【数学】浙江省杭州市S9联盟2024-2025学年高二上学期期中联考试题（解析版）

这是一份【数学】浙江省杭州市S9联盟2024-2025学年高二上学期期中联考试题（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】,
所以复数在复平面对应的点的坐标为，位于第二象限.
故选：B
2 已知集合，，则（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】，又，
所以或.
故选：C
3. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，
则，解得.所以该直线的倾斜角为.
故选：D
4. 在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图，三棱柱中，由为中点，
则.
故选：A.
5. 已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】向量，，由，得，解得或，
反之，当时，共线，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
6. 设偶函数在上单调递增，则满足的的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由于是偶函数，且在上递增，故原不等式等价于.
此即，解得.
故选：C.
7. 已知点，，从点射出光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后又经直线OB反射回点P，则光线经过的路程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意直线方程为，设关于直线的对称点，
则，解得，即，又关于轴的对称点为，
．故选：C

8. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ）

A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】建立如图空间直角坐标系，

则，，.
故点到直线的距离.故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】A：，故A正确；B：，故B错误；
C：，故C正确；
D：，故D正确. 故选：ACD
10. 已知函数，下列命题正确的有（ ）
A. 由可得是的整数倍
B. 的表达式可改写成
C. 的图象关于点对称
D. 的图象关于直线对称
【答案】BD
【解析】因为，
所以.
A项，由，即，
函数最小正周期，则是的整数倍，不一定是的整数倍，故A错误；
B项，，故B正确；
C项，当时，，
即函数的图象关于点不对称，故C错误；
D项，当时，，
即当时，取到最小值，则的图象关于直线对称，故D正确.
故选：BD．
11. 如图，在平行六面体中，，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】设.
A：，所以不成立，故A错误；
B：，
又，所以，故B错误；
C：，所以，故C正确；
D：
，故D正确.
故选：CD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，向量与垂直，则实数的值为________.
【答案】
【解析】向量，，则，，
由向量与垂直，得，所以.故答案为：
13. 已知直线在轴和轴上的截距互为相反数且过点，则这条直线的方程为_____.
【答案】或
【解析】设在轴和轴上的截距分别为和.
若，则过原点，从而由于还过，知其方程为，即；
若，则过两个不同点和，所以其方程为.
由于还过，知，解得，故其方程为，即.
故答案为：或.
14. 已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则的最大值为________.
【答案】
【解析】根据的方程及，知恒过定点，
根据的方程及，知恒过定点.
同时由可知两直线垂直，故，
所以.
故，
所以.
另一方面，当时，有，此时.
所以的最大值是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线.
（1）求过点与直线平行的直线的方程；
（2）求过点与直线垂直的直线的方程.
解：（1）由于的方程可化为，故斜率为，所以的斜率是，
从而的方程是，即.
（2）由于的方程可化为，故斜率为，所以的斜率是，从而的方程是，即.
16. 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程的两根，.
（1）求角的度数；
（2）求的长.
解：（1）由题设可得即，而为三角形内角，故.
（2）由韦达定理可得，
由余弦定理可得，
故.
17. 已知空间三点，，.
（1）求以，为邻边的平行四边形的面积；
（2）若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标.
解：（1）由，，得，，
所以，由，得，
.
（2）设，由或，
或.
18. 设直线，直线.
（1）若，求，之间的距离；
（2）求直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大时的直线的方程.
解：（1）根据两直线平行，可知，解得，
所以的方程是，即.
所以的距离是.
（2）由于横纵截距分别为和，即和，
故根据题意有，，而相应面积
所以即要求在时的最大值，
由于，且当时，
故最大时有.将代入，
知此时的方程为，即.
19. 四棱锥中，平面，，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由.
（1）证明：取中点，连接，，则，
又，所以且，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面.
解：（2）由已知得，，，，，，
又平面，平面，所以，
建立如图空间直角系.
则，，，，，.
显然平面的法向量，，
点到平面的距离.
（3）假设存在点满足题意，令，，则，
显然平面的法向量，设平面的法向量为
由，取，
，
即，解得.
，，.
记与平面所成角为，
则.
存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为