【数学】江苏省连云港市灌南县2024-2025学年高二上学期11月期中考试试题（解析版）

这是一份【数学】江苏省连云港市灌南县2024-2025学年高二上学期11月期中考试试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 过点且倾斜角为90°的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为倾斜角为90°，所以该直线与x轴垂直，又过，
所以直线方程为，即.
故选：C
2. 若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为（ ）
A. 3B. C. 2D. 1
【答案】B
【解析】设，M到坐标原点O的距离为，解得，
故.点M到该抛物线焦点的距离为. 故选：.
3. 已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】设所求直线的横截距为，
当时，可设直线为，将点代入，可得，所以直线方程为，
当时，可设直线为，将点代入，可得，所以直线方程为，综上，直线的方程为或. 故选：C.
4. 椭圆：左右焦点分别为、，焦距为2，直线经过交椭圆于两点，若的周长为12，则椭圆标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由的周长为，
得，又椭圆的焦距，则，所以，
所以椭圆标准方程为. 故选：D.

5. 已知动直线与圆（圆心为）交于点，，则弦最短时，的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，圆可化为，其圆心为，半径，动直线，即，恒过点.
设，又由，则点在圆的内部，
动直线与圆（圆心为）交于点，
当为的中点，即与垂直时，弦最短，
此时，弦的长度为，
此时的面积， 故选：D.
6. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】直线与直线平行，
∴，解得，故直线为直线，
化简得，∴它们之间的距离为． 故选：B．
7. 已知，直线：与：的交点在圆：上，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，所以直线恒过点，
，所以直线恒过点，
由两条直线的方程可以判断直线与直线互相垂直，因此点在以为直径的圆上，线段中点为，半径为，圆的圆心为，半径为，
由已知条件可知点在圆：上，
所以圆与圆相交或相切，，
因此有，
解得：，所以则的最大值是，
故选：A
8. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，直线都过点，如图，有，，

设，则，显然有，，
，
因此，，在，，
即，解得，即，
令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，所以E的离心率为.故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B. 经过点且在轴和轴上截距都相等直线方程为
C. 点关于直线的对称点为
D. 过，两点的直线方程为
【答案】AC
【解析】A，令得，令得，
则直线与两坐标轴围成的三角形的面积，故A正确；
B，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线还有过原点的直线，故B错误；
C，设关于直线对称点坐标为，则，解得，故C正确；
D，两点式使用的前提是，故D错误； 故选：AC.
10. 若点为原点，且圆与圆没有公共点，则圆的半径可以是（ ）
A. 1B. 3C. 8D. 9
【答案】AD
【解析】由得的圆心，
半径，又，显然点O在圆C外，
由于圆O与圆C无公共点，则圆O与圆C可以外离，也可以内含，且圆C在圆O内，
设圆O的半径为R，于是或，即或，
解得或，所以圆O的半径可以是1或9，
即AD满足，BC不满足.
故选：AD
11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，与轴相交于点的内切圆与边相切于点．若，则下列说法正确的有（ ）
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 若直线与双曲线有且仅有1个公共点，则
C. 的最小值为12
D. 的内切圆的圆心在定直线上
【答案】ACD
【解析】因为的内切圆与边相切于点，如图，
由切线长定理可知，
所以
，
所以，则双曲线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，故A正确．
对于B选项，由消去并化简得
注意到当时，方程有唯一解，
即此时直线与双曲线有且仅有一个公共点，所以B选项错误．
对于选项，当垂直于轴时，PQ通径，由双曲线性质可知，通径最短，
所以PQ的最小值为，C选项正确．
对于选项，如图，
设的内切圆圆心为，半径为，设与圆分别相切于点，
由切线长定理得
，
而，两式相加得，所以是双曲线的右顶点，
所以轴，则圆心在直线上，故选项D正确． 故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 请写出一个焦点在轴，并与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程：______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】设所求双曲线的方程为，
因为所求双曲线的焦点在y轴上，所以，则可取，
所以所求双曲线的方程为（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）
13. 若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】由得，表示以为圆心，以为半径的半圆，
其图象如下：
由图像可得，当直线过点C0,1时，
直线与曲线恰有一个公共点，此时；
当直线过点A0,-1时，
直线与曲线恰有两个公共点，此时；
当直线与半圆切于半圆的右侧时，只需圆心到直线的距离等于半径，
即，且，解得，
因此，由图像可得，为使直线与曲线恰有一个公共点，
实数b的取值范围为.
故答案为：.
14. 已知椭圆的左、右顶点分别为，动点均在椭圆上，是坐标原点，记和的斜率分别为；与的面积分别为.若，则的最大值为____________.
【答案】
【解析】由椭圆的方程可得，不妨设点第一象限，点在第二象限，
设直线的方程为，代入椭圆方程可得，
解得（舍去），所以，
因为和的斜率，所以，
则直线的方程为，代入椭圆方程得，
解得（舍去），所以，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，
由椭圆及直线的对称性，满足条件时的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 平行四边形中，已知，，.
（1）求直线的方程；
（2）求中边上的高所在直线的方程.
解：（1）设，因为，所以，即，
所以，所以直线的方程为，即.
（2）因为，
所以中边上的高所在直线的方程为，即.
16. 已知圆过两点，且圆心在直线上.
（1）求该圆的方程；
（2）求过点的直线被圆截得弦长最大时的直线的方程.
解：（1）因为圆过两点，，设的中点为，则，
因为，所以中垂线方程为，即
又因为圆心在直线上，
解得，圆心，，故圆的方程为.
（2）因为直线被圆截得的弦长最大时是过圆心的直线，所以直线过点，
由过点，的斜率为，所以直线的方程为，
故直线的方程为.
17. 已知动点与点的距离比其到直线的距离小1.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标.
解：（1）由题意知，动点到的距离与它到的距离小1即与到直线的距离相等，
所以动点M的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线，
因此动点的轨迹方程为.
（2）设，由两点间的距离公式得：，
当，即时，，
即当或时，点与点的距离最小，最小值为.
18. 已知圆C：，直线l过定点．
（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程．
解：（1）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x＝1，符合题意.
②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为，即．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，
解之得. 所求直线l1的方程是x=1或.
(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为，
则圆心到直线l1的距离
又∵△CPQ的面积＝
∴当d＝2时，S取得最大值2. ∴＝2 ∴ k＝1 或k＝7
所求直线l1方程为 x－y－1＝0或7x－y－7＝0 .
19. 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2），为椭圆上两个不同的点，且，
①求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标；
②过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值.
（1）解：由题意知，故，即，
又因为椭圆过点，所以，解得，
所以椭圆的方程为:.
（2）①证明：设，，
，
(i)当直线斜率不存在时，设，联立得，
，解得(舍)或，此时.
(ii)当直线斜率存在时，设，
联立得，
.
又，
，
整理得，
将代入整理得，
，或，
当时，，过点，不成立；
当时，，则过定点，
综上所述，过定点.

②解：过定点，
，即在以为直径的圆上，
圆心为的中点，半径，
.