，
，
，
，
，
.
19. 设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）若直线过点，与交于两点，在轴上方，直线交于点，直线交于点．
（ⅰ）求的最小值；
（ⅱ）设直线与直线相交于点中点为交于点，证明：直线与定圆相切．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）6；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设,根据直线的斜率之积为，列方程,整理即可得出曲线的轨迹方程.
（2）（ⅰ）设出直线的方程与曲线E联立，利用韦达定理得，与，联立得，即得的表达式，然后利用基本不等式求出最值即可；（ⅱ）利用斜率公式和三角函数和差角公式可得，得，进而得到圆的方程，利用可得直线与定圆相切．
【小问1详解】
设，则，
所以，
所以，
所以，
即，
所以的方程；
【小问2详解】
（ⅰ）设，
依题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，
，
所以，
所以，
设，
由题意知，，
，
由题意知
，即
所以，
所以，即N在直线上，
由题意知，
所以，即
所以，
所以，即M在直线上，
因为直线AC的方程为，直线AD的方程为，
由，得，
所以，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为6；
（ⅱ）因为直线AC与直线相交于点G，又BG的中点为H，
所以，
设，
当时，
由题意得，
所以，
当时，也满足，
故QH平分，所以QT为BT的中垂线，
，即T在圆上，
又，所以，
所以TH与定圆相切；