【数学】河南省焦作市2024-2025学年高二上学期期中考试试题（解析版）

这是一份【数学】河南省焦作市2024-2025学年高二上学期期中考试试题（解析版），共99页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得，解得，所以. 故选：D
2. 2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，这组数据的中位数为（ ）
A. 19B. 18C. 17D. 16
【答案】C
【解析】将这组数据按从小到大的顺序排列后，最中间的两个是16，18，
所以中位数是. 故选：C.
3. 圆的半径为（ ）
A. B. C. 5D. 13
【答案】B
【解析】将圆的方程化为标准形式为，其半径为. 故选：B
4. 设向量是平面的法向量，向量是直线的方向向量，且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为，由“”可以推出“”，
由“”也可以推出“”，故“”是“”的充要条件.
故选：C.
5. 设抛物线y2=2pxp>0的焦点为，过抛物线上的点作准线的垂线，设垂足为，若，且，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】A
【解析】设为准线与轴的交点，

因为，且，所以.
因为，所以，在中，，所以，解得. 故选：A
6. 已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. 1B. 0C. －1D. －3
【答案】B
【解析】∵为偶函数，∴，令，则.
∵为奇函数，∴，
令，则，∴，故.
∵，
∴，
∴，则的周期为4，
∴.
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在上，且，若的面积为16，的离心率为，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设的半焦距为cc>0，因为，所以，
所以点在为圆心半径为的圆上，于是为直角三角形，且，
设，，则，所以，
又，，且，
所以，即，所以，
又，所以，所以，
所以的方程为. 故选：B.
8. 在直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图所示，
设，，，则，
所以，.
由空间向量基本定理，，，
所以，
又，
.
设异面直线和所成的角为，则.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲、乙两人分别从云台山、青天河、神农山、月山寺这四个景点中随机选择一个景点去旅游，已知甲、乙两人选择哪个景点相互独立，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲去云台山的概率为
B. 甲、乙两人都去云台山的概率为
C. 甲、乙两人中恰有一人去云台山的概率为
D. 甲、乙两人中至少有一人去云台山的概率为
【答案】AC
【解析】将甲、乙两人去云台山、青天河、神农山、月山寺旅游分别记为，，，，
依题意可知样本空间为：
，
共含有个样本点.
甲去云台山的情况为，样本点有个，概率，故A正确；
甲、乙两人都去云台山的情况为，样本点有个，概率为，故B错误；
甲、乙两人中恰有一人去云台山的情况为，
样本点有个，概率为，故C正确；
甲、乙两人中至少有一人去云台山的情况为，
样本点有个，概率为，故D错误. 故选：AC．
10. 已知直线，点，是动点.记点到直线的距离为，点到点的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则点的轨迹是椭圆
B. 若，则点的轨迹是双曲线
C. 若，则点的轨迹是抛物线
D. 若，则点的轨迹是双曲线的一部分
【答案】AB
【解析】设，则.
对于A，由题意得，化简得，
可知方程表示椭圆，故A正确；
对于B，同上可化简得，可知方程表示双曲线，故B正确；
对于C，由题意得点的轨迹是轴上位于之间的线段，故C错误；
对于D，由题意得，即，
①当，即时，，化简得，
可知方程表示抛物线，
②当，即时，，化简得，
没有意义，由①②得，点的轨迹是抛物线，故D错误. 故选：AB
11. 在平面直角坐标系中，已知点，，，点是圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 点到直线的距离的最小值为
C. 若经过点的直线与圆至少有一个公共点，则的倾斜角的取值范围是
D. 的最小值为10
【答案】ACD
【解析】设点，由题知圆的圆心坐标为（0，－5），半径为.
对于A，要证，即证，
即证，即证，
因为点在圆上，所以，即，故A正确；
对于B，圆心到直线的距离为，
所以点到直线距离的最小值为，故B错误；
对于C，①当直线的斜率不存在时，满足题目要求，此时倾斜角为，
②当直线的斜率存在时，设经过点的直线的方程为，
由题意知该直线与圆相切或相交，所以，解得或，
则或，可得，由①②可得，，故C正确
对于D，显然点在圆外，点在圆内，由A知，
所以 ，
当N，P，H三点共线且点在线段上时，，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线与直线垂直，则_____.
