【数学】山东省潍坊市昌邑市2024-2025学年高二上学期11月期中试题（解析版）

这是一份【数学】山东省潍坊市昌邑市2024-2025学年高二上学期11月期中试题（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线过点，，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由于的斜率为，故倾斜角满足，
又，从而. 故选：D.
2. 与向量平行的一个向量的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A，，A不是；对于B，，B是；
对于C，，C不是；对于D，，D不是. 故选：B
3. 已知直线：，：，若，则a的值为（ ）
A. B. 3C. D. 3或
【答案】C
【解析】因为，则，解得或，
当时，：，：，两直线重合，故舍去，
当时，：，：，两直线平行，符合题意，
综上所述，. 故选：C.
4. 已知是直线上一点，且是直线的一个法向量，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由是直线的一个法向量，得直线的一个方向向量为，其斜率为，所以直线的方程为，即. 故选：A
5. 直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切
C. 相离D. 与a的取值有关
【答案】A
【解析】由知直线过，而点在圆内，所以直线与圆相交. 故选：A.
6. A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（ ）
A. 钝角三角形B. 锐角三角形
C. 直角三角形D. 不确定
【答案】C
【解析】因为M为的中点，所以，
可得，
所以，即，可得是直角三角形. 故选：C
7. 已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意及正弦定理得：，
令，则，，可得，
所以椭圆的离心率为：. 故选：B
8. 三棱锥中，，，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】取的中点为，连接，如下图所示：
因为，所以可得，
又，所以即，即，
故，满足，所以；
所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
即；
设平面的一个法向量为，
则，令，可得；可得，
设直线与平面所成的角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设椭圆：左、右焦点分别为、，是上的动点，则（ ）
A.
B. 的最大值为
C. 的面积的最大值为
D. 存在点，使得
【答案】BCD
【解析】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距，
对于A，，A错误；对于B，，B正确；
对于C，设的顶点，则，，C正确；
对于D，由知，以线段为直径的圆与椭圆有个交点，当点此交点之一时，，D正确. 故选：BCD
10. 将正方形沿对角线折成直二面角，下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C. 与平面所成的角为
D. 与所成的角为
【答案】ABD
【解析】令正方形对角线的中点为，则，
由二面角为直二面角，得，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，
，
对于A，，即，则，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，平面的一个法向量，，
因此与平面所成的角为，C错误；
对于D，，因此与所成的角为，D正确.
故选：ABD
11. 已知圆：和圆：，点Q是圆上的动点，则（ ）
A. 与圆、圆都相切的直线有四条
B. 若圆上到直线的距离为的点有4个，则m的取值范围是
C. 过点Q作圆的两条切线，切点分别为M和N，则
D. 已知，，若点B为圆上一动点，则的最小值为2
【答案】ACD
【解析】解：对于A项：因为圆：和圆：，
所以，所以两圆外离，
所以与圆、圆都相切的直线有四条，故A正确；
对于B项：因为圆：，所以，
所以当到距离，
即时，圆上到直线的距离为的点有4个，故B错误；
对于C项：因为,
又因为，即，
所以，所以，
又因为，
所以，所以C正确；
对于D项：设，则以点为圆心，为半径的圆的方程为，
因为，所以恒成立，
所以以点为圆心，为半径的圆恒过点，
所以，
所以,
所以的最小值为2，故D正确.故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量为单位向量，，则向量在向量方向上投影的数量为_____.
【答案】
【解析】依题意，向量在向量方向上投影的数量为.
故答案为：
13. 已知圆心在直线上，且，都是圆上的点，则圆的标准方程为______.
【答案】
【解析】依题意，线段的中点，直线的斜率，
则线段的中垂线方程为，即，
由，解得，因此所求圆的圆心为，半径，
所以所求圆的标准方程为. 故答案为：
14. 已知圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为.若该圆台内部有一个球，则球的半径的最大值为_____；若该圆台内部有一个正方体，且底面在圆台的下底面内，当正方体的棱长最大时，以为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为______.
【答案】①. ②.
【解析】依题意，圆台轴截面是上下底边长分别为，母线长为的等腰梯形，
圆台的高，即等腰梯形的高，
由，得，
圆台内的最大球球心在圆台上下底面圆心所连线段上，最大球的截面大圆在等腰梯形内，圆心在线段上，
当该圆与等腰梯形的腰相切时，，
以为直径的圆同梯形的腰相交，所以球的半径的最大值为；

把圆台还原成圆锥，则圆台轴截面等腰梯形两腰延长即得圆锥的轴截面等腰，
正方体上底面的外接圆为圆台平行于底面的截面圆，
又圆台的高大于其上底面圆直径，因此正方体的棱长小于，
其对角面为等腰的内接矩形，
如图，设，则，，交于点，
则，由，解得，
因此正方体最大棱长为，
此时以为球心，半径为的球与正方体表面交线是该正方体共点的个正方形面与球
的大圆构成的以直角为加以圆心角，半径为的段圆弧组合而成，交线长为.
故答案为：；

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，.
（1）求与夹角的余弦值；
（2）若，求的模.
解：（1），则，
，所以.
（2）由，得，设，则，
所以，解得，
所以，则，所以.
16. 如图，在直三棱柱中，，，，，D，E分别是，的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
（1）证明：由直三棱柱性质，以及D，E分别是，的中点，
所以，即四边形为平行四边形，可得，
又平面，平面，所以平面；
又易知，即四边形为平行四边形,可得，
又平面，平面，所以平面；
显然平面，所以平面平面；
（2）解：因为是直三棱柱，所以，
又，所以两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
由，，，，可得：
，即；
设平面的一个法向量为，则，
令，可得；可得，
易知平面的一个法向量为，则,
结合图形可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
17. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，满足条件的点P的轨迹为C.
（1）求C的轨迹方程；
（2）点M为直线：上动点，过M作C的两条切线，切点分别为E，F，当四边形的面积最小时，求直线的方程.
解：（1）设轨迹上任意一点，由题意，
所以，化简得
（2）由题意可知:直线到圆心的距离为，则直线与圆相离，
若四边形的面积最小，即三角形的面积最小，
因为，则最小，即最小.
所以由向直线作垂线，垂足为，所以直线，所以，
由题意可得四边形的外接圆方程为
即.
所求的直线即为两圆的相交弦所在的直线，
将与两圆方程作差得，
则直线的方程为:.
18. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，M为的中点，设平面与平面的交线为.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）设H为上的动点，当与平面所成角的正弦值最大时，求的长.
（1）证明：由，为的中点，
得，则四边形为平行四边形，，
而平面平面，则平面，
又平面，平面平面，因此，
而平面，平面，所以平面.
（2）证明：作交于，连接，
由四边形为等腰梯形，，，得，
由（1）知，，又，则为等边三角形，，为中点，
又四边形为等腰梯形，为中点，则，
四边形为平行四边形，，于是为等腰三角形，，
，有，因此，
平面，则平面，而平面，
所以平面平面.
（3）解：由（2）知直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，则，
，
设平面的法向量为，则，
令，得，
设，
设与平面所成角为，
则
当时，取得最大值，此时.
19. 球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形（特别是三角形）的角、边、面积等问题，其在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A，B，C，过任意两点的大圆上的劣弧，，所组成的图形称为球面，记其面积为.易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A和；若球面上A，B，C，的对径点分别为，，，则球面与球面全等.如图2，已知球O的半径为R，圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小为，圆弧和所在平面、圆弧和所在平面交成的锐二面角的大小分别为，.
记.
（1）请写出，的值，并猜测函数的表达式；
（2）（i）当时，球面的面积为________（只写结果）.
（ⅱ）用，，，表示；
（3）若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，，求证：.
（1）解：，. 猜测.
（2）解：（i）
理由：
因为，
所以，
则，解得.
（ii）
因为，
所以，
即.
（3）证明：由余弦定理可得：，且，
所以，
即，消去，
则有:，即；