【答案】
【解析】由题易知，则，解得. 故答案：.
13. 若实数a，b，c满足，则直线与圆有______个交点.
【答案】2
【解析】因为，所以，故直线恒过点
因为，所以点在圆内，
所以直线与圆有2个交点. 故答案为：2.
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，且的内切圆圆心为，则点的横坐标为______．
【答案】3
【解析】如图所示，
设的半焦距为cc>0.设圆与的三边，，分别相切于点M，N，A，
则，，，则点的横坐标和点的横坐标相同.
又，
所以根据双曲线的性质可知，，又，
所以，，即点和的右顶点重合，所以点的横坐标为，
故点的横坐标为3. 故答案为：3.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在棱长为1的正方体中，是正方形的中心.
（1）求绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积；
（2）求证：平面.
（1）解：因为正方体的棱长为1，
所以，，是直角三角形，
所以绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体是底面半径为，
高为1的圆锥，其体积为；
（2）证明：方法一：连接，如图.
在正方体中，易知，
因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面.
又平面，所以，同理可证平面，所以.
因为，平面，所以平面.
方法二：以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
则，
，
所以，，
又，，平面，
所以平面.
16. 已知向量，，，若函数，且在区间上不具有单调性.
（1）求的取值范围；
（2）当取最小整数值时，若（其中，，是虚数单位），求的值.
解：（1）函数，
由，得，
由函数在区间上不具有单调性，得，解得，
故的取值范围是.
（2）依题意，得，，，
所以，，所以，.
由，得，所以，
由，得.
由，得，同理，.
所以
.
17. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率，且直线过点.
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与交于M，N两点，当点到直线的距离最大时，求MN.
解：（1）设.由，得，由，得，
由题知，则直线的斜率，
故直线的方程为.由直线过点，得，
则，，所以的方程为.
（2）由（1）知.设Mx1,y1，Nx2,y2.
由题意可知，当时，点到直线的距离取得最大值，所以直线的斜率，
故直线的方程为，即，与的方程联立，消去，整理得，所以，，
所以
.
18. 如图，在四棱锥中，点在平面内的射影为点，，，平分，.
（1）若为棱的中点，求证：平面.
（2）若二面角的平面角的正弦值为.
（i）求的长；
（ii）求点到平面的距离.
（1）证明：设棱的中点为，连接，，如图，则，.
由题意知，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以.
又平面，平面，所以平面.
解：（2）过点作交于点，则，，
可得四边形是矩形.又平分，所以四边形为正方形，且边长为2.
以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
（i）设，则，，，，
所以，，.
设平面的法向量为，则即
令，可得平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，则即
令，可得平面的一个法向量为.
设向量与所成的角为，则，
所以，解得，即.
（ii）由（i）知，向量，平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为.
19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于A，B两点，点在的准线上.
（1）求的方程.
（2）当直线的斜率为2时，证明：.
（3）试问：，能否同时与相切?请说明你的理由.
（1）解：的准线方程为，由题可知，
解得，所以的方程为.
（2）证明：如图所示，由（1）得F1,0.
当直线的斜率为2时，直线的方程为，即，
联立直线与抛物线方程：，得，
设Ax1,y1，Bx2,y2，由根与系数的关系得，.
由题易知直线，的斜率均存在.
又因为，
所以.
（3）解：如图所示，
设直线的方程为.由可得，
由根与系数的关系得，.（*）
设直线，即，
当直线与相切时，.由得，
若直线与相切，则，即.
若直线，同时与相切，
则，是该方程的两个实数根，且，，
又，，
所以①，②，
由②得③，
又由（*）得，
所以③式化为，解得. 此时，，
，
满足①式.故当，即直线的方程为时，同时与相切.